Teil B2

Die Abbildung zeigt ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ beschreibt die $xy$ -Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht.
Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern.
Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B\left(0,45\mid 0,45\mid 0,00\right)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Dieser Stumpf entsteht, indem man von einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche parallel zur Grundfläche eine kleinere Pyramide abschneidet.
Die Grundfläche $ABCD$ des unteren Teilkörpers liegt in der $xy$ -Ebene, der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung.
Der obere Teilkörper $EFGHS_t$ mit $E(0,35\mid -0,35\mid 7,16)$ ist eine gerade Pyramide mit der Spitze $S_t(0,00\mid 0,00\mid 7,16+t)$ mit $t\in \mathbb{R}$ und $t\gt 0.$

Abb. 1: nicht maßstäblich

2.1

Ermittle die Länge einer Diagonalen der Grundfläche des unteren Teilkörpers.
Begründe, dass der Punkt $F$ die Koordinaten $F(0,35\mid 0,35\mid 7,16)$ hat.
Berechne die Größe des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der $xy$ -Ebene.

(9 BE)

2.2

Es gibt Ebenen, zu denen das Modell des Obelisken symmetrisch ist.
Entscheide für jede der folgenden Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ ob sie eine derartige Ebene beschreibt.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& 0,45 \\[10pt] \text{II}\quad&y&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad&x-y&=& 0 \\[10pt] \text{IV}\quad&x-z&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Begründe für eine der Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ dass sie keine derartige Ebene beschreibt.

(5 BE)

2.3

Zeige, dass die Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ mit der Gleichung

$\epsilon: ...$

Gleichung anzeigen

liegt.
Die Seitenfläche $FGS_t$ liegt in der Ebene $\eta$ mit der Gleichung

$\eta: ...$

Gleichung anzeigen

Bestimme den Wert $t,$ für welchen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ einen Winkel von $80^{\circ}$ einschließen.

(8 BE)

2.4

Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers $EFGHS_t$ in Abhängigkeit von $t.$

(6 BE)

2.5

Die Schattenbildung des Obelisken wird am Modell untersucht.
Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{1\\1\\-2}$ dargestellt.
Für diesen Fall gibt es Werte von $t,$ so dass die Spitze $S_t$ des Obelisken einen Schatten auf die $xy$ -Ebene wirft.
Es gibt einen Wert $t,$ für den dieser Schatten $5,10\,\text{Meter}$ vom Punkt $B$ entfernt ist.
Ermittle diesen Wert $t.$

(5 BE)

2.6

Ein Miniaturmodell des Obelisken befindet sich in der Eingangshalle einer Kunstausstellung. Der Anteil der Kunstexperten unter den Besuchern dieser Kunstausstellung sei $a.$
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte.
Ermittle den Wert $a,$ für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.

(3 BE)

2.7

Die Kunstausstellung ist in der Nacht mit einer Alarmanlage gesichert. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Einbruch versucht wird, liegt bei $0,1\,\%.$
Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ Alarm. Findet in der Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,4\,\%$ zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse $E_1$ und $E_2:$

$E_1:$

„In einer Nacht wird ein Einbruch versucht. “

$E_2:$

„In einer Nacht wird ein Alarm ausgelöst. “

Weise nach, dass $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.
In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.

(6 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

2.1

Länge einer Diagonalen ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=& 2\cdot \overline{BO} \\[5pt] &=& 2\cdot \left| \pmatrix{0,45\\0,45\\0,00}\right|\\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{0,45^2+0,45^2 +0,00^2} \\[5pt] &\approx& 1,27\,[\text{LE}] \end{array}$

Die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ beträgt ca. $1,27\,\text{m}.$

Koordinaten begründen

Da der untere Teilkörper ein Teil einer geraden Pyramide ist und die Grundfläche in der $xy$ -Ebene liegt, ist das Quadrat $EFGH$ parallel zur $xy$ -Ebene. Außerdem haben alle Eckpunkte den gleichen Abstand zur $z$ -Achse.

Damit folgt, dass der Punkt $F$ die gleiche $x$ - und $z$ -Koordinate hat wie $E$ und die umgekehrte $x$ -Koordinate, also $F(0,35\mid 0,35\mid 7,16).$

Neigungswinkel berechnen

Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der $xy$ -Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte $B$ und $F$ mit der $xy$ -Ebene.
Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1},$ ein Richtungsvektor der Geraden BF ist $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BF} = \pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16}.$

Mit der Formel für den Schnittwinkel $\phi$ ergibt sich dann:

Rechenweg anzeigen

$\phi \approx 89^{\circ}$

Der Neigungswinkel der Seitenkante $\overline{BF}$ gegenüber der $xy$ -Ebene beträgt ca. $89^{\circ}.$

2.2

$\text{I:}\quad x=0,45$

Der Obelisk ist nicht symmetrisch zu dieser Ebene, da sie den Obelisken nicht schneidet, sondern lediglich an der Kante $\overline{AB}$ berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.

$\text{II:} \quad y = 0$

Diese Gleichung beschreibt die $xz$ -Ebene, die den Obelisken symmetrisch (senkrecht) halbiert.

$\text{III:}\quad x-y = 0$

Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die $z$ -Achse sowie die Punkte $B,D,F$ und $H$ enthält. Die Ebene halbiert den Obelisken also symmetrisch (diagonal).

$\text{IV:}\quad x-z =0$

Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die $y$ _Achse enthält und die Winkelhalbierende zur $xz$ -Ebene darstellt. Nur ein kleiner Teil des Obelsiken liegt unterhalb dieser Ebene, die diesen also nicht symmetrisch teilt.

2.3

Zeigen, dass die Seitenfläche in der Ebene liegt

Die Seitenfläche $EFS_t$ liegt in der Ebene $\epsilon,$ wenn alle drei Eckpunkte in dieser Ebene liegen, also die Ebenengleichung erfüllen.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $E$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506= 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $E$ erfüllen also die Ebenengleichung, sodass $E$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $F$ folgt analog:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506 = 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $F$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass $F$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $S_t$ folgt analog:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506 = 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $S_t$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass insgesamt alle drei Eckpunkte und damit die gesamte Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ liegt.

Parameterwert bestimmen

Aus den angegebenen Ebenengleichungen lassen sich zugehörige Normalenvektoren ablesen:

$\overrightarrow{n}_{\epsilon} = \pmatrix{t\\0\\0,35}$ und $\overrightarrow{n}_{\eta}=\pmatrix{0\\t\\0,35}$

Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:

Rechenweg anzeigen

$0 =\dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2}-\cos 80^{\circ}$

Diese Gleichung kann mit dem GTR gelöst werden, indem die Nullstellen des Terms auf der rechten Seite berechnet werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F1: ROOT

Der Taschenrechner liefert $t_1\approx 0,76$ und $t_2\approx -0,76.$ In der Aufgabenstellung wird $t\gt 0$ gefordert. Für $t\approx 0,76$ schließen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ also einen Winkel von $80^{\circ}$ ein.

2.4

Da es sich beim oberen Teilkörper um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt, sind alle vier Seitenflächen gleich groß. Es genügt also den Flächeninhalt des Dreiecks $EFS_t$ zu bestimmen.

Der Mittelpunt $M$ der Strecke $\overline{EF}$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\pmatrix{0,35\\0\\7,16}$

Die Höhe von $EFS_t$ kann damit folgendermaßen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} h_{EFS_t} &=& \mid \overrightarrow{MS_t} \mid \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \, \pmatrix{-0,35\\0\\t} \,\bigg \vert \,\\[5pt] &=&\sqrt{0,35^2+t^2} \end{array}$

Die Grundfläche ist gegeben durch $g_{EFS_t}=\mid \overrightarrow{EF} \mid=\,\bigg \vert \, \pmatrix{0\\0,7\\0} \,\bigg \vert \,=0,7.$

Der Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers ist damit gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4\cdot \dfrac{h_{EFS_t}\cdot g_{EFS_t}}{2} \\[5pt] &=& 2\cdot 0,7 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2} \\[5pt] &=& 1,4 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2} \end{array}$

Der gesuchte Flächeninhalt in Abhängigkeit von $t$ ist $A=1,4 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2}\,\text{m}^2$

2.5

Der Schattenpunkt $\(S$ muss drei Bedingungen erfüllen:

Er liegt in der $xy$ -Ebene, es ist also $\(z_{S$
Er liegt auf der Geraden durch $S_t$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}:$

Rechenweg anzeigen
$\( \overrightarrow{OS$

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS$
$\(S$ liegt $5,10\,\text{m}$ von $B$ entfernt: $\(\left|\overrightarrow{BS$

Aus den ersten beiden Bedingungen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 7,16+t-2r &\quad \scriptsize \mid\;+2r \\[5pt] 2r&=& 7,16+t &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] r&=& 3,58+0,5t \\[5pt] \end{array}$

Dies kann nun in die dritte Bedingung eingesetzt werden:

Rechenweg anzeigen

$t \approx 0,95$

Für $t\approx 0,95$ ist der Schatten der Spitze $5,10\,\text{m}$ vom Punkt $B$ entfernt.

2.6

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Kunstexperten. $X$ ist $B_{5;a}$ -verteilt.
Mithilfe der Binomialformel ergibt sich folgende Funktionsgleichung für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Kunstexperten in Abhängigkeit von $a:$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=& \pmatrix{5\\1}\cdot a^1\cdot (1-a)^4 \\[5pt] &=& 5\cdot a\cdot (1-a)^4 \end{array}$

Mit dem GTR kann nun das Maximum der Funktion $f(a)=5\cdot a\cdot (1-a)^4$ bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Der Taschenrechner liefert den einzigen Hochpunkt $H(0,2\mid 0,4096).$ Der Funktionswert an den Intervallrändern $p=0$ und $p=1$ beträgt $f(0)=f(1)=0.$ Für $a=0,2$ ist also die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis maximal.

2.7

Stochastische Abhängigkeit zeigen

Die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn gilt: $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1) \cdot P(E_2).$

baumdiagramm, wahrscheinlichkeiten berechnen, pfadregeln

Mit den Pfadregeln ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten.

Rechenweg anzeigen

$P(E_2)=0,004976$

$P(E_1)\cdot P(E_2)=0,000004976$

$P(E_1\cap E_2)=0,00098$

Es ist also $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1)\cdot P(E_2),$ sodass die Ereignisse $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.

Wahrscheinlichkeit für einen Einbruchsversuch berechnen

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Satzes von Bayes berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P_{E_2}(E_1)&=& \dfrac{P_{E_1}(E_2)\cdot P(E_1)}{P(E_2)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,001}{0,004976} \\[5pt] &\approx& 0,1969 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem Alarm wirklich um einen Einbruchsversuch handelt, beträgt ca. $19,69\,\%.$

Bildnachweise [nach oben]

[1]