Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Welchen Anstieg besitzt die Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{3} \cdot x} \quad(x \in \mathbb{R})$ an der Stelle $x=3?$

	$\mathrm e$
	$\mathrm e^{\frac{1}{3}}$
	$\dfrac{1}{3}\cdot \mathrm e$
	$\dfrac{1}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{3}}$
	$3\cdot \mathrm e$

1.2

Betrachtet werden in $\mathbb{R}$ definierte quadratische Funktionen $f,$ welche genau eine reelle Nullstelle $d$ besitzen.

Für jede derartige Funktion $f$ mit der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ gilt:

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

1.3

Die Fläche zwischen einer Strecke und der $x$ -Achse rotiert um die $x$ -Achse. Der dabei entstehende Körper hat das Volumen $V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot b.$

Welche Abbildung passt zu diesem Sachverhalt?







1.4

Die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+r\cdot \pmatrix{0\\3\\1} \; \; (r\in\mathbb{R})$ schneidet die Ebene $E: 2 \cdot x-z=2$ im Punkt

	$( 1\mid -2\mid 0).$
	$( 2 \mid 4 \mid 2).$
	$( 1 \mid 1 \mid 0 ).$
	$(2 \mid0 \mid -1).$
	$( 2\mid 1 \mid 2).$

1.5

Betrachtet wird ein Punkt $P,$ der nicht in der $xz$ -Ebene liegt. Bei Spiegelung von $P$ an dieser Ebene entsteht der Punkt $\(P$

Die Gerade durch $P$ und $\(P$ verläuft

	parallel zur $x$ -Achse.
	parallel zur $y$ -Achse.
	parallel zur $z$ -Achse.
	senkrecht zur $yz$ -Ebene.
	senkrecht zur $xy$ -Ebene.

(5 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+2 \cdot a \cdot x$ und $a \gt 1$ . Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 \cdot a$ .

2.1

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} \cdot a^3$ hat.

(2 BE)

2.2

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung).

Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f,$ dessen einzige Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

3.1

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(2 BE)

3.2

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 BE)

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\1}+\lambda\cdot \pmatrix{1\\0\\-1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}.$

4.1

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2 BE)

4.2

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\1}+\mu\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}.$

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(3\mid 5\mid 5)$ und $B(1\mid1\mid 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$ , die sich in $B$ schneiden. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\pmatrix{1\\2\\2},$ die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\pmatrix{1\\0\\0}.$

5.1

Weise nach, dass $A$ auf $g$ liegt.

(1 BE)

5.2

Bestimme die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $A B C D$ eine Raute ist.

(4 BE)

Gegeben sind die Geraden $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+r\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ und $h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{2\\1\\0}$ mit $r, s \in \mathbb{R}.$

6.1

Begründe, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

(1 BE)

6.2

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden.

Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.

(4 BE)

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1.1

	$\mathrm e$
	$\mathrm e^{\frac{1}{3}}$
	$\dfrac{1}{3}\cdot \mathrm e$
	$\dfrac{1}{3}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{3}}$
	$3\cdot \mathrm e$

Rechnungen

$\(f$

Die Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x=3$ somit den Ansteig $\dfrac{1}{3}\cdot \mathrm e.$

1.2

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Lösungsweg
Besitzt der Graph einer quadratischen Funktion genau eine Nullstelle, so entspricht diese ihrem Maximum bzw. Minimum.

Für Maxima bzw. Minima gilt mit der notwendigen Bedingung:

$\(f$

1.3







Lösungsweg
Für einen Kegel gilt:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

Da $a$ hier dem Radius $r$ und $b$ der Höhe des entstehenden Kegels entsprechen soll, passt die zweite Abbildung zum Sachverhalt.

1.4

	$( 1\mid -2\mid 0).$
	$( 2 \mid 4 \mid 2).$
	$( 1 \mid 1 \mid 0 ).$
	$(2 \mid0 \mid -1).$
	$( 2\mid 1 \mid 2).$

Rechnungen

Aus der Geradengleichung wird abgelesen:

$x=1$

$y=1+3r$

$z=1+r$

Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 1-(1+r)&=& 2&\\[5pt] 2-1-r&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; -1 \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] r&=& -1 \end{array}$

Der Ortsvektor des Schnittpunkts folgt also mit:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{1\\1+3\cdot (-1)\\1+(-1)}=\pmatrix{1\\-2\\0}$

Die Gerade schneidet die Ebene somit im Punkt $(1\mid-2 \mid0).$

1.5

	parallel zur $x$ -Achse.
	parallel zur $y$ -Achse.
	parallel zur $z$ -Achse.
	senkrecht zur $yz$ -Ebene.
	senkrecht zur $xy$ -Ebene.

2.1

Der Inhalt des Flächenstücks lässt sich wie folgt berechnen:

$A= \dfrac{4}{3} a^3$

Rechenweg anzeigen

2.2

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts ermitteln

Aus den Nullstellen bei $x=0$ und $x=2a$ ergibt sich aufgrund der Symmetrie ein Hochpunkt mit den Koordinaten $H(a \mid f(a)).$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=& -a^2+2a\cdot a& \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

2. Schritt: Wert von $a$ bestimmen

Für den Flächeninhalt des Quadrates gilt:

$A_Q=A=\dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}]$

Mit den Koordinaten des Hochpunkts $H(a \mid a^2)$ ergeben sich die Höhe und somit auch die Breite des Quadrats mit $a^2.$

Es folgt $A_Q=a^2$ und somit:

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& \dfrac{4}{3}a^3&\\[5pt] a^2\cdot a^2&=& \dfrac{4}{3}a^3 & \\[5pt] a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; :a^3\\[5pt] a&=&\dfrac{4}{3} \end{array}$

3.1

Der Graph von $g$ ergibt sich aus dem Graphen von $f$ durch Verschiebung um 3 Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung und Spiegelung an der $x$ -Achse.

Aufgrund der Spiegelung entspricht der Hochpunkt des Graphen von $f$ nach entsprechender Verschiebung also dem Tiefpunkt des Graphen von $g.$

Durch Spiegelung an der $x$ -Achse ergeben sich die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ mit $T(2\mid -1).$

3.2

4.1

Aus der Geradengleichung $g$ lassen sich $x= \lambda,$ $y= 1$ und $z=1-\lambda$ herauslesen.

Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E: \lambda+1+(1-\lambda)&=& 2& \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$

Somit liegt die Gerade $g$ in der Ebene $E.$

4.2

Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel bzw. identisch parallel zueinander sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Parallelität überprüfen:

Es muss gelten:

$\pmatrix{1\\0\\-1}= n\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$

Da aus der ersten Zeile $n=1$ , aus der zweiten Zeile $n=0$ und aus der dritten Zeile $-1\neq n\cdot 0$ folgt, hat diese Gleichung keine Lösung.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ sind folglich unabhängig von $a$ weder parallel noch identisch parallel zueinander.

Schnittpunkt prüfen:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{\lambda\\1\\-\lambda}= \pmatrix{\mu\\ \mu\cdot a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $\lambda=0$ und eingesetzt in die erste Zeile $\lambda=\mu=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch $1=0\cdot a,$ was zu einem Widerspruch führt.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ haben somit keinen Schnittpunkt miteinander und sind folglich für jeden Wert von $a$ windschief.

5.1

Da die Gerade $g$ laut Aufgabenstellung durch den Punkt $B(1\mid1\mid1)$ verläuft, ergibt sich die Geradengeichung von $g$ mit:

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\2}$

Punktprobe mit $A$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\5\\5}&=& \pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\2}&\\[5pt] \pmatrix{3\\5\\5}&=& \pmatrix{1+s\\1+2s\\1+2s} \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt $3=1+s$ und somit $s=2.$

Kontrolle durch Einsetzen von $s=2$ in Zeile 2 und 3:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 1+2\cdot 2& \\[5pt] 5&=& 5 \end{array}$

Da $s=2$ also eine Lösung des Gleichungssystems ist, liegt $A$ folglich auf $g.$

5.2

Da die Seiten einer Raute alle gleich lang sind, muss gelten:

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|$

Da die Koordinaten von $A$ und $B$ bereits gegeben sind, folgt:

$|\overrightarrow{AB}|=6$

Rechenweg anzeigen

Da der Punkt $C$ auf der Geraden $h$ liegt und den Abstand 6 zu Punkt $B$ haben soll, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC}&=& \overrightarrow{OB}+6\cdot \pmatrix{1\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\1\\1}+ \pmatrix{6\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{7\\1\\1} \end{array}$

Da die gegenüberliegenden Seiten einer Raute parallel zueinander sind, muss gelten:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=6\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OA}+6\cdot \pmatrix{1\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\5\\5}+ \pmatrix{6\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{9\\5\\5} \end{array}$

Die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ sind somit gegeben durch $C(7\mid 1 \mid1)$ und $D(9\mid 5 \mid 5).$

6.1

$g$ und $h$ sind nicht identisch, da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ keine Vielfachen voneinander sind.

6.2

Da die Richtungsvektoren der beiden Geraden gleich lang sind, ergibt sich ein Normalenvektor aus der Differenz der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\0}-\pmatrix{1\\2\\0}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Einsetzen des gemeinsamen Stützpunkts $P(1 \mid 1\mid1)$ in die allgemeine Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z&=& c& \\[5pt] 1\cdot 1-1\cdot 1+0\cdot 1&=& c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Die Koordinatengleichung folgt also mit:

$E: x-y=0$

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