Teil B1

Die Fahrbahn einer Autorennstrecke kann in einem Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 100 Meter) dargestellt werden.

lhr Verlauf kann im betrachteten Teilstück durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{6}{x^2+3}$ $(x\in\mathbb{R};-5,00\leq x\leq5,00)$ näherungsweise beschrieben werden. Die Breite der Fahrbahn wird vernachlässigt.

Die Punkte $A,\,B,\,C$ und $D$ liegen auf dieser Fahrbahn.

Im gegebenen Koordinatensystem besitzen diese Punkte die Koordinaten $A(-3,00\mid -1,00 )$ , $B(3,00\mid 2,00)$ , $C(-1,00\mid f(-1,00))$ und $D(1,00\mid f(1,00) )$ .

1.1

Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
Zeige, dass die Punkte $C$ und $D$ diese beiden Wendepunkte sind.

Zwischen den Punkten $C$ und $D$ existiert ein geradliniger Verbindungsweg.

Weise nach, dass dieser Weg etwa $224\,$ m lang ist.

(7P)

1.2

Ein Rennwagen benötigt für die Fahrt auf der Fahrbahn zwischen den Punkten $A$ und $B$ eine Zeit von $17$ Sekunden.

Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennwagens zwischen den Punkten $A$ und $B$ in $\dfrac{km}{h}$ .

(6P)

1.3

Zum Schutz der Rennfahrer wird eine Auslaufzone gebaut.

In der Auslaufzone soll ein Rennwagen, welcher von der Fahrbahn abkommt, stark abgebremst werden. Die Auslaufzone wird im Koordinatensystem durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x)=-0,6\cdot x^2 +0,5\cdot x+2,1$ $(x\in\mathbb{R})$ und den Graphen der Funktion $f$ vollständig begrenzt.

Die Auslaufzone ist mit einer $25\,$ cm dicken Kiesschicht belegt.

Bestimme das Volumen dieser Kiesschicht.

(7P)

Eine geradlinig verlaufende Leitplanke soll zusätzlichen Schutz bieten.

Wenn ein Rennwagen von $A$ in Richtung $B$ fährt und im Punkt $E(0,00 \mid 2,00)$ tangential die Fahrbahn verlässt, dann trifft er bei geradliniger Fahrt nach etwa $56\,$ m im Punkt $M$ auf die Leitplanke (siehe Abbildung).

Ein Endpunkt der Leitplanke ist $L_1( 0,30\mid 2,30 )$ .

Die Dicke der Leitplanke wird vernachlässigt.

Grafische Darstellung von Linien und Punkten im Raum, beschriftet mit L, M und E.

Abbildung (nicht maßstäblich)

1.4

Zeige, dass der Punkt $M$ näherungsweise die Koordinaten $M(0,50 \mid 2,25)$ besitzt.

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Leitplanke.
Bestimme die Koordinaten des Endpunktes $L_2$ der Leitplanke.

Ermittle die minimale Entfernung der Fahrbahn der Autorennstrecke vom Mittelpunkt der Leitplanke.

(13P)

1.5

Es gibt einen Bereich der Fahrbahn der Autorennstrecke, für den gilt:

Wenn ein Rennwagen in diesem Bereich bei der Fahrt von $C$ nach $D$ tangential von der Fahrbahn abkommt und geradlinig weiterfährt, dann trifft er auf die Leitplanke $\overline{L_1L_2}$ .

Bestimme die Koordinaten des Punktes $P$ der Fahrbahn, in dem dieser Bereich von $C$ ausgehend beginnt.

(5P)

Eine Firma stellt Teile für die Leitplanke her. Jedes Teil wird zunächst zu einem Profil gebogen und danach beschichtet.

Die Firma gibt bezüglich der Produktion dieser Teile an:

$4,0\%$ aller Teile sind fehlerhaft im Profil.
$8,0\%$ aller Teile sind fehlerhaft in der Beschichtung.
$91,2\%$ aller Teile sind fehlerfrei, d. h., sie besitzen keinen Fehler im Profil und keinen Fehler in der Beschichtung.

1.6

Der Produktion der Firma werden $70$ Teile zufällig entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mehr fehlerfreie Teile sind, als zu erwarten ist.

(6P)

1.7

Ein der Produktion der Firma zufällig entnommenes Teil besitzt keinen Fehler in der Beschichtung.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Teil fehlerhaft im Profil ist.

(6P)

1.1

$\blacktriangleright$ Beweis Wendepunkte

In diesem Aufgabenteil hast du zwei Punkte $C$ und $D$ gegeben. Du sollst nachweisen, dass diese beiden Punkte Wendepunkte des Graphen darstellen, der durch die Funktion

$f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{6}{x^2 + 3}$

beschrieben wird. Nutze dazu, dass die Ableitungsfunktion $f‘$ bei Wendestellen ein lokales Extremum annimmt. Leite also den Funktionsterm von $f$ nach $x$ ab und lasse dir mit deinem GTR den Graph von $f‘$ anzeigen.

Die Ableitungsfunktion berechnest du mit der Kettenregel

$f‘(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{12x}{(x^2 + 3)^2}$

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Bestimme dann die Hochpunkte und Tiefpunkte des Graphen dieser Funktion. Den Befehl dafür findest du unter

2nd $\longrightarrow$ calc $\longrightarrow$ Max/Min

Graph einer mathematischen Funktion mit Maximum bei x=-1 und y=1.25.

Abb. 1: Maximum der Ableitungsfunktion

Du erhältst die Koordinaten zweier Extremstellen: einen Hochpunkt bei $x = -1$ und einen Tiefpunkt bei $x = 1$ .

Daraus kannst du schließen, dass der Graph der Funktion $f$ an den Stellen $(-1 \mid f(-1))$ und $(1\mid(f(1))$ Wendestellen besitzt.

$\blacktriangleright$ Berechnung der Länge des geradlinigen Verbindungsweges

Zwischen den Punkten $C(-1 \mid f(-1)$ und $D(1 \mid f(1)$ existiert ein geradliniger Verbindungsweg. Du sollst nun nachweisen, dass seine ungefähre Länge $224 \text{m}$ entspricht.

Dazu nutzt du, dass ein geradliniger Weg zwischen zwei Punkten $X$ , $Y$ gerade der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist.

Den Abstand zweier Punkte $X(x_1 \mid x_2 \mid x_3)$ , $Y(y_1 \mid y_2 \mid y_3)$ berechnest du mit der Formel

$d(X,Y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+...}$

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Als Lösung für $l$ ergibt sich $l = \pm \sqrt{5} \text{LE} \approx \pm 2,24 \text{LE}$ .

Da eine Länge immer positiv ist und eine Längeneinheit [ $\text{LE}$ ] $100 \, \text{m}$ entspricht, ergibt sich für die Länge des Weges $l \approx 224 \, \text{m}$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit

Du sollst mithilfe der Zeit, die ein Rennwagen braucht, um die Strecke zwischen den Punkten $A$ und $B$ zurückzulegen, die Durchnittsgeschwindigkeit des Rennwagens in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ auf dieser Strecke berechnen.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gerade die Strecke, die der Wagen zwischen $A$ und $B$ zurücklegt, geteilt durch die Zeit, die er dafür benötigt.

Zur Ermittlung der Durchschnittsgeswindigkeit benötigst du die Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ . Diese ermittelst du über die Formel für die Bogenlänge

$L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f‘(x)^2} \, \mathrm dx$

Darin sind $a$ und $b$ die $x$ -Koordinaten des Anfangs - und Endpunktes. Die Integration selbst kannst du mit deinem GTR ausführen. Den Befehl zur Bestimmung eines Integrals findest du unter

2nd $\longrightarrow$ calc $\longrightarrow \displaystyle\int f(x) \, \mathrm dx$

Rechne also

$L \approx 7,31$

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Grafik eines Taschenrechners, der das Integral einer Funktion über ein Intervall anzeigt.

Abb. Zahl: Bogenlänge

Da eine $\text{LE}$ $100 \, \text{m}$ entspricht und der Wagen diese Strecke in $17 \, \text{s}$ zurücklegt, berechnest du die Durschnittsgeschwindigkeit wie folgt

$v_D = \dfrac{7,31\cdot 100 \, \text{m}}{17 \, \text{s}} = 43 \dfrac{m}{s}$

Um diese Maßeinheit zu berechnen, multipliziere diesen Wert mit $3,6.$ - Du erhältst

$v_D \approx 155 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennwagens zwischen den Punkten $A$ und $B$ beträgt also ungefähr $155 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

1.3

$\blacktriangleright$ Rauminhalt der Kiesschicht berechnen

Du sollst das Volumen der Kiesschicht berechnen, mit der die Auslaufzone bedeckt ist. Die Höhe dieser Kiesschicht beträgt $25 \, \text{cm}$ . Nenne diese $h$ . Die Auslaufzone wird von den Graphen der Funktionen $p$ und $f$ begrenzt.

Somit schließen die beiden Graphen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ vollständig ein.

Dieser Flächeninhalt entspricht der Größe der Grundfläche des Volumens der Kiesschicht. Folglich ergibt sich ihr Volumen über

$V = A \cdot h$

Also musst du $A$ berechnen. Um das zu tun, berechnest du die Größe der Fläche, die die Differenzfunktion $g = f - p$ einschließt. Lasse dir dazu den Graphen von $g$ anzeigen.

Am Graphen erkennst du, dass die einzige Fläche, die vollständig eingeschlossen ist gerade die Fläche zwischen den beiden Nullstellen des Graphen ist. Bestimme also die Nullstellen des Graphen von $g$ .

Den Befehl zur Bestimmung von Nullstellen findest du unter

2nd $\longrightarrow$ calc $\longrightarrow$ zero

Berechne also nun den Wert des Integrals

$\vert \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \mathrm dx \, \, \vert \approx 1.724 \, \text{m}^2$

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Graph einer Funktion mit Integralanzeige auf einem Taschenrechner.

Abb. 3: Der Flächeninhalt der Differenzfunktion

Berechne nun das Volumen zu

$V = 7.214 \, \text{m}^2 \cdot 0,25 \, \text{m} = 431 \, \text{m}^3$ .

Damit hast du gezeigt, dass das Volumen der Kiesschicht in der Auslaufzone $431 \, \text{m}^3$ beträgt.

1.4

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Aufprallpunktes nachweisen

Du sollst nachweisen, dass der Aufprallpunkt eines im Punkt $E(0 \mid 2)$ von der Fahrbahn tangential abkommenden Wagens $M$ bei $(0,5 \mid 2,25)$ liegt.

Da der Wagen tangential zur Fahrbahn die Fahrbahn verlässt und dann gegen die Leitplanke fährt, kann sein Kurs durch eine Tangente modelliert werden. Diese Tangente geht durch den Punkt $E(0 \mid 2)$ und kann durch eine Geradengleichung beschrieben werden, die wie folgt aussieht

$y = m \cdot x +b$

Die Steigung $m$ stimmt dabei mit der ersten Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $E$ überein und kann du über das Steigungsdreieck bestimmt werden.

$f‘(0) = m = \dfrac{M_y-2}{M_x - 0}$

Zugleich weißt du, dass die Länge der Strecke zwischen $E$ und $M$ etwa $56 \text{m}$ beträgt. Dieser Abstand entspricht gerade der Hypotenuse des Steigungsdreiecks.

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich

$(M_y-2)^2+(M_x-0)^2 \approx 0,31$

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Damit erhältst du zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten $M_x$ und $M_y$ . Setze also die Koordinaten von $M$ in diese Gleichungen ein und prüfe, ob diese erfüllt sind.

$f‘(0) = \dfrac{M_y-2}{M_x - 0} = 0,5$

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$(M_y-2)^2+(M_x-0)^2 \approx 0,31$

Vollständige Lösung anzeigen

Folglich besitzt der Punkt $M$ näherungsweise die Koordinaten $(0,5 \mid 2,25)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Eckpunktes der Leitplanke bestimmen

Du sollst mit dem Wissen, dass $M$ der Mittelpunkt der Leitplanke ist, den Eckpunkt $L_2$ der Leitplanke berechnen. Wenn $M$ der Mittelpunkt ist, sind die Vektoren, die von $L_1$ auf $M$ und von $M$ auf $L_2$ zeigen, identisch.

$\overrightarrow{ML_2} = \overrightarrow{L_1M}$

Um also den Ortsvektor des Punktes $L_2$ zu erhalten, musst du $\overrightarrow{L_1M}$ zu $\overrightarrow{OM}$ addieren. Rechne also

$... = \pmatrix{0,7 \\ 2,2}$

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Folglich liegt $L_2$ bei $(0,7 \mid 2,2)$ .

$\blacktriangleright$ Minimale Entfernung von Rennbahn und Mittelpunkt der Leitplanke berechnen

Für einen Punkt auf dem Graphen von $f$ gilt allgemein $A(x \mid f(x))$ . Die Entfernung zwischen $M$ und diesem Punkt kannst du durch den Betrag des Verbindungsvektors berechnen.

$\overrightarrow{MA} = \pmatrix{x - 0,5 \\ f(x) - 2,25}$

Mache also für den Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Mittelpunkt $M$ folgenden Ansatz

$l = ...$

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Dies ist eine Funktion von $x$ . Um den minimalen Abstand zu ermitteln, musst du ihren Tiefpunkt bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Graph einer mathematischen Funktion mit Minimum, dargestellt auf einem Grafikrechner.

Abb. 4: Das Minimum der Abstandsfunktion

Du erhältst als Wert $y \approx 0,15 \, \text{LE} \, \widehat{=}\, 15 \, \text{m}$ . Dies ist der minimale Abstand zwischen der Rennbahn und dem Mittelpunkt $M$ .

1.5

$\blacktriangleright$ Berührpunkt einer Tangente berechnen

Du sollst die Koordinaten des Anfangspunktes $P$ des Bereiches auf dem Graphen von $f$ bestimmen, innerhalb dessen jede Tangente die Leitplanke trifft.

Die Tangente durch diesen Anfangspunkt muss die Leitplanke bei ihrem Eckpunkt $L_1$ schneiden, da alle nachfolgenden Tangenten im fraglichen Bereich Schnittpunkte innerhalb der Strecke $L_1L_2$ haben sollen.

Setze also die Gleichung der Tangente durch $P$ und $L_1$ an. Daraus kannst du hinterher die Koordinaten des Punktes $P$ bestimmen.

Dazu gehst du folgendermaßen vor: eine Tangente durch den Punkt $P(x_P \mid y_P)$ kannst du folgendermaßen beschreiben

$y = f‘(x_P) \cdot (x - x_P) + f(x_P)$

Die Tangente durch den Punkt, ab dem alle Tangenten an den Graphen von $f$ die Strecke der Leitplanke schneiden, muss durch den Anfangspunkt der Strecke $\overline{L_1L_2}$ gehen.

Du kannst also in der obigen Gleichung $y$ und $x$ durch die Koordinaten des Punktes $L_1$ ersetzen und diese Gleichung nach $x_P$ auflösen. Bestimme also die Nullstellen der Funktion

$f(x)$

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Du erhältst zwei Nullstellen. Eine Nullstelle hat eine $x$ - Koordinate, die ungefähr $-1,26$ und damit kleiner als $-1$ ist. Diese kannst du ignorieren, da der fragliche Bereich auf dem Graphen hinter dem Punkt $C(-1 \mid f(-1))$ beginnen muss und somit für die $x$ -Koordinate des Punktes $P$ gelten muss $x\gt -1$ .

Folglich betrachtest du die Nullstelle $x_P \approx -0,27$ . Daraus berechnest die Koordinaten des Punktes $P$ mit $f(-0,27)$ zu $(-0,27 \mid 1,82)$ .

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 5: Nullstelle von $f(x)$

1.6

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass unter der Stichprobe mit $70$ Teilen mehr fehlerfreie Teile sind, als zu erwarten sind.

Dazu definierst du die Zufallsvariable $X$ als Anzahl fehlerfreier Teile und berechnest die erwartete Anzahl fehlerfreier Teile $\mu$ . Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass sich mehr fehlerfreie Teile unter der Stichprobe befinden als erwartet. Überlege dir dazu, wie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung aussieht und berechne dann $P(X \geq \mu)$ .

Folglich musst du $P(X \geq \mu)$ berechnen.

1. Schritt: Erwartungswert berechnen

Der Anteil der fehlerfreien Teile beträgt $91,2 \%$ . Dementsprechend werden $\dfrac{91,2}{100} \cdot 70 = 63,81 \approx 64$ fehlerfreie Teile erwartet.

2. Schritt: Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

Bei dem vorliegenden Zufallsexperiment existieren nur zwei Ausgänge. Entweder wird ein fehlerfreies Teil gezogen (Treffer) oder nicht (Niete). Folglich handelt es sich um ein Bernoulli - Experiment, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist also Bernoulli - verteilt. Die Ziehung eines Teiles wird $70-$ mal wiederholt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten für beliebige Trefferanzahlen mit einer Bernoulli - Kette berechnet werden können.

3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr fehlerfreie Teile unter der Stichprobe sind als $64$ , kannst du also durch mehrfache Anwendung der Bernoulli - Formel berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl größer/gleich $64$ ist, ist gerade das Gegenereignis zu dem Ereignis, dass die Trefferanzahl kleiner/gleich als $64$ ist. Die Wahrscheinlichkeit dieses Gegenereignisses kannst du mit deinem GTR berechnen. Der Befehl dazu lautet

2nd $\longrightarrow$ distr $\longrightarrow$ binomcdf

Damit berechnest du nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzhal kleiner oder gleich $63$ ist. Um die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferanzahl größer als $64$ zu berechnen musst du diese Wahrscheinlichkeit von $1$ abziehen.

Rechne also

$P(X \geq 64) \approx 0,5795$

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Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit einer statistischen Berechnung.

Abb. 6: Die Wahrscheinlichkeit für mehr fehlerfreie Teile, als zu erwarten wären

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Stichprobe von $70$ Teilen mehr fehlerfreie Teile als erwartet sind, ungefähr $57,95 \%$

1.7

$\blacktriangleright$ Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein in der Beschichtung fehlerfreies Teil einen Fehler im Profil hat. Dazu musst du mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $A$ eintritt, unter der Bedingung, dass ein Ereignis $B$ eintritt, lautet

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil unter der Bedingung einer fehlerfreien Beschichtung einen Fehler im Profil hat, ist gerade die Gegenwahrscheinlichkeit zum Ereignis, dass ein Teil unter Bedingung einer fehlerfreien Beschichtung keinen Fehler im Profil hat. Mit

$Pr$ : "Fehler im Profil" und

$\overline{Be}$ : "kein Fehler in der Beschichtung"

ergibt sich

$P(Pr \mid \overline{Be}) = 1 - P(\overline{Pr} \mid \overline{Be})$

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Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{Pr} \cap \overline{Be})$ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass weder ein Fehler im Profil noch ein Fehler in der Beschichtung vorliegt. Diese war gegeben zu $91,2 \%$ . Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{Be})$ berechnest du mit

$P(\overline{Be}) = 1 - P(Be) = 0,92$

Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil mit fehlerfreier Beschichtung einen Fehler im Profil hat zu

$P(Pr \mid \overline{Be}) \approx 0,9 \%$

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Bildnachweise [nach oben]

[1-6]

1.1

$\blacktriangleright$ Beweis Wendepunkte

In diesem Aufgabenteil hast du zwei Punkte $C$ und $D$ gegeben. Du sollst nachweisen, dass diese beiden Punkte Wendepunkte des Graphen darstellen, der durch die Funktion

$f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{6}{x^2 + 3}$

Die Ableitungsfunktion berechnest du mit der Kettenregel

$f‘(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{12x}{(x^2 + 3)^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bestimme dann die Hochpunkte und Tiefpunkte des Graphen dieser Funktion. Den Befehl dafür findest du unter

2nd $\longrightarrow$ calc $\longrightarrow$ Max/Min

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Maximalpunkt.

Abb. 1: Maximum der Ableitungsfunktion

Du erhältst die Koordinaten zweier Extremstellen: einen Hochpunkt bei $x = -1$ und einen Tiefpunkt bei $x = 1$ .

Daraus kannst du schließen, dass der Graph der Funktion $f$ an den Stellen $(-1 \mid f(-1))$ und $(1\mid(f(1))$ Wendestellen besitzt.

$\blacktriangleright$ Berechnung der Länge des geradlinigen Verbindungsweges

Zwischen den Punkten $C(-1 \mid f(-1)$ und $D(1 \mid f(1)$ existiert ein geradliniger Verbindungsweg. Du sollst nun nachweisen, dass seine ungefähre Länge $224 \text{m}$ entspricht.

Dazu nutzt du, dass ein geradliniger Weg zwischen zwei Punkten $X$ , $Y$ gerade der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist.

Den Abstand zweier Punkte $X(x_1 \mid x_2 \mid x_3)$ , $Y(y_1 \mid y_2 \mid y_3)$ berechnest du mit der Formel

$d(X,Y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+...}$

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Als Lösung für $l$ ergibt sich $l = \pm \sqrt{5} \text{LE} \approx \pm 2,24 \text{LE}$ .

Da eine Länge immer positiv ist und eine Längeneinheit [ $\text{LE}$ ] $100 \, \text{m}$ entspricht, ergibt sich für die Länge des Weges $l \approx 224 \, \text{m}$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gerade die Strecke, die der Wagen zwischen $A$ und $B$ zurücklegt, geteilt durch die Zeit, die er dafür benötigt.

Zur Ermittlung der Durchschnittsgeswindigkeit benötigst du die Länge der Strecke zwischen $A$ und $B$ . Diese ermittelst du über die Formel für die Bogenlänge

$L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f‘(x)^2} \, \mathrm dx$

Darin sind $a$ und $b$ die $x$ -Koordinaten des Anfangs - und Endpunktes. Die Integration selbst kannst du mit deinem GTR ausführen. Den Befehl zur Bestimmung eines Integrals findest du unter

2nd $\longrightarrow$ calc $\longrightarrow \displaystyle\int \, \mathrm dx$

Rechne also

$L = \approx 7,31$

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Grafik mit Achsenbeschriftungen und Werten für LOWER und UPPER.

Abb. Zahl: Bogenlänge

Da eine $\text{LE}$ $100 \, \text{m}$ entspricht und der Wagen diese Strecke in $17 \, \text{s}$ zurücklegt, berechnest du die Durschnittsgeschwindigkeit wie folgt

$v_D = \dfrac{7,31\cdot 100 \, \text{m}}{17 \, \text{s}} = 43 \dfrac{m}{s}$

Um diese Maßeinheit zu berechnen, multipliziere diesen Wert mit $3,6.$ - Du erhältst

$v_D \approx 155 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennwagens zwischen den Punkten $A$ und $B$ beträgt also ungefähr $155 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ .

1.3

$\blacktriangleright$ Rauminhalt der Kiesschicht berechnen

Somit schließen die beiden Graphen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ vollständig ein.

Dieser Flächeninhalt entspricht der Größe der Grundfläche des Volumens der Kiesschicht. Folglich ergibt sich ihr Volumen über

$V = A \cdot h$

Also musst du $A$ berechnen. Um das zu tun, berechnest du die Größe der Fläche, die die Differenzfunktion $g = f - p$ einschließt. Lasse dir dazu den Graphen von $g$ anzeigen.

Den Befehl zur Bestimmung von Nullstellen findest du unter

SHIFT $\longrightarrow$ GSOLVE $\longrightarrow$ ROOT

Berechne also nun den Wert des Integrals

$\vert \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \mathrm dx \, \, \vert \approx 1.724 \, \text{m}^2$

Vollständige Lösung anzeigen

Grafik mit zwei Kurven, die die Bereiche LOWER und UPPER sowie eine Zahl darstellen.

Abb. 3: Der Flächeninhalt der Differenzfunktion

Berechne nun das Volumen zu

$V = 7.214 \, \text{m}^2 \cdot 0,25 \, \text{m} = 431 \, \text{m}^3$ .

Damit hast du gezeigt, dass das Volumen der Kiesschicht in der Auslaufzone $431 \, \text{m}^3$ beträgt.

1.4

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Aufprallpunktes nachweisen

Du sollst nachweisen, dass der Aufprallpunkt eines im Punkt $E(0 \mid 2)$ von der Fahrbahn tangential abkommenden Wagens $M$ bei $(0,5 \mid 2,25)$ liegt.

$y = m \cdot x +b$

Die Steigung $m$ stimmt dabei mit der ersten Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $E$ überein und kann du über das Steigungsdreieck bestimmt werden.

$f‘(0) = m = \dfrac{M_y-2}{M_x - 0}$

Zugleich weißt du, dass die Länge der Strecke zwischen $E$ und $M$ etwa $56 \text{m}$ beträgt. Dieser Abstand entspricht gerade der Hypotenuse des Steigungsdreiecks.

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich

$(M_y-2)^2+(M_x-0)^2 \approx 0,31$

Damit erhältst du zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten $M_x$ und $M_y$ . Setze also die Koordinaten von $M$ in diese Gleichungen ein und prüfe, ob diese erfüllt sind.

$f‘(0) = \dfrac{M_y-2}{M_x - 0} = 0,5$

Vollständige Lösung anzeigen

$(M_y-2)^2+(M_x-0)^2 \approx 0,31$

Vollständige Lösung anzeigen

Folglich besitzt der Punkt $M$ näherungsweise die Koordinaten $(0,5 \mid 2,25)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Eckpunktes der Leitplanke bestimmen

$\overrightarrow{ML_2} = \overrightarrow{L_1M}$

Um also den Ortsvektor des Punktes $L_2$ zu erhalten, musst du $\overrightarrow{L_1M}$ zu $\overrightarrow{OM}$ addieren. Rechne also

$... = \pmatrix{0,7 \\ 2,2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Folglich liegt $L_2$ bei $(0,7 \mid 2,2)$ .

$\blacktriangleright$ Minimale Entfernung von Rennbahn und Mittelpunkt der Leitplanke berechnen

Für einen Punkt auf dem Graphen von $f$ gilt allgemein $A(x \mid f(x))$ . Die Entfernung zwischen $M$ und diesem Punkt kannst du durch den Betrag des Verbindungsvektors berechnen.

$\overrightarrow{MA} = \pmatrix{x - 0,5 \\ f(x) - 2,25}$

Mache also für den Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Mittelpunkt $M$ folgenden Ansatz

$l = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Dies ist eine Funktion von $x$ . Um den minimalen Abstand zu ermitteln, musst du ihren Tiefpunkt bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Grafik einer mathematischen Funktion mit einer Minimumstelle, dargestellt in einem Koordinatensystem.

Abb. 4: Das Minimum der Abstandsfunktion

Du erhältst als Wert $y \approx 0,15 \, \text{LE}\, \widehat{=}\, 15 \, \text{m}$ . Dies ist der minimale Abstand zwischen der Rennbahn und dem Mittelpunkt $M$ .

1.5

$\blacktriangleright$ Berührpunkt einer Tangente berechnen

Du sollst die Koordinaten des Anfangspunktes $P$ des Bereiches auf dem Graphen von $f$ bestimmen, innerhalb dessen jede Tangente die Leitplanke trifft.

Setze also die Gleichung der Tangente durch $P$ und $L_1$ an. Daraus kannst du hinterher die Koordinaten des Punktes $P$ bestimmen.

Dazu gehst du folgendermaßen vor: eine Tangente durch den Punkt $P(x_P \mid y_P)$ kannst du folgendermaßen beschreiben

$y = f‘(x_P) \cdot (x - x_P) + f(x_P)$

Die Tangente durch den Punkt, ab dem alle Tangenten an den Graphen von $f$ die Strecke der Leitplanke schneiden, muss durch den Anfangspunkt der Strecke $\overline{L_1L_2}$ gehen.

Du kannst also in der obigen Gleichung $y$ und $x$ durch die Koordinaten des Punktes $L_1$ ersetzen und diese Gleichung nach $x_P$ auflösen. Bestimme also die Nullstellen der Funktion

$f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Folglich betrachtest du die Nullstelle $x_P \approx -0,27$ . Daraus berechnest die Koordinaten des Punktes $P$ mit $f(-0,27)$ zu $(-0,27 \mid 1,82)$ .

Graph einer mathematischen Funktion mit Beschriftungen und Koordinaten.

Abb. 5: Nullstelle von $f(x)$

1.6

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass unter der Stichprobe mit $70$ Teilen mehr fehlerfreie Teile sind, als zu erwarten sind.

Folglich musst du $P(X \geq \mu)$ berechnen.

1. Schritt: Erwartungswert berechnen

Der Anteil der fehlerfreien Teile beträgt $91,2 \%$ . Dementsprechend werden $\dfrac{91,2}{100} \cdot 70 = 63,81 \approx 64$ fehlerfreie Teile erwartet.

2. Schritt: Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr fehlerfreie Teile unter der Stichprobe sind als $64$ , kannst du also durch mehrfache Anwendung der Bernoulli - Formel berechnen.

DIST $\longrightarrow$ BINOM $\longrightarrow$ BCD

Rechne also