Teil B2

Die Abbildung zeigt das Viereck $A B C D$ mit $A(0\mid3\mid 0), \; B(0\mid9\mid 0), \; C(2\mid8\mid 4)$ und $D(2\mid4\mid 4).$

Gegeben sind außerdem die Punkte $S_t(0\mid6\mid t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ und $t \geq 0.$

2.1

Weise nach, dass das Viereck $A B C D$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Zeige, dass dieses Trapez kein Rechteck ist.

(4 BE)

2.2

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $A B C D.$

(3 BE)

Abbildung (nicht maßstäblich)

Das Viereck $A B C D$ liegt in der Ebene $E.$ Diese Ebene schneidet die $xy$ -Ebene unter dem Winkel $\varphi.$

2.3

Zeige, dass $E$ durch die Gleichung $2 \cdot x-z=0$ beschrieben werden kann.

Berechne die Größe des Winkels $\varphi.$

(5 BE)

2.4

Die Ebene $E$ schneidet die $xz$ -Ebene in einer Gerade.

Gib die Koordinaten zweier Punkte an, die auf dieser Gerade und symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs liegen.

(2 BE)

2.5

Untersuche, ob es einen Wert $t$ gibt, für den das Dreieck $C B S_t$ gleichseitig ist.

(8 BE)

2.6

Gib einen Term an, mit dem der Flächeninhalt des Dreiecks $C B S_t$ unter Verwendung der gegebenen Punkte ermittelt werden kann.

Begründe, dass der Term $\dfrac{|\overline{B C}| \cdot\left|\overline{B S_t}\right| \cdot \sin \left(90^{\circ}-\varphi\right)}{2}$ zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $C B S_t$ nicht geeignet ist.

(6 BE)

2.7

Vom Punkt $S_t$ aus wird das Lot auf die Ebene $E$ gefällt.

Ermittle diejenigen Werte von $t$ , für die der Lotfußpunkt im Inneren des Vierecks $A B C D$ liegt.

(5 BE)

Im Folgenden gilt $t>4.$

Die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $C$ schneidet die $xy$ -Ebene im Punkt $\(C_t$ die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $\(D_t$ (vgl. Abbildung).

2.8

Bestimme die $x$ -Koordinate von $\(D_t$

Begründe: Die Summe der $y$ -Koordinaten von $\(C_t$ und $\(D_t$ ergibt 12.

(6 BE)

2.9

Das Volumen der Pyramide $\(A B C_t$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch einen der drei abgebildeten Graphen $G_1, G_2$ und $\mathrm{G}_3$ dargestellt.

Gib diesen Graphen an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

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2.1

Sowohl $A$ und $B$ als auch $C$ und $D$ haben übereinstimmende $x$ - und $z$ -Koordinaten, $\overline{A B}$ und $\overline{C D}$ sind also parallel.

Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{AD}\mid&=& \left| \pmatrix{2\\1\\4}\right| & \\[5pt] &=& \sqrt{2^2+1^2+4^2} & \\[5pt] &=& \sqrt{21} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{BC}\mid&=& \left| \pmatrix{2\\(-1)\\4}\right| & \\[5pt] &=& \sqrt{2^2+(-1)^2+4^2} & \\[5pt] &=& \sqrt{21} \end{array}$

Die gegenüberliegenden Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ sind somit gleich lang.

Für den Winkel zwischen benachbarten Seiten gilt jedoch:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{0\\6\\0}\circ \pmatrix{2\\1\\4}& \\[5pt] &=& 0\cdot 2+6\cdot 1+0\cdot 4& \\[5pt] &=& 6 \end{array}$

Wegen $\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD} \neq 0$ folgt also, dass das Trapez kein Rechteck ist.

2.2

Die Höhe des Trapez entspricht der Strecke $\overline{FD}$ mit $F(0\mid4\mid 0).$ Der Flächeninhalt des Trapez lässt sich nun wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|+|\overline{CD}|)\cdot |\overline{FD}|&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (6+4)\cdot \sqrt{20}&\\[5pt] &=& 10\cdot \sqrt{5} \; \; [\text{FE}] \end{array}$

2.3

Punktprobe mit $A,B$ und $C:$

$\begin{array}[t]{rll} A: \; 2\cdot 0-0&=& 0&\\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} B: \; 2\cdot 0-0&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} C: \;2\cdot 2-4&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

Da die drei Punkte in der Ebene $E$ mit der gegebenen Gleichung liegen, liegt folglich das gesamte Viereck $ABCD$ in der durch die Gleichung beschriebenen Ebene.

2.4

Für die Punkte auf der Geraden muss $y=0$ und $2\cdot x-z=0$ gelten.

Die Koordinaten möglicher Punkte sind somit $S_1(2\mid 0\mid 4)$ und $S_2(-2 \mid 0 \mid -4).$

2.5

Für ein gleichseitiges Dreieck muss gelten:

$|\overline{BC}|= |\overline{BS_t}|$

Rechnung anzeigen

Wegen $t\geq 0$ folgt also $t_1=2\cdot \sqrt{3}.$

Außerdem muss gelten:

$|\overline{BC}|= |\overline{CS_t}|$

Rechnung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich die Lösungen $t_2=4-\sqrt{13}$ und $t_3=4+\sqrt{13}.$

Wegen $t_1\neq t_2$ und $t_1\neq t_3$ gibt es also keinen Wert von $t,$ für den das Dreieck $CBS_t$ gleichseitig ist.

2.6

Term angeben

$A_{CBS_t}=\dfrac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS_t} \right|$

Begründung

In Abhängigkeit von $t$ ändert sich die Größe des Winkels zwischen den Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{BS_t}$ des Dreiecks $C B S_t$ und entspricht nicht $90^{\circ}-\varphi.$

2.7

Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch $S_t$ verläuft und senkrecht zu $E$ steht:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OS_t}+r\cdot \overrightarrow{n} & \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\t}+r\cdot \pmatrix{2\\0\\-1} \end{array}$

Lotfußpunkt $L$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (0+2r) - (t-r)&=& 0& \\[5pt] 4r - t +r&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +t\\[5pt] 5r&=& t&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] r&=& \dfrac{t}{5} \end{array}$

Einsetzen von $r=\dfrac{t}{5}$ in $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OL}&=& \pmatrix{0\\6\\t}+\dfrac{t}{5} \cdot \pmatrix{2\\0\\-1}& \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{2}{5}\cdot t\\6\\\dfrac{4}{5}\cdot t} \end{array}$

Damit der Lotfußpunkt also im Inneren des Vierecks liegt, muss $0 \lt \dfrac{2}{5}\cdot t \lt 2$ gelten.

Für $0 \lt t \lt 5$ ist dies somit erfüllt.

2.8

$x$ -Koordinate bestimmen

Geradengleichung durch $D_t$ und $S_t$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} h: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OD}+s\cdot \overrightarrow{DS_t} & \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\4\\4}+s\cdot \pmatrix{-2\\2\\t-4} \end{array}$

Da die $y$ -Koordinate von $\(D_t$ Null sein soll, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4+s\cdot (t-4)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] s\cdot (t-4) &=& -4&\quad \scriptsize \mid\; :(t-4) \\[5pt] s&=& -\dfrac{4}{t-4} \end{array}$

Die $x$ -Koordinate von $\(D_t$ ergibt sich also mit:

$\(\begin{array}[t]{rll} x_{D_t$

Aussage begründen

Wegen $y_{M_{C D}}=y_{S_t}=6$ und da $CD$ senkrecht zur $xz$ -Ebene verläuft, gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_{C_t$

2.9

Für $t \rightarrow 4$ wird der Inhalt der Grundfläche der Pyramide beliebig groß, während die Höhe stets größer als 4 ist. Für $t \rightarrow+\infty$ wird die Höhe beliebig groß, während der Inhalt der Grundfläche stets größer ist als der Inhalt des Vierecks mit den Eckpunkten $A, B,(2|8| 0)$ und $(2|4| 0)$ . Damit wird das Volumen in beiden Fällen beliebig groß.

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