Teil B2

In einem Wald ist ein Baumwipfelpfad geplant.

Er soll vier Aussichtsplattformen besitzen. Die Aussichtsplattformen sind in der Planung untereinander durch Brücken verbunden, welche jeweils in einer Aussichtsplattform beginnen bzw. enden. Die Aussichtsplattformen werden als Punkte, die Brücken als Strecken angenommen.

Der geplante Baumwipfelpfad kann in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter). Drei der Aussichtsplattformen sollen sich in den Punkten $A(30,0\mid5,0\mid15,0)$ , $B(0,0\mid0,0\mid25,0)$ und $D(0,0\mid50,0\mid30,0)$ befinden. Die vierte Aussichtsplattform ist in Abhängigkeit von $h\;(h\in\mathbb{R};15,0\leq h\leq35,0)$ im Punkt $C_h(-15,0\mid45,0\mid h)$ geplant.

Die Punkte $A$ , $B$ und $D$ liegen in der Ebene $E$ . Der ebene Waldboden liegt in der $x$ - $y$ -Koordinatenebene.

2.1 Begründe, dass die Aussichtsplattformen in den Punkten $A$ , $B$ und $D$ in der Ebene $E$ mit $E:7\cdot x-2\cdot y+20\cdot z=500$ liegen.

Ermittle die Gesamtlänge der drei Brücken, welche die Aussichtsplattformen in den Punkten $A$ , $B$ und $D$ untereinander verbinden sollen.

Bestimme den Neigungswinkel der Brücke zwischen den Aussichtsplattformen in den Punkten $A$ und $B$ gegenüber dem ebenen Waldboden.

(9P)

2.2 Die Brücken, die von der Aussichtsplattform im Punkt $C_h(h\in\mathbb{R};15,0\leq h\leq 35,0)$ zu den Aussichtsplattformen in den Punkten $A$ , $B$ und $D$ führen, sollen in einer Planungsvariante I ebenfalls in der Ebene $E$ liegen.

Ermittle dafür den Wert von $h$ .

(3P)

2.3 Bestimme die Koordinaten desjenigen Punktes auf der Brücke zwischen den Aussichtsplattformen in den Punkten $B$ und $D$ , der den geringsten Abstand zum Punkt $A$ besitzt.

Die Brücke zwischen den Aussichtsplattformen in den Punkten $B$ und $D$ liegt auf der Geraden $i$ . Die Brücke zwischen den Aussichtsplattformen in den Punkten $A$ und $C_h(h\in\mathbb{R};15,0\leq h\leq 35,0)$ liegt auf der Geraden $g_h$ .

Der Abstand $d$ der Geraden $i$ und $g_h$ beträgt $d(h)=\dfrac{\left|60\cdot h-2.085\right|}{\sqrt{4\cdot h^2-152\cdot h+9.625}}$ .

Es gibt einen Wert von $h(h\in\mathbb{R};15,0\leq h\leq 35,0)$ , für den der Abstand der Geraden $i$ und $g_h$ maximal ist.

Bestimme diesen Wert von $h$ und gib den maximalen Abstand an.

(6P)

2.4 In der Planungsvariante II soll der Wert von $h(h\in\mathbb{R};15,0\leq h\leq 35,0)$ so gewählt werden, dass für den zugehörigen Punkt $C_h$ folgende Bedingungen gelten:

Der Abstand der Aussichtsplattform im Punkt $C_h$ zur Ebene $E$ soll höchstens $7,0\,\text{m}$ betragen.

Die Brücken von der Aussichtsplattform im Punkt $C_h$ zu den Aussichtsplattformen in den Punkten $B$ und $D$ sollen einen Winkel von mindestens $90^{\circ}$ einschließen

Bestimme gemäß dieser Bedingungen alle möglichen Werte von $h$ .

(8P)

2.5 Ausgehend von den Aussichtsplattformen sollen geradlinige Sicherungsseile gespannt werden.

Ein Sicherungsseil soll vom Punkt $D$ so zum Waldboden gespannt werden, dass es unter einem Winkel von $60^{\circ}$ auf dem Waldboden auftrifft.

Ermittle die Koordinaten eines möglichen Auftreffpunktes dieses Sicherungsseiles auf dem Waldboden.

Alle Punkte in der $x$ - $y$ -Koordinatenebene, die als Auftreffpunkte dieses Sicherungsseiles auf dem Waldboden in Frage kommen, schließen eine Fläche vollständig ein.

Bestimme den Inhalt dieser Fläche.

(8P)

2.6 Die Reißfestigkeit der vorgesehenen Sicherungsseile ist annähernd normalverteilt.

Der Hersteller der Seile gibt an, dass der Erwartungswert für die Reißfestigkeit dieser Seile bei $145,0\,\text{kN}$ liegt. Außerdem gibt der Hersteller an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sicherungsseil bei einer Belastung von mehr als $140,0\,\text{kN}$ reißt, bei ca. $97,3\,\%$ liegt.

Bestimme auf der Grundlage dieser Angaben, mit welcher Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden muss, dass ein Sicherungsseil bei einer Belastung zwischen $142,0\,\text{kN}$ und $150,0\,\text{kN}$ reißt.

(6P)

2.7 Es wird erwartet, dass ca. $65,0\,\%$ der zukünftigen Besucher des Baumwipfelpfades aus der näheren Umgebung kommen. Außerdem wird erwartet, dass der Anteil von Kindern unter den zukünftigen Besuchern, die nicht aus der näheren Umgebung kommen, bei ca. $55\,\%$ liegen wird. Der Gesamtanteil der Kinder unter allen zukünftigen Besuchern wird mit ca. $48,5\,\%$ prognostiziert.

An Ferientagen werden pro Tag ca. $100$ Kinder aus der näheren Umgebung als zukünftige Besucher erwartet.

Ermittle, mit welcher Gesamtbesucherzahl an einem Ferientag geplant wird.

(5P)

Materialien für Aufgaben zur Stochastik

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

$\phi(z)=$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{z}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^2}\;\mathrm dt$
$\phi(-z)$ =	$1-\phi(z)$

Graph einer Funktion mit einer grünen Fläche unter der Kurve und Achsenbeschriftungen.

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
2
3	z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
5	0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
6	0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
7	0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
8	0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
9	0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
10	0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
11	0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
12	0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
13	0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
14	1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
15	1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
16	1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
17	1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
18	1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
19	1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
20	1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
21	1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
22	1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
23	1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
24	2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
25	2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
26	2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
27	2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
28	2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
29	2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
30	2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
31	2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
32	2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
33	2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
34	3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
35	3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
36	3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
37	3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
38	3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
39	3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
40	3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
41	3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
42	3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
43	3,9	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Aufgabe B 2

2.1 $\blacktriangleright$ Begründe, dass Punkte in der Ebene liegen

Du sollst zeigen, dass die Punkte $A$ , $B$ und $D$ in der Ebene $E$ liegen. Die Ebene $E$ lautet

$E: \quad 7 \cdot x - 2\cdot y + 20 \cdot z = 500$

Eine Punktprobe liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 7 \cdot 30 - 2 \cdot 5 + 20 \cdot 15&=& 210-10+300 \\[5pt] &=&500\ \checkmark\\[10pt] 7 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 20 \cdot 25&=&0-0+500 \\[5pt] &=&500\ \checkmark\\[10pt] 7 \cdot 0 - 2 \cdot 50 + 20 \cdot 30&=& 0-100+600 \\[5pt] &=&500\ \checkmark \end{array}$

Die Punkte liegen somit in der Ebene E.

$\blacktriangleright$ Gesamtlänge der Brücken berechnen

Du sollst die Gesamtlänge der drei Brücken, die die drei Punkte $A$ , $B$ und $D$ verbinden, berechnen. Stelle dafür zunächst die Vektoren, die die Brücken darstellen auf und berechne dann deren Länge.

1. Schritt: Vektoren aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0-30\\0-5\\25-15\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-30\\-5\\10\end{pmatrix}\\[10pt] \overrightarrow{BD}&=&\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0-0\\50-0\\30-25\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix}\\[10pt] \overrightarrow{DA}&=&\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}30-0\\5-50\\15-30\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}30\\-45\\-15\end{pmatrix}\\[10pt] \end{array}$

2. Schritt: Längen berechnen

Um die Länge der Brücken zu berechnen, bestimmst du die Beträge der gerade aufgestellten Vektoren.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB}\right|&=&\sqrt{(-30)^2 + (-5)^2 + 10^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1025}\\[10pt] \left|\overrightarrow{BD}\right|&=&\sqrt{0^2 + 50^2 + 5^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2525}\\[10pt] \left|\overrightarrow{DA}\right|&=&\sqrt{30^2 + (-45)^2 + (-15)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{3150} \end{array}$

Die Gesamtlänge der Brücken ergibt sich durch addieren der drei berechneten Längen.

$L = \sqrt{1025} + \sqrt{2525} + \sqrt{3150}$ $\approx 138,39$ .

Die Gesamtlänge der Brücken beträgt ungefähr $138,39$ m.

$\blacktriangleright$ Neigungswinkel bestimmen

Du sollst den Neigungswinkel zwischen der Brücke von $A$ nach $B$ und der $xy$ -Ebene bestimmen. Den Winkel $\alpha$ zwischen einem Vektor $\vec{u}$ und einer Ebene mit Normalenvektor $\vec{n}$ berechnest du mit folgender Formel:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\left|\vec{u}\cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot \left|\vec{u}\right|}$

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ . Der Vektor, der die Brücke von $A$ nach $B$ beschreibt lautet $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-30\\-5\\10\end{pmatrix}$ .

Berechne also den gesuchten Winkel mit der oben angegebenen Formel.

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left|\begin{pmatrix}-30\\-5\\10\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-30\\-5\\10\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|(-30) \cdot 0 +(-5) \cdot 0 + 10\cdot 1\right|}{\sqrt{(-30)^2 + (-5)^2 + 10^2} \cdot 1}\\[5pt] &=&\dfrac{10}{\sqrt{1025}} \end{array}$

Für den Winkel gilt: $\alpha = \arcsin\left(\dfrac{10}{\sqrt{1025}}\right) \approx 18,2^{\circ}$ .

2.2 $\blacktriangleright$ Wert von $h$ bestimmen

Du sollst den Wert für $h$ bestimmen, sodass die Brücken von der Plattform in $C_h$ zu den Plattformen in $A$ , $B$ und $D$ in der Ebene $E$ liegen. Die Punkte $A$ , $B$ und $D$ liegen in der Ebene $E$ , damit die Brücken in $E$ liegen, muss also der Punkt $C_h$ in $E$ liegen.

Um den Wert für $h$ zu bestimmen, führe eine Punktprobe durch und bestimme $h$ so, dass diese eine wahre Aussage liefert.

Setze $C_h$ in $E$ ein und löse nach $h$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 7 \cdot (-15) - 2\cdot 45 + 20 \cdot h&=& 500\\[5pt] -105-90+20\cdot h&=&500\\[5pt] -195 + 20\cdot h&=&500\quad \scriptsize \mid\; +195\\[5pt] 20\cdot h &=&695\quad \scriptsize \mid\;:20\\[5pt] h&=&34,75 \end{array}$

Für $h=34,75$ liegen die Brücken in der Ebene $E$ .

2.3 $\blacktriangleright$ Koordinaten des Punkts mit minimalem Abstand bestimmen

Deine Aufgabe ist es den Punkt zwischen $B$ und $D$ zu finden, der den geringsten Abstand zum Punkt $A$ hat. Du kannst in folgenden Schritten vorgehen:

Stelle die Gleichung der Geraden durch $B$ und $D$ auf.

Stelle die Hilfsebene auf, indem du den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor verwendest und den Punkt $A$ als Stützpunkt.

Wandle die Normalenform in Koordinatenform um.

Setze die Gerade in die Koordinatenform ein und berechne $r$ .

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Stelle zunächste die Gleichung der Geraden durch $B$ und $D$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} j:\quad \vec{x}&=&\overrightarrow{OB}+ r \cdot \overrightarrow{BD}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\25\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0-0\\50-0\\30-25\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\0\\25\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix} \end{array}$

2. Schritt: Hilfsebene aufstellen

Stelle die Hilfsebene auf, indem du den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor verwendest und den Punkt $A$ als Stützpunkt.

$F: \quad \begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix}\cdot \left[\vec{x}- \begin{pmatrix}30\\5\\15\end{pmatrix}\right]=0$

3. Schritt: Ebenengelichung in Koordinatenform umwandeln

Wandle die Normalenform in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt berechnest.

$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix}\cdot \left[\vec{x}- \begin{pmatrix}30\\5\\15\end{pmatrix}\right]&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-30\\y-5\\z-15\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] 0\cdot(x-30) + 50 \cdot (y-5)+ 5\cdot (z-15) &=&0\\[5pt] 50y-250+5z-75 &=& 0 \\[5pt] 50y+5z-325&=&0 \quad \scriptsize \mid\; +325\\[5pt] 50y+5z&=&325 \end{array}$

4. Schritt: Berechne $\boldsymbol{r}$

Setze die Gerade in die Koordinatenform ein und berechne $r$ .

$\begin{array}[t]{rll} 50\cdot50 r+5\cdot (25+5r)&=&325\\[5pt] 2500r+125+25r&=&325\\[5pt] 2525r+125&=&325 \quad \scriptsize \mid\; -125\\[5pt] 2525r&=&200 \quad \scriptsize \mid\; :2525\\[5pt] r&=&\dfrac{8}{101} \approx 0,08 \end{array}$

Setze $r=\frac{8}{101}$ in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Punkts $P$ mit dem minimalen Abstand zu $A$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}0\\0\\25\end{pmatrix} + \dfrac{8}{101} \cdot \begin{pmatrix}0\\50\\5\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\ \frac{400}{101}\\ \frac{2565}{101}\end{pmatrix}$

Setzt du $r=0$ in die Geradengleichung ein, erhältst du die Koordinaten des Punkts $B$ . Setzt du $r=1$ in die Geradengleichung ein, erhältst du die Koordinaten des Punkts $D$ . Da $0 \leq 0,08 \leq 1$ liegt der Punkt $P$ tatsächlich zwischen den Punkten $B$ und $D$ .

Der Punkt $P$ mit dem minimalen Abstand zu $A$ lautet $P(0 \mid \frac{400}{101}\mid \frac{2565}{101})$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{h}$ bestimmen, sodass Abstand maximal

Der Abstand zwischen den Geraden $i$ und $g_h$ soll maximal sein. Du hast die Funktionsgleichung für den Abstand dieser beiden Geraden gegeben:

$d(h)=\dfrac{\left|60h-2085\right|}{\sqrt{4h^2-152h+9625}}$

für $h$ gilt $h \in \mathbb{R}, 15 \leq h \leq 35$ .

Zeichne dir die Funktion $d$ in deinem GTR und bestimme das Maximum.

Graphische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und maximalem Punkt.

Der Wert für $h$ , sodass die beiden Geraden den maximalen Abstand haben lautet $h=15$ . Der maximale Abstand beträgt $13,0504$ m.

2.4 $\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{h}$ bestimmen

Für eine weitere Planungsvariante sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Der Abstand der Aussichtsplattform im Punkt $C_h$ zur Ebene $E$ soll höchstens 7m betragen.

Die Brücken von der Aussichtsplattform im Punkt $C_h$ zu den Aussichtsplattformen in den Punkten $B$ und $D$ sollen einen Winkel von mindestens 90° einschließen.

Du sollst nun alle möglichen Werte von $h$ bestimmen.

1. Bedingung

Der Abstand von $C_h$ zur Ebene $E$ soll höchstens 7m betragen.

Um die Werte für $h$ bestimmen zu können, die diese Bedingung erfüllen, berechnest du zunächst die Hessesche Normalform der Ebene $E$ , indem du durch den Betrag des Normalenvektors teils.

Ein Normalenvektor der Ebene $E$ lautet: $\vec{n} = \begin{pmatrix}7\\-2\\20\end{pmatrix}$

Die Länge des Normalenvektors ist:

$\left|\vec{n}\right| = \sqrt{7^2+(-2)^2+20^2} = \sqrt{453}$

Die Hessesche Normalform der Ebene $E$ lautet somit:

$E: \quad \dfrac{1}{\sqrt{453}} \left[7 \cdot x - 2\cdot y + 20 \cdot z -500\right] = 0$

Setze nun den Punkt $C_h$ in die Hessesche Normalform ein, der Betrag dieses Ausdrucks soll dann kleiner gleich 7 sein.

$\begin{array}[t]{rrrll} &&\left|d\right| &\leq&7\\[5pt] &&\dfrac{1}{\sqrt{453}} \left|7 \cdot (-15) - 2\cdot 45 + 20 \cdot h -500\right|&\leq&7\\[5pt] &&\dfrac{1}{\sqrt{453}} \left|-695 + 20h \right|&\leq&7\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{453}\\[5pt] &&\left|-695+20h\right|&\leq&7\cdot \sqrt{453} \\[5pt] -7\cdot \sqrt{453}&\leq & -695+20h&\leq&7\cdot \sqrt{453}\quad \scriptsize \mid\;+695\\[5pt] 546,0134 &\leq&20h&\leq&843,9866\quad \scriptsize \mid\;:20\\[5pt] 27,30&\leq& h &\leq&42,12 \end{array}$

Die 1. Bedingung ist für $27,30\leq h \leq 42,12$ erfüllt.

2. Bedingung

Damit die Brücken von der Aussichtsplattform im Punkt $C_h$ zu den Aussichtsplattformen in den Punkten $B$ und $D$ einen Winkel von mindestens 90° einschließen, müssen die Vektoren $\overrightarrow{C_hB}$ und $\overrightarrow{C_hD}$ einen Winkel von mindestens 90° einschließen.

Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird folgendermaßen berechnet:

$\alpha = \cos^{-1} \left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|}\right)$

Stelle die Vektoren $\overrightarrow{C_hB}$ und $\overrightarrow{C_hD}$ auf.

$\overrightarrow{C_hB} = \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC_h}$ $=\begin{pmatrix}0-(-15)\\0-45 \\25-h\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\-45 \\25-h\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{C_hD} = \overrightarrow{OD}- \overrightarrow{OC_h}$ $=\begin{pmatrix}0-(-15)\\50-45 \\30-h\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\5 \\30-h\end{pmatrix}$

Es soll $\alpha\geq 90^{\circ}$ gelten, mit der oben angegebenen Formel und $\cos(90^{\circ})=0$ erhältst du

$\begin{array}[t]{rll} 90^{\circ}&\leq& \alpha \\[5pt] 90^{\circ}&\leq& \cos^{-1}\left(\dfrac{\overrightarrow{C_hB} \cdot\overrightarrow{C_hD}}{\left|\overrightarrow{C_hB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{C_hD}\right|} \right) \\[5pt] 0&\geq&\dfrac{\overrightarrow{C_hB} \cdot\overrightarrow{C_hD}}{\left|\overrightarrow{C_hB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{C_hD}\right|} \\[5pt] 0&\geq&\dfrac{\begin{pmatrix}15\\-45 \\25-h\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}15\\5 \\30-h\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}15\\-45 \\25-h\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}15\\5 \\30-h\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] 0&\geq&\dfrac{15^2+ (-45)\cdot 5 + (25-h)(30-h)}{\sqrt{15^2+(-45)^2+(25-h)^2}\cdot \sqrt{15^2+5^2+(30-h)^2}}\\[5pt] 0&\geq&\dfrac{(25-h)(30-h)}{\sqrt{2250+(25-h)^2}\cdot \sqrt{250+(30-h)^2}}\\[5pt] \end{array}$

Zeichne die Funktion mit deinem GTR und berechne die Nullstellen.

Zwei Grafiken eines Taschenrechners, die mathematische Funktionen darstellen.

Die 2. Bedingung ist erfüllt für $25 \leq h \leq 30.$

Nimmst du nun die beiden Ergebnisse zusammen, sind beide Bedingungen erfüllt, wenn $27,30 \leq h \leq 30.$

2.5 $\blacktriangleright$ Punkt des Sicherungsseils bestimmen

Du sollst die Koordinaten eines Punktes bestimmen, in welchem das Sicherungsseil von der Aussichtsplattform in Punkt $D$ den Boden in einem Winkel von 60° trifft.

Der Auftreffpunkt auf der $xy$ -Ebene hat die Koordinaten $L(l_1 \mid l_2 \mid 0)$ . Die Gerade durch den Punkt $D$ und den Punkt $L$ , die also das Sicherungsseil beschreibt, hat dann folgende Form:

$s: \quad \vec{x} = \overrightarrow{OD} + t\cdot \overrightarrow{DL} = \begin{pmatrix}0\\50\\30\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}l_1 \\l_2-50\\-30\end{pmatrix}$

Für den Winkel $\alpha$ zwischen einer Ebene mit Normalenvektor $\vec{n}$ und einer Gerade mit Richtungsvektor $\vec{u}$ gilt folgende Formel:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\left|\vec{n}\cdot \vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot \left|\vec{u}\right|}$

Ein Normalenvektor zur $xy$ - Ebene ist beispielsweise $\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Setze den Winkel und die beiden Vektoren in die Formel ein und löse nach $l_1$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} \sin(60^{\circ})&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}l_1\\l_2-50\\-30\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}l_1\\l_2-50\\-30\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2}&=&\dfrac{30}{1\cdot \sqrt{l_1^2 + (l_2-50)^2 + (-30)^2}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{l_1^2 + (l_2-50)^2 + (-30)^2}\\[5pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{l_1^2 + (l_2-50)^2 + 900}&=&30 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\[5pt] \sqrt{l_1^2 + (l_2-50)^2 + 900}&=&\dfrac{60}{\sqrt{3}} \quad \scriptsize \mid\; ()^2 \\[5pt] l_1^2 + (l_2-50)^2 +900&=&\dfrac{3600}{3} \quad \scriptsize \mid\; -((l_2-50)^2 + 900) \\[5pt] l_1^2 &=&1200 -900 - (l_2-50)^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{ } \\[5pt] l_1 &=&\pm \sqrt{300 - (l_2-50)^2} \end{array}$

Wähle nun einen Wert für $l_2$ , sodass die Diskriminante positiv ist und berechne das zugehörige $l_1$ .

Ein Auftreffpunkt hat die Koordinaten $l_2 = 45$ und

$l_1 = \sqrt{300 - (45-50)^2}$ $= \sqrt{275} \approx 16,583$ .

Der Punkt lautet dann $L(16,583 \mid 45 \mid 0)$ .

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Alle möglichen Auftreffpunkte schließen eine Fläche ein, du sollst deren Inhalt bestimmen.

Die allgemeine Funktionsgleichung für einen Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $M(x_M \mid y_M)$ lautet

$y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x - x_M)^2}$

Betrachtest du die Funktionsgleichung für $l_1$ , so erkennst du, dass es sich dabei gerade um die eines Kreises mit Radius $r=\sqrt{300}$ und Mittelpunkt $M(50\mid 0)$ handelt.

Berechne den Flächeninhalt dieses Kreises:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi r^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot 300 \\[5pt] &\approx&942,478 \end{array}$

Die Fläche hat einen Inhalt von 942,478 m².

2.6 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Reißfestigkeit der Sicherungsseile ist annähernd normalverteilt. Sei also $X$ die Zufallsvariable, die die Reißfestigkeit der Sicherungsseile beschreibt. Der Erwartungswert $\mu$ liegt bei 145 kN, außerdem weist du, dass $P(X> 140) = 0,973$ ist.

Du sollst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Sicherungsseil bei einer Belastung zwischen 142 kN und 150 kN reißt.

Führe dafür eine $\boldsymbol{Z}$ -Transformation durch, dabei ist $Z$ dann eine standard-normalverteilte Zufallsvariable.

$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

Für die Transformation fehlt dir also noch die Varianz $\sigma$ . Diese kannst du mit Hilfe der gegebenen Wahrscheinlichkeit und der Tabelle zur Standard-Normalverteilung berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(X>140)&=&0,973 \\[5pt] P\left(\dfrac{X-145}{\sigma}>\dfrac{140-145}{\sigma}\right)&=&0,973\\[5pt] P\left(Z>-\dfrac{5}{\sigma}\right)&=&0,973\\[5pt] 1-P\left(Z\leq-\frac{5}{\sigma}\right)&=&0,973\\[5pt] 1-\phi\left(-\frac{5}{\sigma}\right)&=&0,973\\[5pt] 1-\left(1-\phi\left(\frac{5}{\sigma}\right)\right)&=&0,973\quad \\[5pt] \phi\left(\frac{5}{\sigma}\right)&=&0,973 \end{array}$

Suche nun in der Tabelle für die Standard-Normalverteilung nach der Wahrscheinlichkeit 0,973 um anschließend $\sigma$ zu bestimmen. Du findest

$\phi(1,93) = 0,9732$

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} 1,93&=&\frac{5}{\sigma} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sigma\\[5pt] 1,93 \sigma&=&5 \quad \scriptsize \mid\; :1,93\\[5pt] \sigma &\approx& 2,5907 \end{array}$

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit $P(142 \leq X \leq 150)$ bestimmen. Führe die $Z$ -transformation durch und nutze dann die Tabelle für die Standard-Normalverteilung um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P(142 \leq X \leq 150)&=&P(X\leq 150) - P(X \leq 142) \\[5pt] &=&P\left(\dfrac{X-145}{2,5907}\leq \dfrac{150-145}{2,5907}\right)-P\left(\dfrac{X-145}{2,5907}\leq \dfrac{142-145}{2,5907}\right)\\[5pt] &=&P\left(Z\leq \dfrac{150-145}{2,5907}\right)-P\left(Z\leq \dfrac{142-145}{2,5907}\right)\\[5pt] &=&P\left(Z\leq 1,93\right)-P\left(Z\leq -1,16\right)\\[5pt] &=&\phi(1,93)-\phi(-1,16)\\[5pt] &=&\phi(1,93)- (1-\phi(1,16))\\[5pt] &=&0,9732 - (1-0,8770)\\[5pt] &=&0,8502 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil bei einer Belastung zwischen 142 kN und 150 kN reißt beträgt 85,02%.

2.7 $\blacktriangleright$ Gesamtbesucherzahl bestimmen

Du sollst die erwartete Gesamtbesucherzahl an einem Ferientag berechnen, wenn 100 Kinder aus der näheren Umgebung in den Hochseilgarten kommen. Außerdem kennst du die folgenden Anteile

65% der Besucher kommen aus der näheren Umgebung ( $U$ ).

55% der Besucher, die nicht aus der näheren Umgebung kommen, sind Kinder ( $\overline{U}K$ ).

48,5% der Besucher sind Kinder ( $K$ ).

Aus 1. folgt, dass 35% der Besucher nicht aus der näheren Umgebung kommen. Mit diesen Informationen kannst du den Anteil der Kinder unter den Besuchern der näheren Umgebung berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P(K)&=&P(U)\cdot P(UK) + P(\overline{U})\cdot P(\overline{U}K) \\[5pt] 0,485&=&0,65 \cdot P(UK) + 0,35\cdot 0,55 \\[5pt] 0,485&=&0,65 \cdot P(UK) + 0,1925 \quad \scriptsize \mid\;-0,1925\\[5pt] 0,2925&=&0,65 \cdot P(UK)\quad \scriptsize \mid\;:0,65\\[5pt] P(UK) &=& 0,45 \end{array}$

45% der Besucher aus der näheren Umgebung sind Kinder. Dieser Anteil entspricht hier 100 Kindern. Berechne die Anzahl der Besucher aus der näheren Umgebung.

$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl }U \cdot P(UK)&=&100 \\[5pt] \text{Anzahl }U \cdot 0,45&=&100\quad \scriptsize \mid\; :0,45\\[5pt] \text{Anzahl }U &=& \dfrac{100}{0,45} = 222,\overline{2} \end{array}$

Das entspricht 65% der Gesamtbesucherzahl, diese berechnet sich somit folgendermaßen

$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl Besucher} \cdot P(U)&=&222,\overline{2} \\[5pt] \text{Anzahl Besucher} \cdot 0,65&=&222,\overline{2}\quad \scriptsize \mid\;: 0,65\\[5pt] \text{Anzahl Besucher} &=& \dfrac{222,\overline{2}}{0,65} \approx 341,88 \end{array}$

Die erwartete Besucherzahl an einem Ferientag liegt bei 342 Besuchern.