Teil B2

Ein Wohngebäude kann modellhaft durch den Körper $ABCDEFGHIJKL$ dargestellt werden (vgl. Abbildung). Der untere Teil des Gebäudes entspricht dem Quader $A B C D E F G H,$ das Dach dem ebenflächig begrenzten Körper $EFGHIJKL.$

Gegeben sind die Punkte $B(8\mid 0\mid 0),$ $C(8\mid9\mid 0),$ $D(0\mid9\mid 0),$ $F(8\mid0\mid 7),$ $G(8\mid 9\mid 7),$ $J(6\mid 0,5\mid 18)$ und $K(6\mid 5 \mid 18).$

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $xy$ -Ebene den ebenen Untergrund dar.

Die Ebene mit der Gleichung $x=4$ stellt im Modell die Symmetrieebene des Gebäudes dar.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 Meter in der Wirklichkeit.

Wohngebaeude Modell Sachsen Mathe Abi 2024

Abbildung (nicht maßstäblich)

2.1

Zeige, dass $L$ die Koordinaten $L(2\mid 5 \mid18)$ hat.

Gib eine Gleichung an, welche die Strecke $\overline{GK}$ beschreibt.

(4 BE)

2.2

Berechne den Inhalt der Dachfläche, die im Modell durch das Viereck $GHLK$ beschrieben wird.

(4 BE)

2.3

Die Gleichungen $(\text{I})$ und $(\text{II})$ liefern gemeinsam den Ansatz zur Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang.

$(\text{I}) \quad \overrightarrow{a}=\overrightarrow{GK}\times\overrightarrow{GH}$

$(\text{II}) \quad \cos (\alpha)=\dfrac{\left| \overrightarrow{a}\circ\pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot \left| \pmatrix{0\\0\\1} \right|}$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung im Sachzusammenhang.

Beschreibe die Bedeutung der beiden Gleichungen im Zusammenhang mit dieser Aufgabenstellung.

(4 BE)

2.4

Jede der vier Seitenkanten des Körpers $EFGHIJKL$ liegt jeweils auf einer Geraden.

Begründe, dass folgende Aussage wahr ist:

Für den Nachweis, dass sich diese vier Geraden in einem Punkt schneiden, ist es ausreichend zu zeigen, dass der Schnittpunkt der beiden Geraden durch die Punkte G und $K$ bzw. durch die Punkte $F$ und $J$ die $x$ -Koordinate 4 hat.

(3 BE)

2.5

Berechne den Rauminhalt des Wohngebäudes.

(7 BE)

2.6

Ermittle die Länge der kürzesten Verbindungslinie, die vom Punkt $C$ über einen Punkt der Kante $\overline{GH}$ zum Punkt $L$ verläuft.

(5 BE)

Die Fassade des Gebäudes wird mit Ziegeln in verschiedenen Farben verkleidet.

2.7

Für eine Reihe aus sechs Ziegeln stehen drei weiße $(w),$ zwei gelbe $(g)$ und ein brauner $(b)$ Ziegel zur Verfügung. Die Ziegel werden nacheinander zufällig ausgewählt und in dieser Reihe von links nach rechts am Gebäude angebracht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit $p,$ mit der dabei die Farbanordnung "wgwbwg" entsteht.

Beurteile folgende Aussage:

Jede Farbanordnung mit diesen sechs Ziegeln, bei denen die zwei gelben Ziegel zuerst ausgewählt werden, entsteht mit der Wahrscheinlichkeit $4\cdot p.$

(6 BE)

2.8

Die verwendeten Ziegel weisen zum Teil Farbfehler oder Maßfehler auf.

Für einen zufällig ausgewählten Ziegel gilt:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Maßfehler vorliegt, beträgt $1,5\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Fehler auftreten, beträgt $0,5\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, beträgt $3\,\%.$

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewählter Ziegel keinen Fehler hat.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Ziegel mit Farbfehler einen Maßfehler hat.

Untersuche, ob die beiden Fehler stochastisch abhängig sind.

(7 BE)

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2.1

Koordinaten zeigen

Da $L$ ein bezüglich der Symmetrieebene symmetrischer und benachbarter Punkt von $K$ ist und das Dach ein ebenflächig begrenzter Körper ist, besitzt $L$ die gleiche $y$ - und $z$ -Koordinate wie $K.$ Die Symmetrieebene $x=4$ beeinflusst nur die $x$ -Koordinate.

Da die Symmetrieebene des Gebäudes durch die Gleichung $x=4$ gegeben ist, muss der Punkt $L$ außerdem den gleichen Abstand entlang der $x$ -Achse wie $K$ zur Symmetrieebene haben. Für die $x$ -Koordinate von $K$ gilt $6=4+2.$ Aufgrund der Symmetrie muss der Punkt $L$ auf der anderen Seite der Ebene ebenfalls 2 Einheiten entfernt liegen und die $x$ -Koordinate von $L$ folgt also mit $4-2=2.$

$L$ besitzt somit die Koordinaten $L(2\mid 5 \mid 18).$

Gleichung angeben

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG}+t\cdot \overrightarrow{GK}& \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\9\\7}+t\cdot \pmatrix{-2\\-4\\11} \end{array}$

Für $0\leq t \leq 1$ beschreibt die Geradengleichung $g$ die Strecke $\overline{GK}.$

2.2

Die Dachfläche $GHLK$ ist trapezförmig und ihr Flächeninhalt kann somit mit folgender Formel berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (|\overline{GH}|+|\overline{KL}|)\cdot h \end{array}$

Aus der Abbildung ergeben sich die Koordinaten von $H$ mit $H(0\mid9\mid 7).$

Da sich die Koordinaten von $G$ und $H$ nur in ihrer $x$ -Koordinate unterscheiden, gilt $|\overline{GH}|=8-0=8.$

Analog gilt $|\overline{KL}|=6-2=4.$

Für die Höhe des Trapez kann ein Hilfsdreieck eingezeichnet werden.

Mit dem Satz des Pythagoras folgt so:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=& c^2 &\\[5pt] (y_G-y_K)^2+(z_K-z_G)^2&=& h^2 &\\[5pt] (9-5)^2+(18-7)^2&=& h^2 &\\[5pt] 137&=& h^2 &\quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\,}\\[5pt] 11,7&\approx& h \end{array}$

Der Flächeninhalt der Dachfläche ergibt sich somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot (|\overline{GH}|+|\overline{KL}|)\cdot h & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (8+ 4)\cdot 11,7 & \\[5pt] &=& 70,2 \; [\,\text{m}^2] \end{array}$

Hilfsskizze

Der Flächeninhalt der Dachfläche, die im Modell durch das Viereck $GHLK$ beschrieben wird, beträgt somit etwa 70,2 Quadratmeter.

2.3

Aufgabenstellung formulieren

Berechne den Winkel, in dem die Dachfläche, die durch das Viereck $GHLK$ beschrieben wird, zur Grundfläche des quaderförmigen unteren Teils des Gebäudes geneigt ist.

Bedeutung beschreiben

Die Gleichung $\text{I}$ beschreibt den Normalenvektor $\overrightarrow{a}$ der Ebene, in welcher das Viereck $GHLK$ liegt.

In Gleichung $\text{II}$ wird anschließend der Schnittwinkel dieser Ebene mit der $xy$ -Ebene berechnet. Die $xy$ -Ebene besitzt den Normalenvektor $\pmatrix{0\\0\\1}$ und entspricht dem Untergrund.

Der Schnittwinkel $\alpha$ entspricht somit dem Neigungswinkel der Dachfläche zum Untergrund bzw. zur parallelen Oberfläche des unteren Teils des Gebäudes.

2.4

Schneiden sich die Geraden durch die Punkte $G$ und $K$ bzw. $F$ und $J$ in einem Punkt, der in der Symmetrieebene $x=4$ liegt, so gilt dies auch für die andere Seite der Symmetrieebene.

Die Geraden durch die Punkte $E$ und $I$ bzw. $H$ und $L$ haben in diesem Fall aus Symmetriegründen den gleichen Schnittpunkt in der Symmetrieebene.

2.5

1. Schritt: Rauminhalt des unteren Teils berechnen

Der untere Teil des Gebäudes entspricht einem Quader mit der Länge $|\overline{BC}|=9,$ der Breite $|\overline{CD}|=8$ und der Höhe $|\overline{CG}|=7.$

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Quader}}&=& 9\cdot 8\cdot 7& \\[5pt] &=& 504 \; [\,\text{m}^2] \end{array}$

2. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen

Der obere Teil des Gebäudes entspricht einem Pyramidenstumpf. Um das Volumen des Stumpfs zu berechnen, muss das Volumen der gesamten Pyramide sowie das Volumen der grauen Spitze der Pyramide berechnet werden.

Die Spitze der Pyramide entspricht hierbei dem Schnittpunkt der vier Geraden, auf denen die Kanten des Körpers liegen. Aufgrund der Symmetrie reicht es aus, den Schnittpunkt der Geraden, die die Kante $\overline{GK}$ beinhaltet, mit der Symmetrieebene $x=4$ zu berechnen. Mit der Geradengleichung aus Aufgabe 2.1 folgt:

$g: \pmatrix{4\\y\\z}= \pmatrix{8\\9\\7}+t\cdot \pmatrix{-2\\-4\\11}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& 8-2t&\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] -4&=& -2t&\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] 2&=& t \end{array}$

Somit ergeben sich die Koordinaten der Pyramidenspitze $S$ zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{8\\9\\7}+2\cdot \pmatrix{-2\\-4\\11} &\\[5pt] &=& \pmatrix{4\\1\\29} \end{array}$

Hilfsskizze

Die Höhe der Pyramide beträgt somit $z_S-z_G=29-7=22$ Meter.

3. Schritt: Volumen der gesamten Pyramide ermitteln

Die Grundfläche der Pyramide $EFGHS$ ist das Quadrat $EFGH$ mit mit der Länge $|\overline{FG}|=9$ und der Breite $|\overline{GH}|=8.$ Der Flächeninhalt $g$ der Grundfläche folgt also mit $g=9\cdot 8=72 \;\,[\text{m}^2].$

Somit ergibt sich das Volumen der Pyramide zu:

$\begin{array}[t]{rll} V_{EFGHS}&=& \dfrac{1}{3}\cdot g\cdot h&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot 72 \cdot 22&\\[5pt] &=& 528 \; [\,\text{m}^2] \end{array}$

4. Schritt: Volumen des oberen Teils der Pyramide bestimmen

Die Spitze der Pyramide $EFGHS$ entspricht der kleineren Pyramide $IJKLS.$ Dieser Teil der Pyramide gehört nicht mehr zum Wohngebäude.

Aus den Koordinaten der Punkte $J,K$ und $L$ ergibt sich die Länge der rechteckigen Grundfläche mit $y_K-y_J=5-0,5=4,5 \,[\,\text{m}]$ und die Breite mit $x_K-x_L=6-2=4 \,[\,\text{m}].$

Die Höhe der Pyramide ergibt sich mit $z_S-z_J=29-18=11 \,[\,\text{m}].$

Somit folgt das Volumen mit:

$\begin{array}[t]{rll} V_{IJKLS}&=& \dfrac{1}{3}\cdot g\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (4,5\cdot 4)\cdot 11& \\[5pt] &=& 66 \; [\,\text{m}^2] \end{array}$

5. Schritt: Gesamtes Volumen berechnen

Der Rauminhalt $V$ des Wohngebäudes ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{Quader}+(V_{EFGHS}-V_{IJKLS})& \\[5pt] &=& 504 \,\text{m}^2+( 528 \,\text{m}^2-66 \,\text{m}^2)& \\[5pt] &=& 966 \,\text{m}^2 \end{array}$

2.6

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Strecke $\overline{GH}$ liegt auf der Geraden, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG}+t\cdot \overrightarrow{GH} & \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\9\\7}+t\cdot \pmatrix{-8\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{8-8t\\9\\7} \end{array}$

Für $0\leq t \leq 1$ liegt der entsprechende Punkt auf der Kante $\overline{GH}.$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CP}}$ beschreiben

Der Punkt $P$ entspricht einem Punkt auf der Kante $\overline{GH}.$

Für den Abstand von $C$ zu einem beliebigen $P$ gilt:

$d(C,P)=\sqrt{64t^2+49}$

Rechenweg anzeigen

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{LP}}$ beschreiben

Für den Abstand von $L$ zu einem beliebigen $P$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$d(L,P)=\sqrt{(6-8t)^2+137}$

4. Schritt: Abstandsfunktion minimieren

Der gesamte Abstand von Punkt $C$ über einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{GH}$ zu Punkt $L$ beträgt für $0\leq t \leq 1$ somit:

$\begin{array}[t]{rll} d(t)&=& \sqrt{64t^2+49}+\sqrt{(6-8t)^2+137} &\\[5pt] &=& (64t^2+49)^{\frac{1}{2}} + ((6-8t)^2+137)^{\frac{1}{2}} \end{array}$

Mit dem GTR kann das Minimum der Abstandsfunktion graphisch bestimmt werden. Die Koordinaten des Tiefpunkts folgen mit $T(0,28\mid 19,64).$

Da $0\leq t=0,28\leq 1$ gilt, beträgt die kürzeste Verbindungslinie, die vom Punkt $C$ über einen Punkt der Kante $\overline{GH}$ zum Punkt $L$ verläuft, etwa $19,64$ Meter.

2.7

Wahrscheinlichkeit berechnen

Bei der Farbanordnung handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Nach jedem gezogenen Ziegel verringert sich die Gesamtanzahl somit um eins.

Mit den Anfangswahrscheinlichkeiten $P(w)=\dfrac{3}{6},$ $P(g)=\dfrac{2}{6}$ und $P(b)=\dfrac{1}{6}$ ergibt sich also:

Baumdiagramm Ziegel Farbanordnung Sachsen Mathe Abi 2024

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{wgwbwg})&=& \dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1 & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{60} & \\[5pt] &\approx& 0,017 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit $p$ , mit der die Farbanordnung "wgwbwg" entsteht, entspricht somit etwa $1,7\,\%.$

Aussage beurteilen

Wenn die beiden zuerst ausgewählten Ziegel gelb sind, gibt es für die übrigen vier Stellen noch 3 weiße und einen braunen Ziegel. Der braune Ziegel kann hierbei an dritter, vierter, fünfter oder sechster Stelle ausgewählt werden, während die restlichen Ziegel alle weiß sind.

Es gibt somit genau vier Möglichkeiten, bei denen die beiden gelben Ziegel zuerst gewählt werden.

Da die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Reihenfolge wie zuvor berechnet $\dfrac{1}{60}$ beträgt, gilt für die vier möglichen Farbanordnungen:

$P(gg \; \text{zuerst}) = 4\cdot \dfrac{1}{60}=4\cdot p$

Die Aussage ist somit korrekt.

2.8

$F:$ Farbfehler

$M:$ Maßfehler

Wahrscheinlichkeit für keinen Fehler angeben

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Ziegel keinen Fehler hat, entspricht dem Gegenereignis davon, dass ein zufällig ausgewählter Ziegel mindestens einen Fehler hat.

Es gilt also: