Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Welche der folgenden auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen besitzt genau drei Nullstellen?

	$f(x)=\mathrm e^x\cdot(2\cdot x^2-3\cdot x+5)$
	$f(x)=\sin x$
	$f(x)=x\cdot(x^2+5)$
	$f(x)=x^2\cdot\mathrm e^x$
	$f(x)=3\cdot(x^2-1)\cdot(x+2)$

1.2

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f.$ Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall zu?

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Graf einer Funktion f in einem Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

1.3

Für welchen reellen Wert von $t$ sind die Vektoren $\pmatrix{t\\2\\1}$ und $\pmatrix{1\\2-t\\1}$ orthogonal zueinander?

	$t=1$
	$t=2$
	$t=3$
	$t=4$
	$t=5$

1.4

Die Abbildung zeigt für einen positiven reellen Wert $a$ einen Ausschnitt der Ebene $E_a$ in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinantenursprung $O.$ Die Ebene $E_a$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

	$E_a:x+y+z=0$
	$E_a:x+y+z=a$
	$E_a:x+y+z=3\cdot a$
	$E_a:y+z=a$
	$E_a:x=a$

Drei Achsen in einem 3D-Koordinatensystem mit einem grünen Dreieck und Beschriftungen.

Abbildung (nicht maßstäblich)

1.5

Beim Wurf einer verbeulten Münze fällt das Wappen mit der Wahrscheinlichkeit $p$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 10-maligen Werfen dieser Münze genau zweimal Wappen fällt, lässt sich mit folgendem Term berechnen:

	$p^2\cdot(1-p)^8$
	$2\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
	$\pmatrix{10\\2}\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
	$p^8\cdot(1-p)^2$
	$\pmatrix{10\\2}\cdot p^8\cdot(1-p)^2$

Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10

Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen.

2.1

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Graph einer Parabel mit den Achsen x und y.

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Grafik eines Koordinatensystems mit einer parabolischen Kurve. Achsen sind beschriftet.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

2.2

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen $E$ mit

$E:\,\overrightarrow{x}= ...$

Gleichung anzeigen

$(s\in\mathbb{R},t\in\mathbb{R})$ und $F$ mit $F:-x+2\cdot y+z=1$ gegeben.

3.1

Gib die Koordinaten eines Punktes an, der in $F$ liegt.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

3.2

Zeige, dass $F$ parallel zu $E$ ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

3.3

Gib eine Gleichung einer Ebene an, die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“, die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.

4.1

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

4.2

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Im Folgenden wird die gegenseitige Lage von Ebenen und Punkten mit drei gleichen Koordinaten betrachtet.

5.1

Die Ebene $E:3\cdot x+2\cdot y+2\cdot z=6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

5.2

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.1

	$f(x)=\mathrm e^x\cdot(2\cdot x^2-3\cdot x+5)$
	$f(x)=\sin x$
	$f(x)=x\cdot(x^2+5)$
	$f(x)=x^2\cdot\mathrm e^x$
	$f(x)=3\cdot(x^2-1)\cdot(x+2)$

Begründung: Nullstellen lauten nach dem Satz vom Nullprodukt $x_1 = 1,$ $x_2 = -1,$ $x_3 = -2.$

1.2

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Begründung: Da $x = -1$ und $x = 1$ beides Extremstellen sind, ist die Ableitung von $f$ dort $0.$

1.3

	$t=1$
	$t=2$
	$t=3$
	$t=4$
	$t=5$

Begründung:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t\\2\\1} \circ \pmatrix{1\\2-t\\1}&=&0 \\[5pt] t +4-2t +1 &=& 0 \\[5pt] 5-t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 5 &=& t \end{array}$

1.4

	$E_a:x+y+z=0$
	$E_a:x+y+z=a$
	$E_a:x+y+z=3\cdot a$
	$E_a:y+z=a$
	$E_a:x=a$

Begründung: Die Ebene muss die Punkte $P_1(a \mid 0 \mid 0),$ $P_2(0 \mid a \mid 0)$ und $P_3(a \mid 0 \mid 0)$ enthalten. Durch Einsetzen in die Ebenengleichung folgt das Ergebnis.

1.5

	$p^2\cdot(1-p)^8$
	$2\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
	$\pmatrix{10\\2}\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
	$p^8\cdot(1-p)^2$
	$\pmatrix{10\\2}\cdot p^8\cdot(1-p)^2$

Begründung: Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl geworfener Wappen. $X$ ist binomialverteilt mit $n = 10,$ $k = 2$ und $p.$ Mit der Formel für die Binomiaverteilung folgt das Ergebnis.

2.1

Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gehören.

Graph $\text{III}$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Eine Tangente an $G_f$ bei $x=0$ widerlegt diese Steigung. Graph $\text{III}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gehören.

Damit gehört Graph $\text{I}$ zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

2.2

Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ ausschließlich unterhalb der $x$ -Achse. Damit ist die zugehörige Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.

3.1

Durch beliebiges Wählen von $x$ und $y$ lässt sich $z$ berechnen. Beispiel:

Für $x = y = 0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -x + 2y + z& =& 1 \\[5pt] 0 + 0 +z &=& 1 &\\[5pt] z &=& 1 \\[5pt] \end{array}$

Ein Punkt, der in $F$ liegt, lautet also beispielsweise $P(0\mid 0\mid 1).$

3.2

$F$ und $E$ sind parallel, wenn der Normalenvektor von $F$ orthogonal zu den Spannvektoren von $E$ ist.
Dies ist der Fall, wenn das jeweils zugehörige Skalarprodukt Null ist:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{1\\1\\-1} &=& 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{2\\3\\-4} &=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Die beiden Ebenen $E$ und $F$ sind also parallel.

3.3

Da die Spannevktoren von $E$ orthogonal zum Normalenvektor von $F$ sind, können sie als Normalenvektor der neuen Ebene dienen. Damit folgt:

$G:\, x+y-z = d$

Einsetzen der Koordinaten des Koordinatenursprungs $O(0\mid 0\mid 0)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x+y-z &=& d \\[5pt] 0+0-0 &=& d \\[5pt] 0 &=& d \end{array}$

Eine Gleichung einer Ebene $G,$ die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält, lautet:

$G:\, x+y-z = 0.$

Es gibt unendlich viele weitere mögliche Ebenen $G$ .

4.1

Es gilt $P(0) = P(1) = P(2) = \frac{1}{5}$ und $P(9) = \frac{2}{5}.$

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$P(2019) = \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{625}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.

4.2

Mögliche Kombinationen: $E = \{ 92;\; 29;\; 99 \}$

$P(E) = \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{25}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$

5.1

Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Durch Einsetzen in die Ebenengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 3x +2y +2z &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \dfrac{6}{7} \end{array}$

Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $P \left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$

5.2

Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$

Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.