Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad &x-y&=& -9 \\ \text{(II)}\quad &3x+6y&=& 18 \\ \end{array}$

Weise rechnerisch nach, dass $L=\{(-4 ; 5)\}$ die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist.

Betrachtet wird eine Gerade $h$ durch den Punkt $P(0 \mid 6)$ , die parallel zur Geraden mit der Gleichung $x-y=-9$ verläuft.
Stelle eine Gleichung für die Gerade $h$ auf.

Überprüfe die folgende Aussage rechnerisch.
Die Fläche $A_2$ verhält sich zur Fläche $A_1$ wie $5$ zu $1.$

Abbildung

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Wahlpflichtaufgabe 2

Ein Gartenhaus hat die Form eines Prismas.
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft das Gartenhaus.

RSA 2023 ST Gartenhaus Boden Dach Form Modell

Abbildung 1 (nicht maßstäblich)

Die Bauordnung des Landes Sachsen-Anhalt gibt vor, dass Gebäude mit einer Bodenfläche von bis zu $10 \,\text{m}^2$ ohne Genehmigung gebaut werden dürfen. Untersuche, ob für den Bau des Gartenhauses eine Genehmigung erforderlich ist.

Die Neigung des Daches gegenüber der Bodenfläche kann durch den Neigungswinkel beschrieben werden (siehe Abbildung 2).

Für eine Dachbepflanzung wird ein Neigungswinkel mit einer Größe von maximal $3^{\circ}$ empfohlen.
Zeige, dass eine Dachbepflanzung nicht sinnvoll ist.

Abbildung 2 (nicht maßstäblich)

Gib im Sachzusammenhang an, welche Größe mit dem Lösungsansatz $\sqrt{2,3^2+0,35^2} \cdot 4,3$ berechnet werden kann.

In dem Gartenhaus wird eine Klimaanlage installiert. Damit der Raum ausreichend gekühlt wird, muss die Kühlleistung groß genug sein. Es wird angenommen, dass ungefähr $40$ Watt Kühlleistung pro Kubikmeter benötigt werden.

Berechne die notwendige Kühlleistung in Watt, die eine Klimaanlage für dieses Gartenhaus ungefähr besitzen sollte.

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Wahlpflichtaufgabe 3

Insgesamt wurden 2019 weltweit $36,7$ Milliarden Tonnen Treibhausgase freigesetzt. Im selben Jahr betrug die Freisetzung von Treibhausgasen in Deutschland ca. $800$ Millionen Tonnen.

Berechne den prozentualen Anteil Deutschlands an der weltweiten Freisetzung von Treibhausgasen.

In einer statistischen Erhebung wurde der $\text{CO}_2$ -Ausstoß der Länder der Welt für das Jahr 2017 miteinander verglichen (siehe Diagramme 1 und 2).

Diagramm 1

Diagramm 2

Beurteile die folgende Aussage unter Verwendung der beiden Diagramme.
China war im Jahr 2017 das Land mit dem größten $CO_2$ -Ausstoß.

Die Herstellung eines Smartphones verursacht ca. $95 \,\text{kg}$ $CO_ 2.$ Zum Vergleich wird der $CO_2$ -Ausstoß eines PKW ermittelt. Dazu werden folgende Annahmen getroffen.

Benzinverbrauch des PKW: $6,2$ Liter pro $100 \,\text{km}$
$CO_2$ -Ausstoß pro verbrauchtem Liter Benzin: $2,37 \,\text{kg}$

Die Entfernung von Halle nach Magdeburg beträgt ca. $92 \,\text{km}$ .
Ermittle, wie viele Fahrten des PKW von Halle nach Magdeburg ungefähr den gleichen $CO_2$ -Ausstoß verursachen wie die Herstellung eines Smartphones.

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Lösung 1

Um nachzuweisen, dass $L=\{(-4;5)\}$ die Lösungsmenge ist, wird $x=-4$ und $y=5$ in die Gleichungen eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} &\text{(I)}&x-y&=&-9 \\[5pt] &&-4-5&=&-9 \\[5pt] &&-9&=&-9 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} &\text{(II)}&3x+6y&=&18 \\[5pt] &&3\cdot (-4)+6\cdot 5&=&18 \\[5pt] &&18&=&18 \\[5pt] \end{array}$

Da auf beiden Seiten der Gleichungen jeweils der gleiche Wert steht, ist nachgewiesen, dass $L=\{(-4;5)\}$ die Lösungsmenge ist.

Steigung der Gerade $h$ bestimmen

Da die Gerade $h$ parallel zur Geraden mit der Gleichung $x-y=-9$ verläuft, hat $h$ dieselbe Steigung.

Stellt man die Gleichung nach $y$ um, kann die Steigung direkt abgelesen werden:
$\begin{array}[t]{rll} x-y&=&-9 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] -y&=&-x-9 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] y&=&x+9 \\[5pt] y&=&1\cdot x+9 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt für die Steigung der beiden Geraden: $m=1$

$y$ -Achsenabschnitt $c$ der Gerade $h$ bestimmen

Dafür werden die Koordinaten des Punkts $P(0\mid6)$ und die Steigung $m=1$ in die allgemeine Geradengleichung eingesetzt und nach $c$ umgestellt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c \\[5pt] 6&=& 1\cdot 0+c \\[5pt] 6&=& c \\[5pt] c&=& 6 \end{array}$

Damit lässt sich nun die Gleichung für die Gerade $h$ aufstellen: $y=x+6$

1. Schritt: Flächeninhalt der gesamten Fläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\\[5pt] A_{\text{gesamt}}&=& 18 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt von $A_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\\[5pt] A_1&=& 3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt von $A_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& A_{\text{gesamt}}-A_1 \\[5pt] A_2&=& 18-3 \\[5pt] A_2&=& 15 \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Verhältnis bestimmen

$\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{15}{3}=5$

Somit stimmt die Aussage.

Lösung 2

Flächeninhalt der Bodenfläche berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Boden}}&=&a\cdot b \\[5pt] A_{\text{Boden}}&=&230\,\text{cm}\cdot 430\,\text{cm} \\[5pt] A_{\text{Boden}}&=&98\,900\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_{\text{Boden}}&=&9,89\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Da die Bodenfläche $9,89\,\text{m}^2$ beträgt und $9,89\,\text{m}^2\lt10\,\text{m}^2$ ist, kann das Gartenhaus ohne Genehmigung gebaut werden.

Höhe $h$ des Dreiecks berechnen

$h=230\,\text{cm}-195\,\text{cm}=35\,\text{cm}$

Größe des Neigungswinkels $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{230\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{35\,\text{cm}}{230\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&8,7^{\circ} \end{array}$

Da der Neigungswinkel größer als $3^{\circ}$ ist, ist gezeigt, dass eine Dachbepflanzung nicht sinnvoll ist.

Mit dem Lösungsansatz kann die Größe der Dachfläche des Gartenhauses berechnet werden.

Um die Kühlleistung zu berechnen, muss das Volumen des Prismas bestimmt werden. Die Grundfläche des Prismas ist ein Trapez.

Flächeninhalt des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h \\[5pt] G&=&\dfrac{1}{2}\cdot (195\,\text{cm}+230\,\text{cm})\cdot 230\,\text{cm}\\[5pt] G&=&48\,875\,\text{cm}^2 \end{array}$

Volumen des Prismas berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] V&=& 48\,875\,\text{cm}^2\cdot 430\,\text{cm} \\[5pt] V&=& 21\,016\,250\,\text{cm}^3 \\[5pt] V&=&2 1,01625\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Kühlleistung berechnen

$21,01625\cdot 40=840,65$

Eine Klimaanlage für das Gartenhaus sollte ungefähr eine Kühlleistung von $840,65\,\text{Watt}$ besitzen.

Lösung 3

$\dfrac{800\cdot 10^6}{36,7\cdot 10^9}\cdot 100\,\%\approx 2,2\,\%$

Deutschlands prozentualer Anteil an der weltweiten Freisetzung von Treibhausgasen beträgt $2,2\,\%.$

Dass die Aussage stimmt, lässt sich direkt mit Diagramm 1 schlussfolgern. Im Diagramm 2 wird ein anderer Bezug gewählt.

Wie viel $CO_2$ wird auf der Strecke von Halle nach Magdeburg verbraucht?

$92\,\text{km}\cdot \dfrac{6,2\,l}{100\,\text{km}}\cdot 2,37\,\dfrac{\text{kg}}{l}\approx 13,52\,\text{kg}$

Wie viele Fahrten des PKW von Halle nach Magdeburg verursachen ungefähr den gleichen $CO_2$ -Ausstoß wie die Herstellung eines Smartphones?

$95\,\text{kg}:13,52\,\text{kg}\approx 7,03$

Ungefähr 7 Fahrten von Halle nach Magdeburg verursachen ungefähr den gleichen $CO_2$ -Ausstoß wie die Herstellung eines Smartphones.

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