Satz des Pythagoras in der Ebene
Um Streckenlängen in ebenen Figuren zu berechnen, hilft es, Figuren so zu zerlegen, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen.
Dann kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Beispiel
Die Höhe des folgenden gleichschenkligen Dreiecks soll berechnet werden:
Das Dreieck kann in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden:
Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;-b^2 \\[5pt]
a^2&=&c^2-b^2 \\[5pt]
a^2&=&(6,5\,\text{m})^2-(4\,\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
a&=&\sqrt{(6,5\,\text{m})^2-(4\,\text{m})^2 }\\[5pt]
a&= &5,1\,\text{m} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ab597c46d91a09bd41684385c9b06da5aa7458ac011edc9d768843235dc40dec?color=5a5a5a)
Dann kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Beispiel
Die Höhe des folgenden gleichschenkligen Dreiecks soll berechnet werden:
1
Berechne die Länge der Seite 
a)
b)
c)
2
Sonjas Eltern haben sich einen Pool in den Garten einbauen lassen. Der Pool hat eine Breite von 
und eine Länge von 
a)
Sonja möchte wissen, wie lang die längste Bahn des Pools ist, die sie schwimmen kann.
b)
Sonjas Großeltern entscheiden sich auch dazu, einen Pool im Garten einbauen zu lassen.
Sie wählen folgende Maße:
Sie wählen folgende Maße:
- Breite:
- Länge:
3
Die Eingangstür einer Altbauwohnung soll renoviert werden. Der Handwerker kennt die folgenden Maße:
- Diagonale:
- Höhe:
4
Maurice möchte seiner kleinen Schwester einen Sandkasten bauen.
Der Sandkasten soll quadratisch sein und eine Diagonale von 
haben.
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1
a)
b)
c)
2
a)
Die längste Bahn des Pools ist die Hypotenuse 
(siehe Skizze).
![\(\begin{array}[t]{rll}
c^2&=&(4\,\text{m})^2+(9\,\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
c&=&\sqrt{(4\,\text{m})^2+(9\,\text{m})^2 } \\[5pt]
c&=&\sqrt{16\,\text{m}^2+81\,\text{m}^2 } \\[5pt]
c&=&9,8\,\text{m}\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e2583b7cd33eb1f1276e4613649abbc661264c312b20d7712ee4fb3878a4b643?color=5a5a5a)
Die längste Bahn, die Sonja im Pool schwimmen kann, beträgt
b)
3
Es gilt:
– die zweite Kathete – berechnet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;-a^2 \\[5pt]
b^2&=&c^2-a^2 & \\[5pt]
b^2&=&(3,2\,\text{m})^2-(2,5\,\text{m})^2 & \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt]
b&=&\sqrt{(3,2\,\text{m})^2-(2,5\,\text{m})^2} \\[5pt]
b&=&2,0\,\text{m} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/80f199d266847950dcba196c094130eb66826c8122f36b678c1bb951991f35ff?color=5a5a5a)
Die Tür ist 
breit.
- Die Diagonale ist die Hypotenuse:
- Die Höhe ist eine der beiden Katheten:
4
Bei dieser Aufgabe haben die zwei Katheten 
und die gleiche Länge.
Somit gilt:
Somit gilt:
