Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Für jede positive reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= \ln(a\cdot x^2 -1)$ und $x\in \mathbb{D}_{f_a}$ gegeben.
Die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ kann durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:

	$\dfrac{1}{a\cdot x^2-1}$
	$\dfrac{1}{2\cdot a\cdot x}$
	$\dfrac{2\cdot a\cdot x}{a\cdot x^2-1}$
	$\dfrac{2\cdot a\cdot x-1}{a\cdot x^2-1}$
	$\dfrac{\mathrm e^{2\cdot a\cdot x}}{2\cdot a\cdot x}$

1.2

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall auf die Funktion $f$ zu?

	Die Funktion $f$ ist für $1\leq x\leq 2$ monoton fallend.
	Die Funktion $f$ besitzt zwei Extremstellen.
	Die Funktion $f$ besitzt zwei Wendestellen.
	Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $1$ eine waagerechte Tangente.
	Die Funktion $f$ ist eine quadratische Funktion.

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1.3

Welchen Wert hat das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx?$

	$-4$
	$-2$
	$2$
	$3$
	$4$

1.4

Ein Term zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks $ABC$ lautet:

	$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$
	$\frac{1}{2}\cdot \left\| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right\|$
	$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$
	$\frac{1}{2}\cdot \left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AC}\right\|$
	$\frac{1}{2}\cdot \left\|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\|$

1.5

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen $1,$ $2$ und $3$ beschriftet sind. Beim Drehen des Glücksrades wird sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ angezeigt.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden gedrehten Zahlen höchstens $3$ ist, beträgt:

	$\frac{1}{16}$
	$\frac{3}{16}$
	$\frac{1}{4}$
	$\frac{5}{16}$
	$\frac{3}{4}$

Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10

Gegeben ist die in $\mathbb R$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm e^x+\dfrac{1}{2}\cdot x.$

2.1

Begründe, dass der Graph von $f$ und der Graph der in $\mathbb R$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x -1$ keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.2

Für eine positive reelle Zahl $c$ wird die in $\mathbb R$ definierte Funktion $g_c$ mit $g_c(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-c$ betrachtet.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ und $g_c.$
Die beiden Graphen schließen mit der $y$ -Achse und der Gerade mit der Gleichung $x=1$ eine Fläche mit dem Inhalt $3$ ein.
Berechne $c.$

Erreichbare BE-Anzahl: 03

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Gegeben sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(3\mid -6 \mid 6)$ und $F(2\mid -4 \mid 4)$ sowie die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\-4\\5}+k\cdot \pmatrix{-2\\0\\1}$ mit $k \in \mathbb R.$

3.1

Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B.$
Zeige, dass sich $g$ und $h$ im Punkt $F$ senkrecht schneiden.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

3.2

Der Punkt $C$ liegt auf $g$ und ist verschieden von $F.$
Gib die besondere Bedeutung der Stecke $\overline{CF}$ im Dreieck $ABC$ an.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

Betrachtet wird ein Bernoulli-Experiment mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaliger Durchführung dieses Bernoulli-Experiments genau ein Treffer erzielt wird, beträgt $\dfrac{3}{8}.$

4.1

Zeige, dass $\dfrac{3}{4}$ ein möglicher Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

4.2

Weise nach, dass für alle möglichen Werte der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ die Gleichung $p^2-p+\dfrac{3}{16}=0$ gilt.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$ .

5.1

Begründe, dass das Quadrat in der $yz$ -Ebene liegt.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

5.2

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$ , der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$ -Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]

1.1

Die erste Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}.$ Mit der Kettenregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Die dritte Antwortmöglichkeit ist also die richtige.

1.2

Die Funktion $f$ ist für $1\leq x \leq 2$ nicht monoton fallend, da $\(f$ dort keine negativen Funktionswerte annimmt
Die Funktion $f$ hat keine zwei Extremstellen, da $\(f$ keine zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat
Der Graph vo $f$ hat an der Stelle 1 keine waagrechte Tangente, da $\(f$ an der Stelle $x=1$ keine Nullstelle besitzt
Die Funktion $f$ ist keine quadratische Funktion, da $\(f$ sonst eine Gerade sein müsste

Der abgebildete Graph hat zwei Extremstellen. Der Graph von $f$ hat demnach zwei Wendeatellen.
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

1.3

$\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx=\left[\dfrac{1}{2}x^2+x \right ]_0^2$ $=\left(\dfrac{1}{2}\cdot 4+2 \right)-0=4$

Damit ist Antwortmöglichkeit 5 richtig.

1.4

Der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren aufgespannt wird, entspricht dem Betrag des Vektorprodukts. Die Hälfte davon entspricht dann dem Flächeninhalt des Dreiecks.

Die fünfte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

1.5

$P(1)=P(3)=\dfrac{1}{4} \quad P(2)=\dfrac{1}{2}$
Mit den Pfadregeln ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$P(\text{Summe}\leq 3)=\dfrac{5}{16}$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

2.1

Ein gemeinsamer Punkt von $f$ und $g$ kann folgendermaßen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x)\\[5pt] \mathrm e^x + \dfrac{1}{2}\cdot x&=& \dfrac{1}{2}\cdot x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}\cdot x\\[5pt] \mathrm e^x&=&-1 \end{array}$

Da $\mathrm e^x$ nur positive Werte annimmt, hat die Gleichung keine Lösung und die beiden Funktionen somit keinen gemeinsamen Punkt.

2.2

Gesucht ist ein Wert für $c,$ der die Geichung $\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g_c(x))\;\mathrm dx=3$ erfüllt.

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g_c(x))=e+c-1$

$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e+c-1&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] \mathrm e+c&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; -\mathrm e^x \\[5pt] c&=& 4-\mathrm e \end{array}$

Der gesuchte Wert ist $c=4-\mathrm e.$

3.1

Die Geradengleichung von $h$ ist gegeben durch $h: \overrightarrow{x}=t\cdot \pmatrix{3\\-6\\6}.$

Schnittpunkt berechnen

Der Schnittpunkt von $g$ und $h$ lässt sich wie folgt berechnen:

$t\cdot \pmatrix{3\\-6\\6}=\pmatrix{0\\-4\\5}+k\cdot \pmatrix{-2\\0\\1}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\quad\begin{array}[t]{rll} -6t&=& -4&\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] t&=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Damit folgt aus der dritten Zeile:

$\quad \begin{array}[t]{rll} 6\cdot \dfrac{2}{3}&=& 5+k &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -1&=& k\\ k&=&-1 \end{array}$

Einsetzen in die erste Zeile liefert:

$\quad \begin{array}[t]{rll} 3\cdot \dfrac{2}{3}&=& -2\cdot (-1) \\[5pt] 2&=& 2 \quad \text{w.A.} \end{array}$

Einsetzen von $t$ in $h$ liefert $\overrightarrow{OS}=\dfrac{2}{3}\cdot \pmatrix{3\\-6\\6}=\pmatrix{2\\-4\\4}$

Der Schnittpunkt von $g$ und $h$ entspricht also dem Punkt $F.$

Zeigen, dass $\boldsymbol g$ und $\boldsymbol h$ senkrecht zueinander stehen

Die Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich Null ist.

$\pmatrix{-2\\0\\1}\circ \pmatrix{3\\-6\\6}$ $=-2\cdot 3+0\cdot (-6)+1\cdot 6$ $=0$

Die beiden Geraden schneiden sich also senkrecht im Punkt $F.$

3.2

Die Strecke $\overline{CF}$ entspricht im Dreieck $ABC$ der Höhe auf $\overline{AB},$ da sie senkrecht zur Strecke $\overline{AB}$ steht und den Punkt $C$ enthält.

4.1

Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer beträgt $\dfrac{3}{8}.$ Damit $p=\dfrac{3}{4}$ ein möglicher Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit sein kann, muss Folgendes gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3}{4}&=& \dfrac{3}{8}\\[5pt] \dfrac{3}{16}+\dfrac{3}{16}&=& \dfrac{3}{8} \\[5pt] \dfrac{6}{16}&=& \dfrac{3}{8} \\[5pt] \dfrac{3}{8}&=& \dfrac{3}{8} \quad \text{w.A.} \end{array}$

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Somit ist $p=\dfrac{3}{4}$ ein möglicher Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit.

4.2

Die Wahrscheinlichkeit, genau einen Treffer zu erzielen, entspricht der Summe des zweiten und des dritten Pfades. Für diese Wahrscheinlichkeit muss Folgendes gelten:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p&=& \dfrac{3}{8} \\[5pt] p^2-p+\dfrac{3}{16}&=& 0 \end{array}$

5.1

Da $g$ orthogonal zur $E$ verläuft, ist der Normalenvektor von $E$ gleich dem Richtungsvektor von $g,$ also $\overrightarrow{n_E}=\pmatrix{1\\0\\0}.$ In Koordinatendarstellung gilt damit $E: x=d.$ Einsetzen von $P(0\mid 1 \mid 5)$ liefert $E: x=0,$ was genau der $y$ - $z$ -Ebene entspricht.

5.2

1. Schritt: Koordinaten des Durchstoßpunktes berechnen

Der Schnittpunkt $S$ der beiden Diagonalen ist der Punkt, in dem die Gerade $g$ die $y$ - $z$ -Ebene durchstößt. Alle Punkte in der $y$ - $z$ -Ebene haben die $x$ -Koordinate $x=0$ .

Mit der ersten Zeile der Geradengleichung von $g$ gilt: