Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

$\;$

1.1

Für jede reelle Zahl $a$ $(a\,\gt \,0)$ ist eine Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=\mathrm{ln}(a\cdot x) \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}})$ gegeben. Die erste Ableitungsfunktion $f_a‘$ von $f_a$ wird beschrieben durch:

▢	$f_a‘(x)=\dfrac{\mathrm{ln}\,a}{x} \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}‘})$
▢	$f_a‘(x)=\dfrac{a}{x} \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}‘})$
▢	$f_a‘(x)=\dfrac{1}{x} \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}‘})$
▢	$f_a‘(x)=\dfrac{1}{a\cdot x} \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}‘})$
▢	$f_a‘(x)=\mathrm{ln}\,a \quad (x\in \mathbb{D}_{f_{a}‘})$

$\;$

1.2

Für die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{x+2}{(x+2)\cdot (x-1)} \quad(x\in \mathbb{D}_f)$ gilt:

▢	Die Funktion f besitzt an der Stelle $x=-2$ einen Funktionswert.
▢	Die Funktion f besitzt an der Stelle $x=-2$ zwei Funktionswerte.
▢	Die Funktion f besitzt an der Stelle $x=-2$ eine Nullstelle.
▢	Die Funktion f besitzt an der Stelle $x=-2$ eine Polstelle.
▢	Die Funktion f besitzt an der Stelle $x=-2$ einen Grenzwert.

$\;$

1.3

ln einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene $E$ mit $E:3\cdot y-4\cdot z=7$ gegeben. Die Ebene $E$ verläuft

▢	parallel zur $y$ - $z$ -Koordinatenebene.
▢	parallel zur Ebene $F$ mit $F:3\cdot y+4\cdot z=10$ .
▢	senkrecht zur $x$ -Achse.
▢	parallel zur $x$ -Achse.
▢	durch den Koordinatenursprung.

$\;$

1.4

Für das Vektorprodukt der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt:

▢	$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=c \quad (c\in\mathbb{R})$
▢	$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$
▢	$(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{a}$ und $(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{b}$
▢	$\|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\|= \|\overrightarrow{a}\|\cdot \|\overrightarrow{b}\|\cdot \mathrm{cos}\sphericalangle \, (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$
▢	$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}= \overrightarrow{b}\times\overrightarrow{b} =1$

$\;$

1.5

Bei einer Eignungsprüfung werden in einem Test vier Fragen gestellt. Zu jeder Frage werden drei Antworten vorgegeben, von denen jeweils genau eine richtig ist.

Eine Person wählt in diesem Test bei jeder Frage genau eine Antwort zufällig aus und kreuzt diese an.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keine richtige Antwort ankreuzt, beträgt:

▢	▢	▢	▢	▢
$\dfrac{1}{81}$	$\dfrac{16}{81}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{2}{3}$	$\dfrac{3}{4}$

(10P)

Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=-a\cdot x\cdot (x-a)$ $(x\in\mathbb{R};a\in\mathbb{R},a\gt 0)$ .

$\;$

2.1

Gebe die Nullstellen der Funktionen $f_a$ an.

(1P)

$\;$

2.2

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den $\displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm {dx}=\frac{8}{3}$ gilt.

(4P)

Gegeben sind die Ebene $E$ mit $E:2\cdot x+y+2\cdot z=6$ sowie die Punkte $P(1\mid 0\mid 2)$ und $Q(5 \mid 2 \mid 6)$ .

$\;$

3.1

Zeige, dass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft.

(2P)

$\;$

3.2

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen symmetrisch zu einer Ebene $F$ .

Ermittle eine Gleichung von $F$ .

(3P)

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl ( $Z$ ) oder zum zweiten Mal Wappen ( $W$ ) oben liegt.

Als Ergebnismenge wird festgelegt: { $ZZ;WW;ZWZ;ZWW;WZZ;WZW$ } .

$\;$

4.1

Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

(2P)

$\;$

4.2

Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.

Berechne den Erwartungswert von $X$ .

(3P)

Für jeden Wert von $a$ $(a\in\mathbb{R}, a\gt 0)$ ist die Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=a\cdot e^{\,a+x}\quad (x\in\mathbb{R})$ .

Die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ wird mit $t_a$ bezeichnet.

$\;$

5.1

Weise nach, dass für jeden Wert von $a$ die Tangente $t_a$ durch die Gleichung $y=a\cdot e^{\,a-1}\cdot x+2\cdot a\cdot e^{\,a-1}$ beschrieben werden kann.

(3P)

$\;$

5.2

Für jeden Wert von $a$ schließen die Tangente $t_a$ und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $a$ .

(2P)

1.1

$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion auswählen

Um die richtige erste Ableitungsfunktion $f_a‘$ zu bestimmen, leite $f_a$ mit Hilfe der Kettenregel ab.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&\ln(a\cdot x) \\[10pt] f_a‘(x)&=& a\cdot \dfrac{1}{a\cdot x} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{x} \\[5pt] \end{array}$

Die dritte Antwort ist korrekt, $\, f_a‘(x)=\dfrac{1}{x}$ beschreibt die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Eigenschaft der Funktion bestimmen

Gehe die einzelnen Eigenschaften nacheinander durch und überlege, ob sie auf $f$ zutreffen können oder nicht. Gegeben ist $f$ durch $f(x)= \dfrac{x+2}{(x+2)\cdot (x-1)}$ .

Funktionswerte

Um zu überprüfen, ob $f$ einen Funktionswert an der Stelle $-2$ besitzt, versuche $x=-2$ in $f(x)$ einzusetzen:

$f(-2) = \dfrac{0}{0\cdot (-3)}$

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Im letzten Schritt wird durch Null geteilt, was aber nicht möglich ist. Also besitzt $f$ an der Stelle $x=-2$ keinen Funktionswert. Die ersten beiden Antwortmöglichkeiten sind damit falsch.

Nullstelle

Damit $f$ bei $-2$ eine Nullstelle besitzt, müsste für den Funktionswert $f(-2)=0$ gelten. Da $f$ an dieser Stelle aber keinen Funktionswert besitzt, kann dieser auch nicht Null sein. Die dritte Antwortmöglichkeit ist damit auch falsch.

Polstelle

Eine gebrochenrationale Funktion kann Polstellen generell nur in den Nullstellen des Nenners besitzen. In diesem Fall kommt also $-2$ als Polstelle infrage. Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Polstelle handelt, musst du noch die Vielfachheit dieser Nullstelle im Nenner und im Zähler bestimmen.

Ist diese gleich, handelt es sich nicht um eine Polstelle.
Kommt die Nullstelle im Nenner öfter vor als im Zähler, handelt es sich um eine Polstelle.

Die Nullstelle $-2$ besitzt sowohl im Zähler als auch im Nenner die Vielfachheit eins. Es handelt sich also nicht um eine Polstelle. Die vierte Aussage ist demnach auch falsch.

Grenzwert

Nach dem Ausschlussverfahren weißt du jetzt schon, dass die letzte Aussage richtig sein muss. Du kannst aber auch den Grenzwert bestimmen, um sicher zu gehen.
Würdest du $x=-2$ einsetzen, würdest du den Ausdruck $\dfrac{0}{0}$ erhalten. Ist dies der Fall $\left(\text{ oder auch } \dfrac{\pm \infty}{\pm\infty}\right)$ kannst du die Regel von l‘Hospital verwenden:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g‘(x)}{h‘(x)}$

$\lim\limits_{x\to-2} \dfrac{x+2}{(x+2)\cdot (x-1)} = -\dfrac{1}{3}$

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Der Grenzwert existiert also. Die letzte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.3

$\blacktriangleright$ Verlauf der Ebene bestimmen

Um den Verlauf der Ebene zu bestimmen, betrachte zunächst die Ebenengleichung genauer hinsichtlich bestimmter Auffälligkeiten. Überlege dir dann, welche Auswirkungen diese auf die Koordinaten der Punkte auf der Ebene haben.

Dir sollte auffallen, dass kein $x$ vorkommt. Das bedeutet, dass nur die $y$ - und $z$ -Koordinaten der Punkte in der passenden Relation zueinander stehen müssen, damit der Punkt auf der Ebene liegt. Die $x$ -Koordinate kann beliebig gewählt werden. Daher ist die Ebene parallel zur $x$ -Achse.

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.4

$\blacktriangleright$ Eigenschaft des Vektorprodukts erkennen

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren hat verschiedene Eigenschaften. Unter anderem ist das Ergebnis ein dritter Vektor, der senkrecht zu den beiden anderen Vektoren liegt.

Die dritte Aussage ist also richtig.

1.5

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in dem beschriebenen Eignungstest durch Zufall keine Antwort richtig ist. Es gibt insgesamt $4$ Fragen, bei denen es jeweils drei Antwortmöglichkeiten gibt, von denen genau eine richtig ist. Bei jeder Frage ist die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort also $\frac{2}{3}$ . Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Du erhältst folgendes Ergebnis:

$P(\text{keine richtige Antwort}) =\frac{16}{81}$

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Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

2.1

$\blacktriangleright$ Nullstellen angeben

Um die Nullstellen von $f_a$ zu bestimmen, setze den Funktionsterm mit Null gleich.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 \\[5pt] -a\cdot x\cdot (x-a)&=&0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt und der Voraussetzung $a > 0$ erhältst du zwei Lösungen:

$x_1 = 0 \quad$ und $\quad x_2 = a$

Die Nullstellen von $f_a$ sind $x_1 =0$ und $x_2 = a$ .

2.2

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Um den Wert von $a$ zu berechnen, für den das gegebene Integral den Wert $\frac{8}{3}$ hat, forme die Gleichung um, indem du das Integral in Abhängigkeit von $a$ berechnest. Anschließend kannst du die Gleichung nach $a$ lösen.

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx&=&\frac{8}{3} \\[5pt] a_1&=& 2 \\[5pt] a_2&=& -2 \\[5pt] \end{array}$

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Da in der Aufgabenstellung $a > 0$ vorausgesetzt ist, ist $a=2$ der gesuchte Wert, der die Gleichung erfüllt.

3.1

$\blacktriangleright$ Orthogonalität zeigen

Du sollst zeigen, dass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft. $E$ ist dir als Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben, aus welcher du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene direkt ablesen kannst. Da Normalenvektoren immer senkrecht auf der Ebene stehen, musst du also zeigen, dass dieser und der Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ der Gerade linear abhängig sind.

Berechne dazu zunächst $\overrightarrow{r}$ als Verbindungsvektor zwischen $P$ und $Q$ . Lineare Abhängigkeit zeigst du, indem du eine Zahl $b$ berechnest, für die $b\cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r}$ gilt.

Für den Richtungsvektor der Gerade erhältst du folgendes:

$\overrightarrow{r} = \pmatrix{4\\2\\4}$

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Mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{2\\1\\2}$ erhältst du, dass $2\cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r}$ gilt. Also sind die beiden Vektoren linear abhängig und somit ist die Gerade senkrecht zur Ebene.

3.2

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung ermitteln

Gesucht ist eine Gleichung der Ebene $F$ , zu der die Punkte $P$ und $Q$ symmetrisch liegen. Aufgrund der Symmetrie muss $F$ senkrecht zur Gerade durch $P$ und $Q$ verlaufen, aber auch durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$ .

Oben hast du bereits gezeigt, dass $F$ ersteres erfüllt. Du musst nun diese Ebene noch soweit verschieben, dass sie genau zwischen den beiden Punkten liegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:

Übernehme den Normalenvektor von $E$ und setze diesen in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform ein:

$E: \quad$ $n_1x+n_2y+n_3z$ $= d$
Bestimme $M$ mit Hilfe der Mittelpunktsformel:

$\overrightarrow{OM}_{PQ}$ $= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)$
Setze die Koordinaten von $M$ in die Ebenengleichung ein und bestimme so den Parameter $d$ .

Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ hast du bereits folgendes gegeben:

$F: \quad 2x +y +2z =d$

Für den Mittelpunkt $M$ erhältst du:

$\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\pmatrix{5\\2\\6}+ \pmatrix{1\\0\\2}\right)$ $= \pmatrix{3\\1\\4}$

Eingesetzt in die Ebenengleichung erhältst du nun:

$d= 2\cdot 3 +1\cdot 1+ 2\cdot 4 = 15$

Eine Gleichung der Ebene $F$ , zu der die Punkte $P$ und $Q$ symmetrisch liegen, lautet:

$F: \quad 2\cdot x +y+2\cdot z = 15$

4.1

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt

Du sollst begründen, dass es sich bei dem beschriebenen Münzwurf nicht um ein Laplace-Experiment handelt. Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Es gibt nur endlich viele Ergebnisse.
Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Da die Ergebnismenge angegeben ist, weißt du, dass die erste Bedingung erfüllt ist. Es kann also nur an der zweiten liegen. Betrachtest du die Ergebnismenge genauer, siehst du, dass es Ergebnisse gibt, bei denen die Münze nur zweimal geworfen werden muss, und Ergebnisse, bei denen die Münze dreimal geworfen wird. Für erstere ist die Wahrscheinlichkeit jeweils $0,5^2$ , während sie für letztere jeweils $0,5^3$ beträgt. Also kann es sich nicht um ein Laplace-Experiment handeln.

4.2

$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Den Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsvariable $X$ mit den möglichen Ergebnissen $x_1$ bis $x_n$ berechnest du mit folgender Formel:

$E(X)= \sum\limits_{i= 1}^n x_i\cdot P\left(X=x_i\right)$

Da $X$ die Anzahl der Münzwürfe beschreibt, gibt es nur die beiden Möglichkeiten $X=2$ und $X=3$ , welche jeweils die Wahrscheinlichkeit $2\cdot 0,5^2$ bzw. $4\cdot 0,5^3$ haben. Also ergibt sich folgender Erwartungswert:

$E(X)= 2,5$

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Der Erwartungswert von $X$ beträgt $E(X)=2,5$ .

5.1

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung nachweisen

$t_a$ soll eine Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(-1\mid f_a(-1))$ sein. Eine Tangente an den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_P\mid y_P)$ ist eine Gerade $t: y =mx+b$ mit folgenden Eigenschaften:

Sie besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $P$ : $m_t = f‘(x_P)$ .
Sie verläuft ebenfalls durch den Punkt $P$ : $t(x_P)=y_P$

Überprüfe diese Bedingungen für $t_a$ und $f_a$ , indem du zunächst $f_a(-1)$ und $f_a‘(-1)$ berechnest. Bilde dazu zunächst die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ .

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&a\cdot \mathrm e^{a+x} \\[10pt] f_a‘(x)&=&a\cdot \mathrm e^{a+x} \\[10pt] f_a‘(-1)&=& f_a(-1) \\[5pt] &=& a\cdot \mathrm e^{a-1}\\[5pt] \end{array}$

Die erste Bedingung ist also erfüllt. Überprüfe nun die zweite, indem du die Koordinaten $\left(-1\mid a\cdot \mathrm e^{a-1}\right)$ in die Tangentengleichung einsetzt.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& ... \\[5pt] a\cdot \mathrm e^{a-1}&=& a\cdot \mathrm e^{a-1} \\[5pt] \end{array}$

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Dies ist eine wahre Aussage, also ist $t_a$ eine Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(-1\mid f_a(-1)\right).$

5.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das die Tangente $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Da die beiden Achsen senkrecht zueinander stehen, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Eckpunkte der Koordinatenursprung und die beiden Schnittpunkte $S_x$ und $S_y$ von $t_a$ mit den Koordinatenachsen sind.

Die Länge der Grundseite $g$ ergibt sich dann durch die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts mit der $x$ -Achse, und die zugehörige Höhe $h$ durch die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse. Berechne also zunächst diese Koordinaten.

$\begin{array}[t]{rll} t_a(x)&=&0 \\[5pt] x&=& -2\\[5pt] \end{array}$

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Also ist $g = \left| x_{S_x}\right| =2$ . Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse erhältst du:

$t_a(0)= 2\cdot a\cdot \mathrm e^{a-1}$

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Es ist also $h = 2\cdot a\cdot \mathrm e^{a-1}$ . Setze nun in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ein:

$\begin{array}[t]{rll} A_a&=& \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot a\cdot \mathrm e^{a-1} \\[5pt] &=& 2\cdot a\cdot \mathrm e^{a-1} \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks, das von der Tangente $t_a$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, beträgt $A_a = 2\cdot a\cdot \mathrm e^{a-1}$ .