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Bruchgleichungen

Als Bruchgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, bei der im Nenner Variablen vorkommen.
Dabei darf der Nenner nicht null sein. Deshalb wird bei Bruchgleichungen immer die Definitionsmenge \(\boldsymbol{D}\) bestimmt, d.h. die Menge an Zahlen, die für die Variable eingesetzt werden dürfen.
Um eine Bruchgleichung zu lösen, wird mit einem passenden gemeinsamen Nenner multipliziert.

Beispiel

\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{12}{x+2}&=&4x
\end{array}\)
Definitionsmenge: \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2 \}\), da für \(x=-2\) der Nenner gleich null ist.
Passender gemeinsamer Nenner: \(x+2\)
\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{12}{x+2}&=&4x\quad\scriptsize \mid\;\cdot (x+2)\\[5pt]
\dfrac{12\cdot (x+2)}{x+2}&=&4x\cdot (x+2)\\[5pt]
12&=&4x^2+8x\quad \scriptsize \mid\;-12\\[5pt]
0&=&4x^2+8x-12\\[5pt]
4x^2+8x-12&=&0 \quad\scriptsize \mid\;:4\\[5pt]
x^2+2x-3&=&0
\end{array}\)
\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2}&=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt]
&=& -1 \pm 2 \\[5pt]
x_1&=&1\\[5pt]
x_2&=&-3
\end{array}\)