Teil B2

Berechne, welche Höhe diese Pyramide nach Fertigstellung erreicht hätte.

Begründe, dass der Punkt die Koordinaten besitzt.
Gib eine Gleichung der Ebene an, in der die Punkte , , und liegen.
Weise nach, dass der Punkt die Koordinaten besitzt.

Bestimme das Volumen der Knickpyramide.

Bestimme, in welcher Tiefe unter dem ebenen Gelände die Mittellinie des Ganges endet.

Mithilfe der Videokamera einer Drohne soll in den Gang zu den Grabkammern hineingefilmt werden.
Beim Start der Drohne befindet sich der Mittelpunkt des Objektivs der Videokamera im Punkt Die Drohne soll nach dem Start zunächst senkrecht zum ebenen Gelände nach oben steigen. Danach soll die Drohne in Richtung des Vektors fliegen, bis sich der Mittelpunkt des Objektivs der Videokamera auf der Geraden befindet, auf der auch die Mittellinie des Ganges zu den Grabkammern liegt.
Ermittle, welche Strecke die Drohne nach dem Start senkrecht zum ebenen Gelände nach oben steigen muss.

Beim Besuch der Knickpyramide werden Urlauber zufällig ausgewählt und befragt, woher sie stammen.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis Unter den befragten Urlaubern stammt keiner aus Deutschland.
Ereignis Der zwölfte befragte Urlauber ist der fünfte, der aus Deutschland stammt.

Ein Reiseveranstalter hat eine große Werbekampagne für den Besuch der Knickpyramide durchgeführt. Daraufhin vermutet er, dass der Anteil der aus Deutschland stammenden Urlauber, welche die Knickpyramide besuchen, gestiegen ist.
In einem Test mit zufällig ausgewählten und befragten Besuchern der Knickpyramide soll die Nullhypothese „Der Anteil der aus Deutschland stammenden Urlauber, welche die Knickpyramide besuchen, liegt höchstens bei “ getestet werden.
Von den zufällig ausgewählten und befragten Urlaubern stammen aus Deutschland.
Untersuche, ob aus diesen Daten auf einem Signifikanzniveau von die Vermutung des Reiseveranstalters bestätigt werden kann.

  Höhe der Pyramide berechnen Gesucht ist die Höhe der ursprünglich in der zweiten Phase geplanten Pyramide Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt und alle Seitenflächen im gleichen Winkel zum ebenen Gelände geneigt sind, kann bei den folgenden Berechnungen jede Seitenfläche verwendet werden. Die Pyramide hätte eine Höhe von ca. erreicht.

  Koordinaten begründen Die gesamte Grundfläche liegt in der --Ebene, da das ebene Gelände in der --Ebene liegt, damit insbesondere auch der Punkt Für die -Koordinate gilt also
Die Seitenkanten und verlaufen parallel zur -Achse, die Seitenkanten und verlaufen daher parallel zur -Achse, weil ein Quadrat ist.
Die Punkte und bilden gemeinsam mit den Mittelpunkten der Strecken und ein Quadrat mit den Seitenlängen , da der Punkt der Mittelpunkt der Grundfläche ist.
Damit ergeben sich auch die - und -Koordinaten zu   Gleichung der Ebene angeben Die Grundfläche der Pyramide liegt in der --Ebene. Die Ebene , in der die Punkte , , und liegen, entsteht wegen der Höhe des ursprünglichen Pyramidenteils durch Verschiebung der --Ebene um Einheiten in positive -Richtung. Damit ergibt sich die Ebenengleichung:   Koordinaten nachweisen Der Punkt liegt in der Ebene und muss daher die -Koordinate besitzen. Für die beiden übrigen Koordinaten von betrachten wir den Teil der Pyramide der nicht gebaut wurde. Dieser ist wiederum eine Pyramide mit der quadratischen Grundfläche und der ursprünglichen Spitze
Analog zur Aufgabe 2.1 kann hier ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet werden, das die Spitze mit dem Mittelpunkt der Grundfläche und dem Mittelpunkt der Seitenkante bildet.
Der Innenwinkel bei entspricht dann dem Neigungswinkel der Seitenflächen der ursprünglichen Pyramide zum ebenen Gelände. Die Höhe der Pyramide ist die Differenz der Höhe der gesamten Pyramide und der Höhe des Pyramidenstumpfs mit entspricht der Gegenkathete von , die Länge der Ankathete kann mit dem Tangens bestimmt werden. Die halbe Seitenlänge der Grundfläche beträgt also ca. Da der Mittelpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung liegt, liegt auch der Mittelpunkt der zweiten Grundfläche auf der -Achse, da es sich um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt.
Dies ist auch der Grund dafür, dass es sich bei der zweiten Grundfläche ebenfalls um ein Quadrat handelt. Weil auch die Seitenkanten und parallel zur -Achse liegen, gilt gleiches auch für die Seitenkanten und und damit sind auch und parallel zur -Achse. Insgesamt folgt damit für die -Koordinate von und für die -Koordinate

  Volumen berechnen Das Volumen der Knickpyramide setzt sich zusammen aus dem Volumen des Pyramidenstumpfs und dem Volumen der Pyramide Das Volumen der Pyramide ergibt sich wie folgt: Die Gesamthöhe der Knickpyramide beträgt die Höhe des Pyramidenstumpfs beträgt also ist Aus den Koordinaten von lässt sich die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche bestimmen: Mit der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs ergibt sich für Für das gesamte Volumen ergibt sich: Die Knickpyramide besitzt ein Volumen von ca.

  Tiefe des Gangendes ermitteln Die Mittellinie des Ganges beginnt im Punkt und verläuft dann in Richtung des Vektors Sie liegt daher auf der Geraden mit folgender Gleichung: Das Gangende der Mittellinie liegt im Punkt der mit einem Abstand von auf der Geraden liegt. Es muss also gelten: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: Da das ebene Gelände in der --Ebene liegt, wird die Tiefe des Gangendes durch die -Koordinate des Endpunktes beschrieben.
Die Mittellinie des Ganges endet ca. unter dem ebenen Gelände.

  Länge der Strecke ermitteln Der Startpunkt der Mitte des Objektivs hat die Koordinaten Danach steigt die Drohne senkrecht zum ebenen Gelände nach oben, wodurch sich die Objektivmitte jederzeit in einem Punkt befindet. In einem dieser Punkte ändert die Drohne ihre Flugrichtung und fliegt dann in Richtung des Vektors Die Objektivmitte bewegt sich dann entlang der Geraden mit der Gleichung: Diese soll die Gerade schneiden, auf der die Mittellinie des Gangs liegt: Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Aus der zweite Gleichung kann direkt bestimmt werden: Einsetzen in liefert einen Wert für Einsetzen in liefert einen Wert für Wenn die Drohne ihren Kurs verändert befindet sich die Mitte des Objektivs also im Punkt Sie ist im Punkt gestartet und demnach senkrecht nach oben gestiegen.

  Wahrscheinlichkeiten bestimmen Wir betrachten die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der Urlauber aus Deutschland in der Stichprobe von Urlaubern beschreibt. Bei jedem Urlauber wird dabei nur unterschieden, ob er aus Deutschland kommt oder nicht Da erfahrungsgemäß aller Besucher der Knickpyramide aus Deutschland kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er aus Deutschland kommt, bei jedem befragten Urlauber gleich.
Damit kann als binomialverteilt mit den Parametern und angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass unter den befragten keiner aus Deutschland stammt, beträgt ca. Ereignis tritt ein, wenn unter den ersten befragten genau Urlauber aus Deutschland stammen und der zwölfte Urlauber aus Deutschland stammt. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten befragten genau aus Deutschland stammen, betrachten wir die Zufallsgröße die aus den gleichen Gründen wie als binomialverteilt angenommen werden kann, mit den Parametern und Dann folgt mit der Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass der zwölfte befragte Urlauber der fünfte ist, der aus Deutschland stammt, beträgt ca.

  Vermutung untersuchen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der aus Deutschland stammenden Urlauber in dem Test mit zufällig ausgewählten Urlaubern beschreibt. Diese kann aus gleichen Gründen wie als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern und unbekanntem Laut Aufgabenstellung ist die zu überprüfende Nullhypothese : Das Signifikanzniveau gibt an, dass die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens fälschlicherweise abgelehnt werden soll. Es ist also das kleinste gesucht, das folgende Ungleichung gerade noch erfüllt: Von den befragten Urlaubern stammen aus Deutschland. Dies liegt noch im Annahmebereich. Es kann also auf einem Signifikanzniveau von nicht davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil aus Deutschland stammender Urlauber erhöht hat. Die Vermutung des Reiseveranstalters kann also nicht bestätigt werden.

  Höhe der Pyramide berechnen Gesucht ist die Höhe der ursprünglich in der zweiten Phase geplanten Pyramide Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt und alle Seitenflächen im gleichen Winkel zum ebenen Gelände geneigt sind, kann bei den folgenden Berechnungen jede Seitenfläche verwendet werden. Die Pyramide hätte eine Höhe von ca. erreicht.

  Koordinaten begründen Die gesamte Grundfläche liegt in der --Ebene, da das ebene Gelände in der --Ebene liegt, damit insbesondere auch der Punkt Für die -Koordinate gilt also
Die Seitenkanten und verlaufen parallel zur -Achse, die Seitenkanten und verlaufen daher parallel zur -Achse, weil ein Quadrat ist.
Die Punkte und bilden gemeinsam mit den Mittelpunkten der Strecken und ein Quadrat mit den Seitenlängen , da der Punkt der Mittelpunkt der Grundfläche ist.
Damit ergeben sich auch die - und -Koordinaten zu   Gleichung der Ebene angeben Die Grundfläche der Pyramide liegt in der --Ebene. Die Ebene , in der die Punkte , , und liegen, entsteht wegen der Höhe des ursprünglichen Pyramidenteils durch Verschiebung der --Ebene um Einheiten in positive -Richtung. Damit ergibt sich die Ebenengleichung:   Koordinaten nachweisen Der Punkt liegt in der Ebene und muss daher die -Koordinate besitzen. Für die beiden übrigen Koordinaten von betrachten wir den Teil der Pyramide der nicht gebaut wurde. Dieser ist wiederum eine Pyramide mit der quadratischen Grundfläche und der ursprünglichen Spitze
Analog zur Aufgabe 2.1 kann hier ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet werden, das die Spitze mit dem Mittelpunkt der Grundfläche und dem Mittelpunkt der Seitenkante bildet.
Der Innenwinkel bei entspricht dann dem Neigungswinkel der Seitenflächen der ursprünglichen Pyramide zum ebenen Gelände. Die Höhe der Pyramide ist die Differenz der Höhe der gesamten Pyramide und der Höhe des Pyramidenstumpfs mit entspricht der Gegenkathete von , die Länge der Ankathete kann mit dem Tangens bestimmt werden. Die halbe Seitenlänge der Grundfläche beträgt also ca. Da der Mittelpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung liegt, liegt auch der Mittelpunkt der zweiten Grundfläche auf der -Achse, da es sich um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt.
Dies ist auch der Grund dafür, dass es sich bei der zweiten Grundfläche ebenfalls um ein Quadrat handelt. Weil auch die Seitenkanten und parallel zur -Achse liegen, gilt gleiches auch für die Seitenkanten und und damit sind auch und parallel zur -Achse. Insgesamt folgt damit für die -Koordinate von und für die -Koordinate

  Volumen berechnen Das Volumen der Knickpyramide setzt sich zusammen aus dem Volumen des Pyramidenstumpfs und dem Volumen der Pyramide Das Volumen der Pyramide ergibt sich wie folgt: Die Gesamthöhe der Knickpyramide beträgt die Höhe des Pyramidenstumpfs beträgt also ist Aus den Koordinaten von lässt sich die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche bestimmen: Mit der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs ergibt sich für Für das gesamte Volumen ergibt sich: Die Knickpyramide besitzt ein Volumen von ca.

  Tiefe des Gangendes ermitteln Die Mittellinie des Ganges beginnt im Punkt und verläuft dann in Richtung des Vektors Sie liegt daher auf der Geraden mit folgender Gleichung: Das Gangende der Mittellinie liegt im Punkt der mit einem Abstand von auf der Geraden liegt. Es muss also gelten: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: Da das ebene Gelände in der --Ebene liegt, wird die Tiefe des Gangendes durch die -Koordinate des Endpunktes beschrieben.
Die Mittellinie des Ganges endet ca. unter dem ebenen Gelände.

  Länge der Strecke ermitteln Der Startpunkt der Mitte des Objektivs hat die Koordinaten Danach steigt die Drohne senkrecht zum ebenen Gelände nach oben, wodurch sich die Objektivmitte jederzeit in einem Punkt befindet. In einem dieser Punkte ändert die Drohne ihre Flugrichtung und fliegt dann in Richtung des Vektors Die Objektivmitte bewegt sich dann entlang der Geraden mit der Gleichung: Diese soll die Gerade schneiden, auf der die Mittellinie des Gangs liegt: Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Asu der zweite Gleichung kann direkt bestimmt werden: Einsetzen in liefert einen Wert für Einsetzen in liefert einen Wert für Wenn die Drohne ihren Kurs verändert befindet sich die Mitte des Objektivs also im Punkt Sie ist im Punkt gestartet und demnach senkrecht nach oben gestiegen.

  Wahrscheinlichkeiten bestimmen Wir betrachten die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der Urlauber aus Deutschland in der Stichprobe von Urlaubern beschreibt. Bei jedem Urlauber wird dabei nur unterschieden, ob er aus Deutschland kommt oder nicht Da erfahrungsgemäß aller Besucher der Knickpyramide aus Deutschland kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er aus Deutschland kommt, bei jedem befragten Urlauber gleich.
Damit kann als binomialverteilt mit den Parametern und angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass unter den befragten keiner aus Deutschland stammt, beträgt ca. Ereignis tritt ein, wenn unter den ersten befragten genau Urlauber aus Deutschland stammen und der zwölfte Urlauber aus Deutschland stammt. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten befragten genau aus Deutschland stammen, betrachten wir die Zufallsgröße die aus den gleichen Gründen wie als binomialverteilt angenommen werden kann, mit den Parametern und Dann folgt mit der Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass der zwölfte befragte Urlauber der fünfte ist, der aus Deutschland stammt, beträgt ca.

  Vermutung untersuchen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der aus Deutschland stammenden Urlauber in dem Test mit zufällig ausgewählten Urlaubern beschreibt. Diese kann aus gleichen Gründen wie als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern und unbekanntem Laut Aufgabenstellung ist die zu überprüfende Nullhypothese : Das Signifikanzniveau gibt an, dass die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens fälschlicherweise abgelehnt werden soll. Es ist also das kleinste gesucht, das folgende Ungleichung gerade noch erfüllt: Von den befragten Urlaubern stammen aus Deutschland. Dies liegt noch im Annahmebereich. Es kann also auf einem Signifikanzniveau von nicht davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil aus Deutschland stammender Urlauber erhöht hat. Die Vermutung des Reiseveranstalters kann also nicht bestätigt werden.