Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Welcher Term beschreibt eine mögliche Stammfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot\sqrt{x^3}$ $\left(x\in D_f\right)?$

	$\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{x^4}$
	$3\cdot\sqrt{x}$
	$\dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{x^5}$
	$8\cdot\sqrt{x^4}$
	$5\cdot\sqrt{x^5}$

1.2

Wie groß ist der Anstieg des Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=2\cdot x-\ln x$ $\left(x\in D_h\right)$ an der Stelle $x=1?$

	$-1$
	$2-\mathrm{e}$
	$1$
	$\mathrm{e}$
	$3$

1.3

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A(3\mid4\mid-2)$ und $B(-2\mid4\mid3)$ .
Welche Lage besitzt die Gerade $g$ bezüglich der $x$ - $z$ -Koordinatenebene?

	Die Gerade $g$ schneidet die $x$ - $z$ -Koordinatenebene im Koordinatenursprung.
	Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$ - $z$ -Koordinatenebene.
	Die Gerade $g$ schneidet die $x$ - $z$ -Koordinatenebene im Punkt $P(3\mid0\mid-2)$ .
	Die Gerade $g$ liegt in der $x$ - $z$ -Koordinatenebene.
	Die Gerade $g$ schneidet die $x$ - $z$ -Koordinatenebene senkrecht.

1.4

Für jeden Wert von $t\left(t\in\mathbb{R},t>0\right)$ ist ein Punkt $B_t\left(0\mid t\mid4\right)$ gegeben.
Der Abstand des Punktes $A(4\mid0\mid0)$ von $B_t$ ist $d_t$ .
Für welchen Wert von $t$ gilt: $d_t=9$ ?

	$t=3$
	$t=7$
	$t=9$
	$t=49$
	$t=81$

1.5

In einer Urne befinden sich fünf gelbe und drei blaue Kugeln.
Es werden nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen zufällig gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot 1$ berechnet.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Ereignis $E$ ?

	Es werden zwei gelbe und zwei blaue Kugeln gezogen.
	Es werden zuerst alle drei blauen und dann eine gelbe Kugel gezogen.
	Es werden zuerst drei gelbe und dann eine blaue Kugel gezogen.
	Es werden vier blaue Kugeln gezogen.
	Es werden nur gelbe Kugeln gezogen.

(10 P)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ , $g$ und $h$ durch $f(x)=x^2-x+1$ , $g(x)=x^3-x+1$ und $h(x)=x^4+x^2+1$ .

2.1

Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.

Gib an, um welche Funktion es sich handelt.

Begründe, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

Graph einer mathematischen Funktion mit Gitterlinien.

(3P)

2.2

Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $\(h$
Bestimme den Wert von $\(\displaystyle\int_{0}^{1}h$

(2P)

Betrachtet wird die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0\mid0\mid0)$ , $B(4\mid4\mid2)$ , $C(8\mid0\mid2)$ , $D(4\mid-4\mid0)$ und $S(1\mid1\mid-4)$ . Die Grundfläche $ABCD$ ist ein Parallelogramm.

3.1

Weise nach, dass das Parallelogramm $ABCD$ ein Rechteck ist.

(2P)

3.2

Die Kante $\overline{AS}$ steht senkrecht auf der Grundfläche $ABCD$ .
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $24\cdot\sqrt{2}$ .
Ermittle das Volumen der Pyramide.

(3P)

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße $X$ festgelegt, welche die drei Werte $-2$ , $1$ und $2$ annehmen kann.
In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Balkendiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k.

4.1

Ermittle mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$

(2P)

4.2

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

(3P)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6\cdot x^2+11\cdot x-6$ $(x\in\mathbb{R}).$

5.1

Weise nach, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden mit der Gleichung $y=x-2$ liegt.

(3P)

5.2

Der Graph von $f$ wird verschoben. Der Punkt $(2\mid0)$ des Graphen der Funktion $f$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$ . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion $h.$

Gib eine Gleichung von $h$ an.

(2P)

1.1

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 2\cdot\sqrt{x^3} \\[5pt] &=& 2\cdot x^{\frac{3}{2}} \\[5pt] F_c(x) &=& 2\cdot \frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}} + c \\[5pt] &=& \frac{4}{5}\cdot \sqrt{x^5} +c\\[5pt] \end{array}$

Mit $c=0$ folgt, dass die dritte Antwortmöglichkeit richtig ist.

1.2

Die Steigung des Graphen von $h$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $\(h$ beschrieben.

$\(\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 2\cdot x-\ln x \\[5pt] h$

Steigung an der Stelle $x=1:$

$\( h$

Die dritte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.3

Für die $xz$ -Koordinatenebene gilt die Gleichung $y=0.$
Da $A$ und $B$ dieselbe $y$ -Koordinate $4$ haben, haben auch alle anderen Punkte auf $g$ diese $y$ -Koordinate. $g$ verläuft daher parallel zur $xz$ -Koordinatenebene.

Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.4

$\begin{array}[t]{rll} d_t &=& 9 \\[5pt] \sqrt{(0-4)^2 + (t-0)^2 + (4-0)^2} &=& 9 \\[5pt] \sqrt{32+t^2} &=& 9 &\;\scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 32+t^2 &=& 81 &\; \scriptsize \mid\; -32 \\[5pt] t^2 &=& 49 &\; \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] t &=& \pm 7 \end{array}$

Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.5

$\dfrac{3}{8}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine blaue Kugel gezogen wird.

Jetzt befinden sich nur noch 2 blaue Kugeln in der Urne.

$\dfrac{2}{7}$ ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass wieder eine blaue Kugel gezogen wird und $\dfrac{1}{6},$ dass die dritte Kugel ebenfalls blau ist.

Danach befinden sich nur noch die 5 gelben Kugeln in der Urne. Die vierte gezogene Kugel ist also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gelb.

Es werden also drei blaue und dann eine gelbe Kugel gezogen. Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

2.1

Der Graph in der Abbildung hat zwei Extremstellen und eine Nullstelle.

Der Graph einer Funktion zweiten Grades kann nur eine Extremstelle besitzen. Somit gehört der abgebildete Graph nicht zu $f.$

Da $h$ eine Potenzfunktion ist, deren Funktionsterm nur gerade Exponenten hat, muss der Graph von $h$ symmetrisch zur $y$ -Achse sein.

Auf den abgebildeten Graphen trifft das nicht zu.

Der abgebildete Graph gehört also zur Funktion $g.$

2.2

$\(\begin{array}[t]{rll} &\displaystyle\int_{0}^{1}h$

3.1

Du sollst zeigen, dass das Parallelogramm $ABCD$ ein Rechteck ist. Dafür müssen die Winkel in den Eckpunkten rechte Winkel sein. Stelle dafür die Vektoren der Verbindungsstrecken zwischen den Eckpunkten des Parallelogramms auf und berechne dann die Skalarpodukte. Sind diese gleich null, dann ist das Parallelogramm ein Rechteck.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4-0\\4-0\\2-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\\[10pt] \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}8-4\\0-4\\2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}\\[10pt] \overrightarrow{CD}&=&\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4-8\\-4-0\\0-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-4\\-2\end{pmatrix}\\[10pt] \overrightarrow{DA}&=&\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0-4\\0-(-4)\\0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix} \end{array}$

Jetzt kannst du mit Hilfe des Skalarprodukts untersuchen, ob der Winkel in den Eckpunkten des Parallelogramms ein rechter Winkel ist. Da im Parallelogramm die gegenüberliegenden Winkel die gleiche Größe haben, ist es ausreichend die Winkel im Punkt $A$ und $B$ , $B$ und $C$ , $C$ und $D$ oder $D$ und $A$ zu berechnen.

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}$ $= \begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$ $= 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0$ $=16-16 +0$ $= 0$

$\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{CD}$ $= \begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4\\-4\\-2\end{pmatrix}$ $= 4 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (-2)$ $= -16+16 +0$ $= 0$

$\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DA}$ $= \begin{pmatrix}-4\\-4\\-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$ $=(-4) \cdot (-4) + (-4) \cdot 4 + (-2) \cdot 0$ $= 16-16 +0$ $= 0$

$\overrightarrow{DA}\circ \overrightarrow{AB}$ $= \begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$ $= (-4) \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 0 \cdot 2$ $= -16+16 +0$ $= 0$

Alle Skalarprodukte sind null, es handelt sich somit um ein Rechteck.

3.2

Deine Aufgabe ist es, das Volumen der Pyramide zu berechnen. Die Formel für das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ lautet

$V = \dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$

Die Höhe $h$ der Pyramide entspricht der Länge der Kante $\overline{AS}$ .

$\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA}$ $=\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\-4-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$

Berechne nun die Länge dieses Vektors

$h = \mid \overrightarrow{AS}\mid$ $= \sqrt{1^2 + 1^2 +(-4)^2 }$ $= \sqrt{18}$ $= 3\cdot \sqrt{2}$

Jetzt kannst du mit der oben gegebenen Formel und der Grundfläche $G=24\cdot \sqrt{2}$ das gesuchte Volumen berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot 24 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \\[5pt] &=&48 \end{array}$

Das Volumen der Pyramide beträgt 48.

4.1

Du sollst den Erwartungswert der Zufallsvariable $X$ berechnen. Den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ zu einem Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum $\Omega = \{x_1,\ldots, x_n\}$ berechnet sich wie folgt:

$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)$

Im gegebenen Zufallsexperiment lautet der Ergebnisraum $\Omega = \{-2,1, 2\}$ . Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus dem Balkendiagramm ablesen:

$P(-2) = 0,25 \quad$ $P(1) = 0,25\quad$ $P(2)=0,5$

Für den Erwartungswert ergibt sich dann:

$E(X)= (-2) \cdot 0,25 + 1\cdot 0,25 + 2 \cdot 0,5$ $=-0,5 + 0,25 + 1$ $= 0,75$

Der Erwartungswert von $X$ ist 0,75.

4.2

Nun wird das Zufallsexperiment zwei mal durchgeführt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen.

E: Die Summe der beiden Werte ist negativ.

Es gibt drei Möglichkeiten, sodass die Summe der Werte negativ ist:

$-2 + (-2) = -4$ , $-2 + 1 = -1$ und $1+(-2) = -1$

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind:

$P(-2, -2) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$
$P(-2, 1) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$
$P(1, -2) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$

Addiere diese Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ zu erhalten:

$P(E) = P(-2, -2) + P(-2, 1) + P(1, -2)$ $= 0,0625 \cdot 3 = 0,1875$

Die Wahrscheinlichkeit für eine negative Summe ist $18,75\,%$ .

5.1

Du sollst zeigen, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Gerade $y=x-2$ liegt. Bilde zunächst die ersten drei Ableitungen von $f$ , berechne den Wendepunkt und überprüfe anschließend, ob dieser auf der Gerade liegt.

Die Ableitungen von $f$ lauten:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f‘(x)&=&3x^2-12x+11\\[5pt] f‘‘(x)&=&6x-12\\[5pt] f‘‘‘(x)&=&6 \end{array}$

Den Wendepunkt berechnest du, indem du die 2. Ableitung gleich null setzt.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f‘‘(x)\\[5pt] 0&=&6x-12\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] 12&=&6x\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Da $f‘‘‘(2) = 6 \ne 0$ handelt es sich tatsächlich um einen Wendepunkt. Setze $x=2$ in den Funktionsterm von $f$ ein, um die $y$ -Koordinate des Wendepunkts zu berechnen.

$f(2)=2^3-6\cdot 2^2 + 11\cdot 2 -6$ $= 8-24+22-6 = 0$

Der Wendepunkt lautet $W(2\mid 0)$ . Setze die Koordinaten in die Gerade ein, wenn du eine wahre Aussage erhältst liegt der Punkt auf der Gerade.

$0 = 2-2 \checkmark$

Der Wendepunkt liegt also auf der Gerade.

5.2

Der Graph der Funktion $f$ wird verschoben. Nach der Verschiebung hat der Punkt $(2 \mid 0)$ die Koordinaten $(3 \mid 2)$ . Betrachte zunächst die $x$ -Koordinate. Die Funktion wurde um eine Einheit in positive $x$ -Richtung verschoben.

Der Funktionsterm der Funktion $f$ verändert sich also folgendermaßen: