Teil B2

In einem kartesischen Koordinatensystem werden die Pyramiden $ABCDS_k$ mit
$A(0\mid 0 \mid 0),$ $B(2\mid 0 \mid 0),$ $C(2\mid 2\mid 0),$ $D(0\mid 2\mid 0)$ und $S_k(1\mid 1\mid k)$
mit $k\in \mathbb{R},$ $k\gt 1$ betrachtet. Die gemeinsame Grundfläche $ABCD$ dieser Pyramiden ist quadratisch. Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

2.1

Berechne für $k=4$ den Inhalt der Mantelfläche der geraden Pyramide $ABCDS_4.$
Gib für eine Symmetrieebene der Pyramide $ABCDS_4$ eine Gleichung in parameterfreier Form an.
Begründe, dass die Gleichung

$\overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\0\\0} + r\cdot \pmatrix{-1\\1\\0} + s\cdot \pmatrix{0\\1\\1}$

mit $r,s \in \mathbb{R}$ keine Symmetriebene der Pyramide $ABCDS_4$ beschreibt.

Geometrische Darstellung eines dreidimensionalen Körpers mit Punkten und Linien im Raum.

Abbildung (nicht maßstäblich)

(6 BE)

2.2

Begründe, dass jede der Pyramiden $ABCDS_k$ gerade ist.

(2 BE)

2.3

Die Seitenfläche $ABS_k$ liegt in einer Ebene.
Zeige, dass diese Ebene durch die Gleichung $k \cdot y -z=0$ beschrieben werden kann.
Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den die Seitenfläche $ABS_k$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$ um einen Winkel der Größe 60 °C geneigt ist.

(6 BE)

Der abgebildete Punkt $T$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD.$

2.4

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{TS_k}$ wird mit $Q_k$ bezeichnet. Für einen Wert von $k$ ist $Q_k$ von der Grundfläche $ABCD$ dreimal so weit entfernt wie von jeder der vier Seitenflächen der Pyramide $ABCDS_k.$
Ermittle diesen Wert von $k.$

(4 BE)

2.5

Die Ebene mit der Gleichung $z=1$ schneidet die vier vom Punkt $S_k$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS_k$ in den Punkten $E_k,$ $F_k,$ $G_k$ und $H_k$ (siehe Abbildung).
Berechne die $x$ - und $y$ -Koordinate von $F_k.$
Bestimme diejenigen Werte von $k,$ für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ zum Volumen der Pyramide $ABCDS_k$ $1:8$ beträgt.

(7 BE)

Eine Werbefirma produziert Schlüsselanhänger in Form von Pyramiden, wobei 75 % dieser Pyramiden ein Firmenlogo besitzen. Die Anzahl der Pyramiden mit Firmenlogo unter den der Produktion zufällig entnommenen Pyramiden wird als binomialverteilt angenommen.

2.6

Der Produktion werden 200 Pyramiden zufällig entnommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 50 % und weniger als 70 % dieser Pyramiden ein Firmenlogo besitzen.

(3 BE)

2.7

Ermittle, wie viele Pyramiden der Produktion mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens 10 dieser Pyramiden ein Firmenlogo besitzen.

(3 BE)

2.8

70 % aller produzierten Pyramiden bestehen aus durchsichtigem Material. Der Anteil derjenigen Pyramiden, die aus durchsichtigem Material bestehen und grün sind, beträgt 14 %.
Von allen produzierten Pyramiden sind 26 % grün.
Der Produktion der Werbefirma wird eine Pyramide zufällig entnommen.
Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
Untersuche die Ereignisse „Die Pyramide besteht aus durchsichtigem Material.“ und „Die Pyramide ist grün.“ auf stochastische Abhängigkeit.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine entnommene Pyramide aus durchsichtigem Material besteht, unter der Bedingung, dass sie nicht grün ist.

(7 BE)

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2.1

$S_4$ ist gegeben durch $S_4(1\mid 1\mid 4)$ . Zur Berechnung der Mantelfläche wird der Mittelpunkt $M(2\mid1\mid 0)$ von $\overline{BC}$ herangezogen.

$4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \mid\overrightarrow {MS_4}\mid=4\cdot \sqrt{17}$

Die Mantelfäche beträgt etwa $16,5 [FE]$ .

Die Gleichung einer Symmetrieebene ist zum Beispiel $x=1$ .

Die Gleichung $\overrightarrow x=\pmatrix{2\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{-1\\1\\0}$ mit $r\in\mathbb{R}$ stellt die Gerade durch die Punkte $B$ und $D$ dar. Der Vektor $\pmatrix{0\\1\\1}$ ist nicht parallel zur Symmetrieebene, die diese Gerade enthält, sodass die gegebene Gleichung keine Symmetrieebene der Pyramide $ABCDS_4$ darstellt.

2.2

Die quadratische Grundfläche liegt in der $xy$ -Ebene. Die Körperhöhe steht senkrecht auf der Mitte der Grundfläche, da der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundflächen die gleichen $x$ - und $y$ -Koordianten, wie $S_k$ hat.

2.3

Punktprobe für die Punkte $A$ , $B$ und $S_k$ :

Punkt $A$ : $\quad k\cdot 0-0=0$

Punkt $B$ : $\quad k\cdot 0-0=0$

Punkt $S_k$ : $\quad k\cdot 1-k=0$

Die Koordinaten der Punkte $A$ , $B$ und $S_k$ erfüllen die Gleichung $ky-z=0$ , sodass die Ebene $ABS_k$ durch die gegebene Gleichung beschrieben werden kann.

Mit $\overrightarrow u =\pmatrix{0\\1\\k}$ und $\overrightarrow v =\pmatrix {0\\1\\0}$ und $\cos(60^{\circ})=\dfrac{1}{2}$ ergibt sich für $k\gt1$ :

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$k= \pm \sqrt{3}$

Mit der Vorraussetzung $k \gt 1$ ergibt sich: Für $k=\sqrt{3}$ ist die Seitenfläche $ABS_k$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$ um $60^{\circ}$ geneigt.

2.4

$\overrightarrow {OQ_k}=\overrightarrow {OT}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {TS_k}$ $=\pmatrix {1\\1\\0}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\0\\k}=\pmatrix{1\\1\\ \frac{k}{2}}$

$Q_k$ hat also die Koordinaten $Q_k \left(1\mid 1\mid \frac{k}{2} \right)$ .

Der Abstand von $Q_k$ zur Grundfläche lässt sich wie folgt berechnen:

$\mid \overrightarrow {TQ_k} \mid=\sqrt{\left(\dfrac{k}{2}\right)^2}=\dfrac{k}{2}$

Der Abstand zur Seitenfläche lässt sich mit Hilfe der Ebenengleichung aus Aufgabe $2.3$ berechnen:

Hilfsgerade $h$ mit dem Normalenvektor der Ebene und $Q_k$ aufstellen:

$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1 \\ 1 \\ \frac{k}{2}}+ t \cdot \pmatrix{0 \\ k \\ -1}$

Durch Einsetzen in die Ebenengleichung folgt:

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$t = - \dfrac{k}{2 \cdot (k^2 + 1)}$

Nun gilt für den Abstand zwischen $Q_k$ und einer Seitenfläche:

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$\left| - \dfrac{k}{2 \cdot (k^2 + 1)} \cdot \pmatrix{0 \\ k \\ -1} \right| = \dfrac{k}{2 \cdot \sqrt{k^2 + 1}}$

Der Punkt $Q_k$ ist dreimal so weit zur Grundfläche entfernt wie von jeder der Seitenflächen. Daraus folgt:

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$\pm \sqrt{8} = k$

Mit der Vorraussetzung $k \gt 1$ folgt: Für $k = \sqrt8$ ist $Q_k$ von der Grundfläche dreimal so weit entfernt, wie von den Seitenflächen der Pyramide.

2.5

Gerade durch $BS_k$ :

$g: \overrightarrow x=\pmatrix {2\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-1\\1\\k}$ mit $s \in \mathbb {R}$

Gerade $g$ mit der Gleichung $z=1$ gleichsetzen:

$\pmatrix {2\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-1\\1\\k}=\pmatrix{x\\y\\1}$

Dies liefert $s=\dfrac{1}{k}$ .

$g: \overrightarrow x=\pmatrix {2\\0\\0}+\dfrac{1}{k}\cdot \pmatrix{-1\\1\\k}$ $=\pmatrix{2-\frac{1}{k}\\\frac{1}{k}\\1}$

Die Koordinaten von $F_k$ lauten $F_k \left(2-\dfrac{1}{k}\,\bigg \vert \, \dfrac{1}{k}\,\bigg \vert \, 1\right)$ .

Das Volumen der Pyramide $ABCDS_k$ berechnet sich wie folgt:

$V_{ABCDS_k}=\dfrac{1}{3}\cdot 2^2\cdot k$

Das Volumen der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ berechnet sich wie folgt:

$V_{E_kF_kG_kH_kT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left(2-\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k}\right)^2\cdot 1$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(2-\dfrac{2}{k}\right)^2$

Verhältnis des Volumens der Pyramiden mit $k\gt1$ :

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_{E_kF_kG_kH_kT}}{V_{ABCDS_k}}&=&\dfrac{1}{8}&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \left(2-\dfrac{2}{k}\right)^2}{\dfrac{1}{3}\cdot 2^2\cdot k}&=&\dfrac{1}{8}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Taschenrechner folgt:
Für $k_1=2$ und $k_2=\sqrt{5}+3$ beträgt das Verhältnis des Volumens der Pyramiden $\dfrac{1}{8}$ .

2.6

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl an Pyramiden mit Firmenlogo. $X$ ist binomialverteilt mit $B_{200;0,75}$ .

$200\cdot 0,5=100 \quad$ und $\quad 200\cdot 0,7=140$

$P(101\leq X\leq 139)\approx 0,0454$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $50\,\%$ , aber weniger als $70\,\%$ der Pyramiden ein Firmenlogo haben, beträgt $4,54\,\%$ .

2.7

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl an Pyramiden mit Firmenlogo. $X$ ist binomialverteilt mit $B_{n;0,75}$ .

$P(10\leq X\leq n)\gt 0,95$

Für $n=17$ ist $P(10\leq X\leq n)$ das erste Mal größer als $0,95$ . Es müssen also mindesten $17$ Pyramiden entnommen werden.

2.8

	grün	nicht grün
durchsichtig	$0,14$	$0,56$	$0,70$
nicht durchsichtig	$0,12$	$0,18$	$0,30$
	$0,26$	$0,74$	$1$

$P(\text{durchsichtig})\cdot P(\text{grün})$ $=0,26\cdot 0,7$ $=0,182$

$P(\text{durchsichtig und grün})=0,14$

Die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig.

$\dfrac{P(\text{durchsichtig und nicht grün})}{P(\text{nicht grün})}$ $= \dfrac{0,56}{0,74}$ $=\dfrac{28}{37}=0,\overline{756}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine entnommene Pyramide aus durchsichtigem Material besteht und nicht grün ist, beträgt etwa $76\,\%$ .

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