Teil B1

Gib eine Gleichung der Funktion an.
Zeige, dass der Punkt auf den Graphen der Funktionen und liegt.
Begründe, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur Ordinatenachse verläuft.
Skizziere die Graphen und in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich in einem geeigneten Koordinatensystem.

Bestimme die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena.

Unter der gesamten Grundfläche der Multifunktionsarena befindet sich als Fundament eine dicke Bodenplatte aus Beton.
Ermittle das Volumen der Bodenplatte.

Im Fundament der Grundfläche befinden sich Versorgungskanäle.
Der Verlauf eines Versorgungskanals kann durch einen Teil des Graphen einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion verläuft durch den Punkt und trifft im Punkt senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie der Grundfläche.
Bestimme eine Gleichung der Funktion .

Bestimme das Volumen des kuppelförmigen Raumes.

Jeder zur Abszissenachse senkrechte Schnitt durch die Dachfläche ergibt einen Halbkreis. Die sieben Träger der Dachfläche verlaufen entlang solcher Halbkreise.
Benachbarte Träger besitzen jeweils den gleichen Abstand.
Die Träger werden von West nach Ost mit Träger bis Träger bezeichnet.
Die Träger und besitzen jeweils eine Länge von
Ermittle die Länge des Trägers

Aus Erfahrung sind folgende zwei Aussagen bekannt: (1) der gelieferten Lichtpaneele können sofort eingebaut werden.
(2) der gelieferten Lichtpaneele, die nicht sofort eingebaut werden können, können nach einer Überarbeitung eingebaut werden. Ermittle den Anteil der gelieferten Lichtpaneele, die eingebaut werden können. Ein eingebautes Lichtpaneel wird zufällig ausgewählt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Lichtpaneel überarbeitet wurde.

Es wurden Lichtpaneele eingebaut.
Die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von Jahren und einer Standardabweichung von Monaten.
Ermittle, bei wie vielen der eingebauten Lichtpaneele mit einer Funktionsdauer von höchstens Jahren zu rechnen ist.

  Gleichung aufstellen Der Graph von entsteht durch Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse, also an der -Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies Die Gleichung der Funktion ergibt sich also wie folgt:   Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt Der Punkt liegt auf den Graphen von und , wenn er die Funktionsgleichungen erfüllt, also und ist. Die Koordinaten von erfüllen beiden Funktionsgleichungen, wodurch der Punkt auf den beiden Graphen von und liegt.   Achsensymmetrie begründen Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, wenn gilt. Da gilt, ist der Graph von achsensymmetrisch zur Ordinatenachse.   Graphen skizzieren Der maximale Definitionsbereich von und ist Für ergibt sich folgende Wertetabelle mit gerundeten Werten: Wegen der Achsensymmetrie des Graphen von entsteht der Teil des Graphen von im vierten Quadranten durch Spiegelung des Teils im ersten Quadranten an der Ordinatenachse. Der Graph von entsteht dann durch Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse.

  Größte Nord-Süd-Ausdehnung bestimmen Da dies die einzige lokale Extremstelle ist und es sich um eine Maximalstelle handelt, ist der Funktionswert von an der Stelle der größte Funktionswert von im gesamten maximalen Definitionsbereich Die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena beträgt

  Volumen der Bodenplatte ermitteln Das Volumen der Bodenplatte ergibt sich zu wobei die Höhe bzw. Dicke der Bodenplatte ist, also ist der Flächeninhalt der Grundfläche und kann als Inhalt der Fläche berechnet werden, die die Graphen von und in ihrem maximalen Definitionsbereich einschließen. Das Volumen ergibt sich dann wie folgt: Das Volumen der Bodenplatte beträgt ca.

  Funktionsgleichung bestimmen Für gelten folgende Bedingungen:

• ist eine quadratische Funktion, also ist
• Der Graph von verläuft durch den Punkt also muss gelten.
• Der Graph von verläuft durch den Punkt also muss gelten.
• Der Graph von trifft im Punkt senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie, also den Graphen von . Für die Steigung an dieser Stelle muss daher gelten

Es ist: Für die benötigten Werte von ergibt sich mit der Kettenregel für Ableitungen: Damit ergibt sich also folgendes Gleichungssystem: Es folgt: Einsetzen in liefert: Einsetzen in : Damit ergibt sich für und Eine Gleichung der Funktion lautet

  Volumen des Raumes bestimmen Da die Dachfläche durch Rotation des Graphen von um die Abszissenachse beschrieben werden kann, entspricht der Raum dem halben Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen von entsteht. Das Volumen des Raumes ergibt sich daher mit der Formel für das Rotationsvolumen wie folgt: Das Volumen des kuppelförmigen Raumen beträgt ca.

  Länge des dritten Trägers berechnen Die sieben Träger verlaufen entlang von Halbkreisen. Diese Halbkreise entstehen durch Schnitte durch die Dachfläche, die senkrecht zur Abszissenachse sind.
Diese sieben Schnitte befinden sich an sieben verschiedenen Stellen ... der Abszissenachse. Dabei haben je zwei nebeneinanderliegende Schnitte den gleichen Abstand voneinander.
Die Länge des Trägers kann über die Hälfte des Umfangs des Kreises berechnet werden, der bei der Rotation des Graphen von an der Stelle entsteht. Der Radius des jeweiligen Kreises ist der Funktionswert Aus der Länge des ersten und siebten Trägers lässt sich die Position dieser berechnen: Da die Träger im gleichen Abstand zueinander verlaufen, befinden sich die sieben Träger an den folgenden Positionen: und Die Länge des dritten Trägers ergibt sich daher zu: Träger ist ca. lang.

  Anteil ermitteln Im folgenden soll das Ereignis beschreiben, dass ein Lichtpaneel eingebaut wird, entsprechend dass es nicht eingebaut wird. beschreibt das Ereignis, dass ein Lichtpaneel sofort eingebaut wird, , dass es nicht sofort eingebaut wird. Mit den Pfadregeln ergibt sich: aller gelieferten Lichtpaneele können eingebaut werden.   Wahrscheinlichkeit bestimmen Mit dem Satz von Bayes und den Pfadregeln ergibt sich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. handelt es sich bei einem zufällig ausgewählten eingebauten Lichtpaneel um ein überarbeitetes.

  Erwartete Anzahl der Lichtpaneele ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße welche die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Erwartungswert Jahre und Monate Jahre. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Tabelle im Material: Mit einer Wahrscheinlichkeit von besitzt ein zufällig ausgewähltes eingebautes Lichtpaneel eine Lebensdauer von höchstens Jahren. Von den eingebauten Lichtpaneelen haben also erwartungsgemäß Lichtpaneele eine Lebensdauer von höchstens Jahren.

  Gleichung aufstellen Der Graph von entsteht durch Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse, also an der -Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies Die Gleichung der Funktion ergibt sich also wie folgt:   Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt Der Punkt liegt auf den Graphen von und , wenn er die Funktionsgleichungen erfüllt, also und ist. Die Koordinaten von erfüllen beiden Funktionsgleichungen, wodurch der Punkt auf den beiden Graphen von und liegt.   Achsensymmetrie begründen Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, wenn gilt. Da gilt, ist der Graph von achsensymmetrisch zur Ordinatenachse.   Graphen skizzieren Der maximale Definitionsbereich von und ist Für ergibt sich folgende Wertetabelle mit gerundeten Werten: Wegen der Achsensymmetrie des Graphen von entsteht der Teil des Graphen von im vierten Quadranten durch Spiegelung des Teils im ersten Quadranten an der Ordinatenachse. Der Graph von entsteht dann durch Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse.

  Größte Nord-Süd-Ausdehnung bestimmen Da die Ordinatenachse nach Norden zeigt und der Graph durch Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse entsteht, ergibt sich die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche, über den doppelten Betrag des maximalen Funktionswertes von . Da dies die einzige lokale Extremstelle ist und es sich um eine Maximalstelle handelt, ist der Funktionswert von an der Stelle der größte Funktionswert von im gesamten maximalen Definitionsbereich Die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena beträgt

  Volumen der Bodenplatte ermitteln Das Volumen der Bodenplatte ergibt sich zu wobei die Höhe bzw. Dicke der Bodenplatte ist, also ist der Flächeninhalt der Grundfläche und kann als Inhalt der Fläche berechnet werden, die die Graphen von und in ihrem maximalen Definitionsbereich einschließen. Da der Graph von gerade die Spiegelung des Graphen von an der Abszissenachse ist, folgt mit dem Graph-Menü des GTRs: Das Volumen ergibt sich dann wie folgt: Das Volumen der Bodenplatte beträgt ca.

  Funktionsgleichung bestimmen Für gelten folgende Bedingungen:

• ist eine quadratische Funktion, also ist
• Der Graph von verläuft durch den Punkt also muss gelten.
• Der Graph von verläuft durch den Punkt also muss gelten.
• Der Graph von trifft im Punkt senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie, also den Graphen von . Für die Steigung an dieser Stelle muss daher gelten

Es ist: Für die benötigten Werte von ergibt sich mit der Kettenregel für Ableitungen: Damit ergibt sich also folgendes Gleichungssystem: Es folgt: Einsetzen in liefert: Einsetzen in : Damit ergibt sich für und Eine Gleichung der Funktion lautet

  Volumen des Raumes bestimmen Da die Dachfläche durch Rotation des Graphen von um die Abszissenachse beschrieben werden kann, entspricht der Raum dem halben Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen von entsteht. Das Volumen des Raumes ergibt sich daher mit der Formel für das Rotationsvolumen wie folgt: Das Volumen des kuppelförmigen Raumen beträgt ca.

  Länge des dritten Trägers berechnen Die sieben Träger verlaufen entlang von Halbkreisen. Diese Halbkreise entstehen durch Schnitte durch die Dachfläche, die senkrecht zur Abszissenachse sind.
Diese sieben Schnitte befinden sich an sieben verschiedenen Stellen ... der Abszissenachse. Dabei haben je zwei nebeneinanderliegende Schnitte den gleichen Abstand voneinander.
Die Länge des Trägers kann über die Hälfte des Umfangs des Kreises berechnet werden, der bei der Rotation des Graphen von an der Stelle entsteht. Der Radius des jeweiligen Kreises ist der Funktionswert Aus der Länge des ersten und siebten Trägers lässt sich die Position dieser berechnen: Da die Träger im gleichen Abstand zueinander verlaufen, befinden sich die sieben Träger an den folgenden Positionen: und Die Länge des dritten Trägers ergibt sich daher zu: Träger ist ca. lang.

  Anteil ermitteln Im folgenden soll das Ereignis beschreiben, dass ein Lichtpaneel eingebaut wird, entsprechend dass es nicht eingebaut wird. beschreibt das Ereignis, dass ein Lichtpaneel sofort eingebaut wird, , dass es nicht sofort eingebaut wird. Mit den Pfadregeln ergibt sich: aller gelieferten Lichtpaneele können eingebaut werden.   Wahrscheinlichkeit bestimmen Mit dem Satz von Bayes und den Pfadregeln ergibt sich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. handelt es sich bei einem zufällig ausgewählten eingebauten Lichtpaneel um ein überarbeitetes.

  Erwartete Anzahl der Lichtpaneele ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße welche die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Erwartungswert Jahre und Monate Jahre. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Tabelle im Material: Mit einer Wahrscheinlichkeit von besitzt ein zufällig ausgewähltes eingebautes Lichtpaneel eine Lebensdauer von höchstens Jahren. Von den eingebauten Lichtpaneelen haben also erwartungsgemäß Lichtpaneele eine Lebensdauer von höchstens Jahren.