Teil B2

In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung $O$ sind die Punkte $L \left(-\frac{25}{4}\mid -8 \mid6 \right),$ $P \left(-\frac{25}{2}\mid 0\mid 0 \right)$ und $Q \left(-\frac{21}{2}\mid -12\mid 9 \right)$ sowie die Ebene $E$ mit $E:\, 3\cdot y+4\cdot z=0$ gegeben.

2.1

Beschreibe die besondere Lage der Geraden $g$ mit

$g:\, \overrightarrow{x} =\pmatrix{0\\-12\\9} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$ $(r\in \mathbb{R})$ im Koordinatensystem.

Weise nach, dass die Ebene $E$ durch den Punkt $L$ und die Gerade $g$ eindeutig festgelegt ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

In der Abbildung sind der Punkt $L$ und das Viereck $OPQR$ dargestellt. Das Viereck $OPQR$ liegt in der Ebene $E.$

Abbildung nicht maßstäblich

2.2

Das Viereck $OPQR$ ist ein achsensymmetrisches Trapez. $Q$ und $R$ liegen auf $g.$
Berechne die Koordinaten des Punktes $R.$

Erreichbare BE-Anzahl: 04

2.3

Es gibt Punkte $S$ mit folgenden zwei Eigenschaften:

Die Punkte $S$ liegen im Viereck $OPQR.$
Das Dreieck $OPS$ hat den Flächeninhalt $12,5.$

Bestimme eine Gleichung der Geraden, auf der alle diese Punkte $S$ liegen.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

Das Viereck $OPQR$ und ein Rechteck stellen modellhaft die beiden Teile einer Minigolfbahn dar. Eine Seite des Rechtecks ist $\overline{OP}.$ Der Punkt $A(-2\mid 7\mid 0)$ liegt in dem Rechteck.

Der Punkt $L$ stellt das Loch dieser Minigolfbahn dar. lm verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\,\text{cm}$ in der Realität.

2.4

Berechne die Größe des stumpfen Winkels, den die beiden Teile der Minigolfbahn einschließen.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Im Folgenden werden verschiedene Wege von Minigolfbällen betrachtet. Jeder Ball wird dabei als punktförmig angenommen.

2.5

Nach einem Abschlag in $A$ wird ein Ball an der seitlichen Begrenzung des rechteckigen Teils der Bahn, die auf der $y$ -Achse liegt, in einem Punkt $B$ entsprechend des Reflexionsgesetzes reflektiert und erreicht $\overline{OP}$ im Punkt $C(-5\mid 0\mid 0).$

Ermittle die Koordinaten des Punktes B.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

2.6

ln der obigen Abbildung ist ein Teil des Wegs eines anderen Balls gestrichelt dargestellt. Seine Positionen auf dem dargestellten Weg können mithilfe der Punkte

$D_{k} (-5-3\cdot k\mid$ $-8\cdot k +\frac{8}{3}\cdot k^{2}\mid$ $6\cdot\ k-2\cdot k^2)$ mit $k\in \mathbb{R}$ und $k\geq 0$ beschrieben werden.

Weise nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat.
Ermittle rechnerisch, um wie viele Zentimeter der Ball das Loch verfehlt.

Erreichbare BE-Anzahl: 06

Bei der Jubiläumsfeier der Minigolfanlage werden Glücksräder (siehe folgende Abbildung) verwendet. Die als binomialverteilt angenommene Zufallsgröße $X$ gibt jeweils an, wie oft beim mehrmaligen Drehen eines Glücksrades der grau unterlegte Sektor angezeigt wird.

2.7

Ein Glücksrad mit $\alpha=100^{\circ}$ wird $10$ -mal gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

Ereignis $A:$ Der grau unterlegte Sektor wird genau dreimal angezeigt.
Ereignis $B:$ Der grau unterlegte Sektor wird häufiger angezeigt als zu erwarten ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

Bei einem vom Betreiber durchgeführten Spiel mit einem der Glücksräder können Minigolfkurse im Wert von $9$ $\text{Euro}$ gewonnen werden. Für einen Einsatz von $1$ $\text{Euro}$ wird das Glücksrad dreimal gedreht. Ein Minigolfkurs wird nur dann gewonnen, wenn dabei genau zweimal der grau unterlegte Sektor angezeigt wird.

2.8

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel einen Minigolfkurs zu gewinnen, mithilfe des Terms $\displaystyle \frac{3}{(360^{\circ})^{2}}\cdot\alpha^{2}-\frac{3}{(360^{\circ})^{3}}\cdot\alpha^{3}$ berechnet werden kann.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

2.9

Zeige, dass bei Verwendung des Glücksrades mit $\alpha=100^{\circ}$ auf lange Sicht bei diesem Spiel ein Verlust für den Betreiber entsteht.
Ermittle alle möglichen Werte von $\alpha,$ für die der Betreiber auf lange Sicht bei diesem Spiel einen Verlust haben wird.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

$\Phi(z)=$ $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{z}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^2}\;\mathrm dt$

$\Phi(-z)$ $=1-\Phi(z)$

Tabelle anzeigen

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
2
3	z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
5	0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
6	0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
7	0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
8	0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
9	0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
10	0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
11	0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
12	0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
13	0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
14	1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
15	1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
16	1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
17	1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
18	1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
19	1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
20	1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
21	1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
22	1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
23	1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
24	2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
25	2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
26	2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
27	2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
28	2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
29	2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
30	2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
31	2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
32	2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
33	2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
34	3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
35	3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
36	3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
37	3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
38	3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
39	3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
40	3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
41	3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
42	3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
43	3,9	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000