Teil B1

Eine Landschaft besteht aus Festland I, Festland II und einem Meer. In die Landschaft ist ein kartesisches Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Kilometer) gelegt. Der Verlauf der Küstenlinie von Festland I wird für $a\in\mathbb{R}, 1 \leq a \leq 3$ durch den Graphen der Funktion $f_a$ mit

$f_a(x)=a\cdot x^3-9\cdot x^2+12\cdot x-2$

$(x\in\mathbb{R};0,00\leq x \leq 3,00)$ beschrieben (siehe Abbildung). Der Parameter $a$ beschreibt die Veränderungen der Küstenlinie von Festland I im Laufe der Zeit. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt gilt $a=2.$ Die Punkte $A,$ $B$ und $C$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f_2.$ Der Punkt $C(2,00\mid2,00)$ ist lokaler Minimumpunkt des Graphen von $f_2.$

Diagramm mit Küstenlinien und Festland in einer grafischen Darstellung.

Abbildung (nicht maßstäblich)

1.1

Gib die Koordinaten des lokalen Maximumpunktes des Graphen von $f_2$ an.
Zeige, dass der Graph der Funktion $f_2$ im Punkt $B(1,50\mid 2,50)$ einen Wendepunkt besitzt.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

1.2

Der Punkt $A$ liegt auf der Ordinatenachse. Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A$ und $C$ .
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dieser Geraden und der Ordinatenachse.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

1.3

Ein Strandwanderweg verläuft entlang der Küstenlinie von Festland I von $A$ über $C$ zu einem Zielpunkt $Z.$ Ermittle die Läge des Strandwanderweges von $A$ bis $C.$
Der Strandwanderweg von $A$ über $C$ bis zu $Z$ besitzt eine Länge von $7,50\,\text{km}.$
Ermittle die Koordinaten von $Z.$

Erreichbare BE-Anzahl: 06

1.4

Zum Küstenschutz soll vom Punkt $B$ aus eine geradlinige Buhnenreihe senkrecht zur Küstenlinie von Festland I gebaut werden. Zeige, dass die Buhnenreihe auf dem Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{3}{2}$ $(x\in\mathbb{R})$ liegt.
Die Buhnenreihe soll $0,07\,\text{km}$ ins Meer hineinragen.
Bestimme in diesem Sachzusammenhang den kleinstmöglichen Definitionsbereich von $h.$

Erreichbare BE-Anzahl: 06

1.5

Der Verlauf der Küstenlinie von Festland II wird durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=-x^2+10\cdot x-23$ $(x\in\mathbb{R};3,00\leq x \leq 6,00)$ beschrieben. Ein Motorboot befindet sich im Punkt $C$ der Küstenlinie von Festland I. Das Motorboot soll auf dem kürzesten Weg zu Küstenlinie von Festland II gelangen.
Bestimme die Länge dieses kürzesten Weges.
Ermittle die Koordinaten des Punktes, in dem das Motorboot auf die Küstenlinie von Festland II trifft.

Erreichbare BE-Anzahl: 06

1.6

Im Laufe der Zeit hat sich der Verlauf der Küstenlinie von Festland I verändert. Vor einiger Zeit verlief die Küstenlinie von Festland I durch den Punkt $D(2,00\mid1,60).$
Bestimme den Parameter $a$ so, dass der Graph der zugehörigen Funktion $f_a$ die damalige Küstenlinie von Festland I beschreibt.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.7

Durch die sich ändernde Küstenlinie von Festland I wurden in den letzten 100 Jahren bis zum gegenwärtigen Zeitpunkt $60\,\text{ha}$ Festland im Bereich $0,00\leq x \leq 3,00$ an das Meer verloren.
Bestimme den Parameter $a$ der Funktion $f_a,$ deren Graph die Küstenlinie vor 100 Jahren beschreibt.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

Es gibt eine Fähre, die ausschließlich von Fußgängern und Radfahrern genutzt wird. Der Anteil der Fußgänger an allen Nutzern der Fähre beträgt $\dfrac{2}{3}.$

1.8

Es werden 100 Nutzer der Fähre zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse unter Annahme einer Binomialverteilung:

Ereignis A:

Mehr als die Hälfte dieser Nutzer der Fähre sind Radfahrer.

Ereignis B:

Es sind weniger Fußgänger unter diesen Nutzern der Fähre als zu erwarten sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

1.9

Ein Ticket für Fußgänger kostet $1,85 \,€$ und ein Ticket für Radfahrer $3,70 \,€.$ Andere Tickets werden nicht angeboten. Für den Fährbetrieb fallen pro Tag $1040,00 \,€$ Betriebskosten an. Im Mittel sind täglich $390$ Nutzer der Fähre zu erwarten.
Berechne den mittleren Verlust der Fährbetreiber an einem Tag.
Der mittlere Verlust soll durch eine Erhöhung der Ticketpreise ausgeglichen werden. Dabei soll das Verhältnis der Tickepreise für Fußgänger und Radfahrer erhalten bleiben. Es wird davon ausgegangen, dass weiterhin im Mittel täglich $390$ Nutzer der Fähre zu erwarten sind.
Berechne, um welchen Betrag der jeweilige Ticketpreis mindestens angehoben werden muss.

Erreichbare BE-Anzahl: 07

1.10

Die Vermutung, dass der Anteil der Radfahrer an allen Fährkunden am Wochenende $70\,\%$ beträgt, soll mithilfe eines zweiseitigen Signifikanztests überprüft werden. Dazu werden $100$ Nutzer der Fähre zufällig ausgewählt und ermittelt, ob die Fußgänger oder Radfahrer sind. Die Nullhypothese „Der Anteil der Radfahrer am Wochenende beträgt $70\,\%$ “ soll überprüft werden.
Von den $100$ zufällig ausgewählten und befragten Nutzern der Fähre waren $62$ Radfahrer.
Untersuche, ob aus diesen Daten die Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ abgelehnt werden muss.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

1.1

Koordinaten des lokalen Maximumpunkts angeben

Mit dem GTR können die Koordinaten des Hochpunkts wie folg bestimmt werden:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Der Taschenrechner liefert $H(1,00\mid 3,00).$

Wendepunkt zeigen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium nachweisen

Für eine Wendestelle $x_W$ von $f_2$ muss gelten $f_2‘‘(x_W)=0:$

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also für $x_W=1,50$ erfüllt.

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Gilt zusätzlich zum notwendigen Kriterium auch $f_2‘‘‘(x_W)\neq 0,$ so handelt es sich bei $x_W$ um eine Wendestelle von $f_2:$

$\begin{array}[t]{rll} f_2‘‘(x) &=& 12\cdot x - 18 \\[5pt] f_2‘‘‘(x) &=& 12 \\[10pt] f_2‘‘‘(1,50) &=& 12\neq 0 \\[5pt] \end{array}$

Bei $x_W = 1,50$ handelt es sich also um eine Wendestelle von $f_2.$

3. Schritt: Zweite Koordinate nachweisen

Rechenweg anzeigen

$f_2(1,50)= 2,50$

Der Punkt $B(1,50\mid 2,50)$ ist also ein Wendepunkt des Graphen von $f_2.$

1.2

Schnittwinkel bestimmen

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{A}$ bestimmen

$A$ liegt auf dem Graphen von $f_2$ und auf der $y$ -Achse.

$\begin{array}[t]{rll} f_2(0)&=& 2\cdot 0^3 -9\cdot 0^2 +12\cdot 0 - 2 \\[5pt] &=& -2 \end{array}$

Der Punkt $A$ hat also die Koordinaten $A(0\mid - 2).$

2. Schritt: Schnittwinkel bestimmen

Mit den Punkten $A,$ $C$ und der $y$ -Achse kann ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden, mit dessen Hilfe der gesuchte Winkel bestimmt werden kann.

winkel, winkel berechnen, dreieck, rechter winkel, gerade, geometrie

Skizze

Die Ankathete zum gesuchten Winkel $\alpha$ hat die Länge $4,$ die Gegenkathete hat die Länge $2.$ Mit dem Tangens ergibt sich nun für $\alpha:$

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{2}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 27^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Der Schnittwinkel der Geraden durch $A$ und $C$ mit der Ordinatenachse ist ca. $27^{\circ}$ groß.

1.3

Länge des Wegs ermitteln

Die Länge des Strandwanderweges von $A$ bis $C$ kann über die Bogenlänge des Graphen von $f_2$ von $A$ bis $C$ berechnet werden. Mit der entsprechenden Formel gilt:

Rechenweg anzeigen

$s[A,C]=\, ...$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Der GTR liefert $s[A,C] \approx 6,66\,\text{[km]}.$

Der Strandweg von $A$ nach $C$ ist ca. $6,66\,\text{km}$ lang.

Koordinaten des Zielpunkts ermitteln

Es kann wieder die gleiche Formel wie oben angewendet werden. Die $x$ -Koordinate von $Z$ ist die obere Integrationsgrenze $b.$ Es muss also folgende Gleichung nach $b$ aufgelöst werden.

Rechenweg anzeigen

$s[A,Z] = 7,5$

Systematisches Ausprobieren mit dem GTR liefert die folgenden Werte:

Werte anzeigen

Die $x$ -Koordinate von $Z$ ist also ca. $2,42.$ Die zugehörige $y$ -Koordinate ist dann:

Rechenweg anzeigen

$f_2(2,42)\approx 2,68$

Die Koordinaten von $Z$ sind ca. $Z(2,42\mid 2,68).$

1.4

Lage auf dem Graphen zeigen

Die Buhnenreihe liegt auf der Normalen zum Graphen von $f_2$ im Punkt $B.$ Die Steigung der Normalen kann aus der Steigung der Tangente an den Graphen von $f_2$ im Punkt $B$ berechnet werden.
Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph von $f_2$ im Punkt $B,$ also:

$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& f_2‘(1,50) \\[5pt] &=& 6\cdot 1,50^2 -18\cdot 1,50 +12 \\[5pt] &=& -1,50 \\[5pt] \end{array}$

Für die Steigung der Normalen $m_n$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m_n &=& -\dfrac{1}{m_t} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{-1,50} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$

Die Normale soll durch den Punkt $B(1,50 \mid 2,50)$ verlaufen:

$\begin{array}[t]{rll} n: \, y &=& m_n \cdot x +b_n \\[5pt] y &=& \dfrac{2}{3} \cdot x +b_n \quad \scriptsize \mid\; B(1,50\mid 2,50) \\[5pt] 2,50 &=& \dfrac{2}{3}\cdot 1,50 +b_n \\[5pt] 2,50 &=& 1 +b_n \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 1,50 &=& b_n\\[5pt] \dfrac{3}{2} &=& b_n \end{array}$

Die Normale zum Graphen von $f_2$ im Punkt $B(1,50\mid 2,50)$ besitzt also die Gleichung $n: \, y= \dfrac{2}{3}x +\dfrac{3}{2}=h(x).$

Kleinstmöglichen Definitionsbereich angeben

Die Grenzen des Definitionsbereichs von $h$ bilden der Anfangspunkt $E$ und der Endpunkt $B$ der Buhnenreihe.
Der Endpunkt $E$ soll $0,07\,\text{km}$ von $B$ entfernt auf der Geraden $h$ liegen. Er hat also Koordinaten der Form $E\left(x_E\mid \dfrac{2}{3}x_E +\dfrac{3}{2}\right).$ Der Abstand von $B$ und $E$ soll $0,07$ beantragen. Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich folgende Gleichung:

Gleichung anzeigen

$d(B,E) = \, ...$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Der GTR liefert folgende Lösungen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 1,44 \\[5pt] x_2 &\approx& 1,56 \end{array}$

Im Fall von $x_2\approx 1,56$ würde das zweite Ende der Buhnenreihe auf dem Festland liegen, die Buhnenreihe soll aber in das Meer hineinragen, nicht ins Festland. Also kommt nur $x_1\approx 1,44$ als $x$ -Koordinate für das zweite Ende der Buhnenreihe infrage. Der kleinstmögliche Definitionsbereich von $h$ im Sachzusammenhang ist daher:

$D_h = \{x\mid x\in \mathbb{R}, 1,44\leq x \leq 1,50\}$

1.5

Länge des kürzesten Weges bestimmen

Der Ankunftspunkt $D$ liegt auf dem Graphen der Funktion $g$ und hat daher Koordinaten der Form $D(x_D\mid -x_D^2+10x_D -23).$

Der Abstand zwischen $D$ und $C$ kann wie im letzten Aufgabenteil nun durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:

Term anzeigen

$d(x) = \, ...$

$d$ beschreibt nun den Abstand zwischen dem Punkt $C$ und dem Graphen von $g.$ Das Minimum von $d$ im Bereich $3,00 \leq x \leq 6,00$ kann mit dem GTR bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Der Taschenrechner liefert $T(4,00\mid 2,24).$ Der kürzeste Weg ist also ca. $2,24\,\text{km}$ lang.

Koordinaten des Ankunftspunktes ermitteln

Die $x$ -Koordinate des Ankunftspunktes $D$ wurde oben bereits bestimmt, sie lautet $x_D = 4,00.$ Die zugehörige $y$ -Koordinate ergibt sich durch Einsetzen in den Funktionsterm von $g:$

$\begin{array}[t]{rll} g(4,00)&=& -4,00^2+10\cdot 4,00 -23 \\[5pt] &=& 1,00 \end{array}$

Der Ankunftspunkt am Festland $\text{II}$ hat die Koordinaten $D(4,00\mid 1,00).$

1.6

$a$ soll so bestimmt werden, dass der Punkt $D(2,00\mid 1,60)$ auf dem Graphen der Funktion $f_a$ liegt. Es muss also $f_a(2,00) = 1,60$ sein. Die Gleichung kann mit dem GTR nach $a$ aufgelöst werden.

Rechenweg anzeigen

$a \approx 1,95$

1.7

Der Graph von $f_2$ beschreibt den Verlauf des Festlands $\text{I}$ heute, der Graph der gesuchten Funktion $f_a$ beschreibt den Verlauf des Festlands $\text{I}$ vor $100$ Jahren.
Das verloren gegangene Land entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $f_2$ und $f_a$ im Bereich $0,00\leq x \leq 3,00.$
Gesucht ist also $a,$ sodass der Flächeninhalt dieser Fläche $60\,\text{ha} = 0,6\,\text{km}^2$ beträgt. Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals in Abhängigkeit von $a$ bestimmt werden:

Ausführlicheren Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(f_2-f_a\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(2x^3 -a\cdot x^3 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \left[0,5x^4-\dfrac{1}{4}ax^4 \right]_{0,00}^{3,00} \\[5pt] 0,60 &=& 40,5-20,25a \quad \scriptsize \mid\; -40,5 \\[5pt] -39,9 &=& -20,25a \quad \scriptsize \mid\; :(-20,25) \\[5pt] 1,97&\approx& a \end{array}$

Der Graph der Funktion $f_a$ mit $a\approx 1,97$ beschreibt die Küstenlinie vor $100$ Jahren.

1.8

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die zufällige Anzahl der Radfahrer unter den $100$ zufällig ausgewählten Nutzern der Fähre. $X$ ist binomialvertielt mit $n= 100$ und $p = \dfrac{1}{3}.$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können mit dem GTR berechnet werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X\gt 50) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 50)\quad \scriptsize \mid\; \text{GTR} \\[5pt] &\approx& 1-0,9998 \\[5pt] &=& 0,0002\\[5pt] &=& 0,02 \,\%\\[10pt] \end{array}$

Zu erwarten ist, dass $\dfrac{2}{3}$ aller Nutzer Fußgänger sind, also $\dfrac{2}{3}\cdot 100 \approx 66,7.$ Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $66$ Fußgänger unter den zufällig ausgewählten Nutzern sind. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $34$ Radfahrer unter den zufällig ausgewählten Nutzern sind.

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(X\geq 34) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 33) \quad \scriptsize \mid\; \text{GTR} \\[5pt] &\approx& 1-0,5188 \\[5pt] &=& 0,4812\\[5pt] &=& 48,12\,\%\\[5pt] \end{array}$

1.9

Mittleren Verlust pro Tag berechnen

Im Mittel sind an einem Tag $390$ Nutzer zu erwarten. Davon sind $\dfrac{2}{3}$ Fußgänger und $\dfrac{1}{3}$ Radfahrer.

Anzahl Fußgänger, die zu erwarten sind: $390\cdot \dfrac{2}{3} = 260$
Anzahl Radfahrer, die zu erwarten sind: $390\cdot \dfrac{1}{3} = 130$

Erwartete Einnahmen an einem Tag:

$260 \cdot 1,85\,€ + 130 \cdot 3,70\,€ = 962\,€$

Der Fährbetreiber nimmt am Tag im Mittel $962\,€$ ein. Er macht also $1.040,00\,€ -962,00\,€ = 78,00\,€$ Verlust.

Betrag der Erhöhung pro Ticket berechnen

Das Verhältnis der Ticketpreis soll erhalten bleiben. Im Folgenden werden die neuen Ticketpreis für Fußgänger mit $p_F$ und die für Radfahrer mit $p_R$ bezeichnet. Es soll also gelten:

$\text{I}\quad \dfrac{p_F}{p_R} = \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}$

Die neuen Ticketpreise sollen mindestens die Betriebskosten von $1.040,00\,€$ abdecken, die jeden Tag anfallen. Die Einnahmen, die der Fährbetrieb im Mittel an einem Tag hat, sollen also $1.040,00\,€$ betragen. Es folgt daher folgende Gleichung in Abhängigkeit der neuen Preise:

$\text{II}\quad p_F \cdot 260 + p_R \cdot 130 = 1.040,00 \,€$

Die erste Gleichung lässt sich beispielsweise nach $p_F$ umformen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{p_F}{p_R} &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€} \quad \scriptsize \mid\; \cdot p_R\\[5pt] p_F &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R \\[5pt] \end{array}$

Dies kann in die zweite Gleichung eingesetzt werden.

Rechenweg anzeigen

$p_R = 4,00$

Für Fußgänger gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} p_F &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R \\[5pt] &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot 4,00\,€\\[5pt] &=& 2,00\,€ \end{array}$

Der Ticketpreis für Fußgänger muss also mindestens um $2,00\,€-1,85\,€=0,15\,€$ und der Preis für Radfahrer um $4,00\,€ -3,70\,€ =0,30\,€$ erhöht werden, um die Betriebskosten pro Tag zu decken.

1.10

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die in der Stichprobe von $100$ zufällig ausgewählten Nutzern die zufällige Anzahl der Radfahrer beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Geht man davon aus, dass $Y$ entsprechend der Nullhypothese

$H_0:\,$ „Der Anteil der Radfahrer am Wochenende beträgt $70\,\%.$ “

verteilt ist, so ist $p =0,7.$

Gesucht ist nun ein Annahmebereich $A,$ der symmetrisch um den Erwartungswert von $Y$ ist. Für diesen soll aufgrund des Sginifikanzniveaus gelten:

$\begin{array}[t]{rll} &P(Y \in \overline{A})&\leq& 0,05 \\[5pt] \Leftrightarrow &P(Y \in A)&\geq& 0,95 \end{array}$

Mithilfe der Sigma-Regeln ergibt sich:

$P(\mu -1,96\cdot \sigma \leq Y \leq \mu +1,96\cdot \sigma )$ $\approx 0,95$

Für $Y$ gilt mithilfe der entsprechenden Formeln für eine binomialverteilte Zufallsgröße:

$\mu = n\cdot p = 100 \cdot 0,7 = 70$
$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$ $= \sqrt{100\cdot 0,7\cdot 0,3}$ $= \sqrt{21}$

Damit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$P(61\leq Y \leq 79)\approx 0,95$

Der Annahmebereich für die Nullhypothese ist also $A=[61;79].$ Die Anzahl der Radfahrer in der Stichprobe betrug $62.$ Dieser Wert fällt in den Annahmebereich. Die Nullhypothese muss auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ also nicht abgelehnt werden.

Bildnachweise [nach oben]

[1]