Teil B1

Eine Spielzeugfabrik stellt Puppenwagen her. Die beiden zueinander kongruenten Seitenteile eines solchen Puppenwagens bestehen aus Holzplatten.

Die Außenfläche eines dieser Seitenteile kann in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung $O$ (1 Längeneinheit entspricht 1 Dezimeter) dargestellt werden (siehe Abbildung 1).

Diagramm einer Funktion mit beschatteter Fläche zwischen zwei Kurven im Koordinatensystem.

Abbildung 1 (nicht maßstäblich)

Die obere Begrenzungslinie der Außenfläche zwischen den Punkten $O$ und $A\left(x_A\mid 0\right)$ kann durch den Graphen der Funktion $f$ und die untere Begrenzungslinie zwischen den Punkten $O$ und $A\left(x_A\mid 0\right)$ durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben werden.

Die Funktionen $f$ und $g$ sind durch die Gleichungen

$f(x)=-0,106\cdot x^4+1,082\cdot x^3-3,602\cdot x^2 + 4,039\cdot x$ $\left(x\in\mathbb{R},\;0\leq x\leq x_A\right)$ und

$g(x)=0,135\cdot x^4-1,269\cdot x^3+3,962\cdot x^2-4,618\cdot x$ $\left(x\in\mathbb{R},\;0\leq x\leq x_A\right)$ gegeben.

1.1

Begründe, dass die Strecke $\overline{OA}$ näherungsweise die Länge $4,71\,\text{dm}$ besitzt.
Jedes Seitenteil des Puppenwagens wird aus einer rechteckigen Holzplatte ausgesägt.
Die Strecke $\overline{OA}$ verläuft dabei parallel zu zwei gegenüberliegenden Seiten dieser Rechteckfläche.

Ermittle Mindestlänge und Mindestbreite der rechteckigen Holzplatte.

(7 P)

1.2

Jedes $0,5\,\text{cm}$ dicke Seitenteil des Puppenwagens soll vollständig (Außenfläche, Innenfläche und Randfläche) mit einem für Kleinkinder gefahrlosen Speziallack überzogen werden.

Ermittle den Inhalt der zu lackierenden Fläche eines Seitenteils des Puppenwagens.

(12 P)

1.3

Jedes Seitenteil soll auf der Außenfläche mit einem Zierstreifen beklebt werden. Die parallelen Begrenzungen des Zierstreifens sollen dabei vollständig auf der Außenfläche des Seitenteils zu sehen und unter einem Winkel von $\alpha=15^{\circ}$ gegenüber der Abszissenachse geneigt sein (siehe Abbildung 2).

Bestimme die maximal mögliche Breite des Zierstreifens.

Grafische Darstellung eines mathematischen Konzepts mit Achsen und einem Zierstreifen.

Abbildung 2 (nicht maßstäblich)

(10 P)

1.4

Für die Befestigung des Haltegriffs am Puppenwagen wird eine Metallstrebe verwendet. Zwischen den Punkten $A$ und $B\left(5,25\mid y_B\right)$ kann die Metallstrebe durch einen Teil des Graphen einer linearen Funktion $h$ beschrieben werden. Im Punkt $A$ geht der Graph der Funktion $h$ tangential in den Graphen der Funktion $g$ über.

Bestimme die Länge der Metallstrebe zwischen den Punkten $A$ und $B$ .

(7 P)

Puppenwagen aus der laufenden Produktion können Oberflächen- oder Farbgestaltungsfehler besitzen.
Erfahrungsgemäß werden bei $3,0\,\%$ aller produzierten Puppenwagen Oberflächenfehler festgestellt. Bei $1,0\,\%$ aller produzierten Puppenwagen werden erfahrungsgemäß Farbgestaltungsfehler und keine Oberflächenfehler festgestellt. Oberflächen- und Farbgestaltungsfehler treten bei einem produzierten Puppenwagen erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit $2,5\,\%$ auf.

1.5

Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein der Produktion zufällig entnommener Puppenwagen keinen der beiden Fehler aufweist.

(4 P)

1.6

Nach einer Veränderung des Produktionsablaufes wird von Seiten der Spielzeugfabrik behauptet, dass von den produzierten Puppenwagen statt bisher $4\,\%$ nun weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit $100$ der Produktion zufällig entnommenen Puppenwagen soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Puppenwagen beträgt mindestens $4\,\%.$ “ auf ein Signifikanzniveau von $15\,\%$ überprüft werden.

Bestimme den Ablehnungsbereich der Nullhypothese für den beschriebenen Test.

(5 P)

Aufgabe B 1

1.1 $\blacktriangleright$ Länge der Strecke bestimmen

In der ersten Aufgabe sind zwei Funktion $f$ und $g$ gegeben, diese begrenzen die Fläche der Seitenteile eines Puppenwagens. Du sollst zeigen, dass die Strecke $\overline{OA}$ ungefähr 4,71 dm lang ist. Der Punkt $O$ ist der Koordinatenursprung und $A$ ist der Punkt, in dem $f$ und $g$ die $x$ -Achse schneiden.

Die Länge der Strecke ist somit gerade die $x$ -Koordinate des Punkts $A$ . Du musst also eine der folgenden Gleichungen lösen

$f(x) = 0$ oder $g(x)=0$

Definiere dir die Funktion in deinem GTR und berechne die Nullstellen.

2nd TRACE (CALC) 2: zero

Graphen von Funktionen auf einem Taschenrechner, links und rechts, mit unterschiedlichen Nullstellen angezeigt.

Die Strecke $\overline{OA}$ hat somit eine Länge von ungefähr 4,71 dm.

$\blacktriangleright$ Mindestlänge und -breite berechnen

Das Seitenteil wird aus einer rechteckigen Holzplatte ausgesägt. Du sollst nun die Mindestlänge und -breite für diese Holzplatte berechnen.

Die Mindestlänge hast du bereits berechnet, da diese der Länge der Strecke $\overline{OA}$ entspricht.

Die Mindestbreite setzt sich aus dem maximalen Abstand der Funktion $f$ zur $x$ -Achse und dem maximalen Abstand der Funktion $g$ zur $x$ -Achse zusammen. Berechne also von der Funktion $f$ den maximalen Funktionswert in $0 \leq x \leq 4,71$ und für $g$ den minimalen Funktionswert in $0 \leq x \leq 4,71$ . Dafür kannst du deinen GTR verwenden.

2nd TRACE (CALC) 3: minimum/4: maximum

Zwei Diagramme zeigen Funktionen mit Maximum und Minimum. Links ist das Maximum, rechts das Minimum abgebildet.

Der maximale Abstand der Funktion $f$ zur $x$ -Achse beträgt

$f(0,850171) = 1,43986$ .

Der maximale Abstand der Funktion $g$ zur $x$ - Achse beträgt

$\left|g(3,73219)\right| =\left| -1,82535\right| = 1,82535$ .

Für die Mindestbreite gilt somit:

$b = 1,43986 + 1,82535 = 3,26521$

Die Mindestbreite beträgt ungefähr 3,27 dm und die Mindestlänge beträgt ungefähr 4,71 dm.

1.2 $\blacktriangleright$ Inhalt der zu lackierenden Fläche berechnen

Die Seitenfläche soll komplett lackiert werden. Du sollst die zu lackierende Fläche berechnen. Berechne zunächst den Inhalt der Innenseite bzw. Außenseite und dann den Inhalt der Randfläche.

1. Schritt: Flächeninhalt der Innenseite bzw. Außenseite berechnen

Die Fläche der Innenseite bzw. Außenseite wird durch die Funktionen $f$ und $g$ begrenzt. Du kannst die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen mit Hilfe ihrer Differenzenfunktion im Bereich $0 \leq x \leq 4,71$ berechnen:

$A_1 = \left|\displaystyle\int_{0}^{4,71}f(x)-g(x)\;\mathrm dx\right|$

Dafür kannst du deinen GTR verwenden.

2nd TRACE (CALC) 7:

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Integralberechnung.

Du erhältst für den Inhalt einer Seitenfläche also $A_1 \approx 10,1$ dm².

2. Schritt: Randfläche berechnen

Um den Inhalt der Randfläche berechnen zu können, benötigst du zunächst den Umfang der Seitenfläche. Dieser Umfang setzt sich aus der Länge der Kurve $f$ und der Länge der Kurve $g$ zusammen. Die Länge einer Kurve $f$ im Intervall $[a,b]$ wird mit folgender Formel berechnet:

$L(f) = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f‘(x)\right)^2}\;\mathrm dx$

Zeichne den Graphen zu der Wurzelfunktion und berechne das Integral für die Länge der Kurve jeweils für $f$ und $g$ .

MATH 8: nDeriv

2nd TRACE (CALC) 7:

Grafische Darstellung einer Integralberechnung auf einem Taschenrechner.

Grafik einer mathematischen Funktion mit Integralberechnung und Ergebnissen auf einem Taschenrechner-Display.

Die Kurvenlängen betragen

$L(f) \approx 6,3384$ dm

$L(g) \approx 7,2932$ dm

Die Seitenfläche hat also einen Umfang von

$U = L(f) + L(g) \approx 6,3384 \text{ dm } + 7,2932\text{ dm } = 13,6316 \text{ dm }$

Die Randfläche ist dann ein Rechteck mit Länge $13,6316$ dm und Breite $0,5$ cm $= 0,05$ dm. Nun kannst du den Inhalt $A_2$ dieser Fläche berechnen.

$A_2 = 0,05 \text{ dm } \cdot U = 0,05 \text{ dm }\cdot 13,6316 \text{ dm } \approx 0,68158 \text{ dm}^2$

Der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich dann wie folgt

$A = 2 \cdot A_1 + A_2 = 2 \cdot 10,1\text{ dm}^2 + 0,68158 \text{ dm}^2 \approx 20,9 \text{ dm}^2$

Die zu lackierende Fläche ist ungefähr $20,9$ dm² groß.

1.3 $\blacktriangleright$ Maximale Breite des Zierstreifens

Du sollst die maximale Breite des Zierstreifens auf der Seitenfläche berechnen. Dieser Zierstreifen wird begrenzt von zwei Geraden mit einem Schnittwinkel mit der $x$ -Achse von $\alpha=15^{\circ}$ . Die gesuchte Breite ist also der Abstand zwischen diesen beiden Geraden. Stelle also die Funktionsgleichungen der beiden Geraden auf und berechne anschließend den Abstand dieser Geraden.

1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen

Für den Steigungswinkel $\beta$ und die Steigung $m$ einer Funktion gilt folgender Zusammenhang

$\tan(\beta) = m$

Ist die Steigung positiv, so ist der Schnittwinkel mit der $x$ -Achse gleich dem Steigungswinkel. Ist die Steigung jedoch negativ gilt

Steigungswinkel = $180^{\circ}$ - Schnittwinkel

Der Steigungswinkel der beiden Geraden ist also $\beta = 180^{\circ}-\alpha = 165^{\circ}$ . Berechne die Steigung der beiden Geraden mit der oben angegebenen Formel.

$m = \tan(\alpha) \approx -0,27$

Die Geraden haben dann folgende Form: $g_1(x)=-0,27x +b_1$ und $g_2(x)=-0,27x +b_2$ .

Bestimme nun $b_1$ so, dass die Gerade $g_1$ den Graphen von $f$ von unten berührt und $b_2$ so, dass die Gerade $g_2$ den Graphen von $g$ von oben berührt.

Zwei Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt, wenn sie dort dieselbe Steigung besitzen. Bestimme also zunächst die Stelle, an der die Funktion $f$ bzw. $g$ eine Steigung von -0,27 hat, beachte dabei, dass die Stelle gesucht ist, sodass die Gerade innerhalb der Fläche verläuft. Für $f$ muss gelten, dass die Gerade den Graphen von unten berührt, das bedeutet, dass der Graph der Funktion vorher eine größere negative Steigung hat als nach der Stelle mit Steigung -0,27. Für den Graphen von $g$ gilt das Umgekehrte. Der Graph hat vorher eine kleinere negative Steigung als nach der Stelle mit Steigung -0,27.

Zeichne die Ableitung der Funktionen und die Gerade $y=-0,27$ , berechne dann den Schnittpunkt. Dafür kannst du deinen GTR verwenden.

2nd TRACE (CALC) 5: intersect

Grafische Darstellung von Funktionen mit Schnittpunkten auf einem Taschenrechner-Display.

Du erhältst für $x_1 \approx 2,5357$ der zugehörige Funktionswert ist $f(x_1) \approx 0,3403$ . Der Berührpunkt von $g_1$ und dem Graphen von $f$ ist also $B_1(2,5357\mid0,3403)$ . Setze diese Werte in die Geradengleichung zu $g_1$ ein und berechne $b_1$ :

$\begin{array}[t]{rll} 0,3403&=&-0,27 \cdot 2,5357 + b_1\\[5pt] 0,3403&=&-0,684639 + b_1\quad \scriptsize \mid\;+0,684639 \\[5pt] b_1 &\approx&1,02 \end{array}$

Die Geradengleichung für $g_1$ lautet also $g_1: y = -0,27x+1,02$ .

Außerdem erhältst du für $x_2 \approx 2,6110$ der zugehörige Funktionswert ist $g(x_2) \approx -1,3614$ . Der Berührpunkt von $g_2$ und dem Graphen von $g$ ist also $B_2(2,6110\mid -1,3614)$ . Setze diese Werte in die Geradengleichung zu $g_2$ ein und berechne $b_2$ :

$\begin{array}[t]{rll} -1,3614&=&-0,27 \cdot 2,6110 + b_2\\[5pt] -1,3614&=&-0,70497 + b_2\quad \scriptsize \mid\;+0,70497 \\[5pt] b_2 &\approx&-0,66 \end{array}$

Die Geradengleichung lautet demnach $g_2: y = -0,27x - 0,66$ .

2. Schritt: Abstand zwischen den Geraden

Der Abstand zwischen den Geraden entspricht dem Abstand zwischen dem Berührpunkt $B_1$ und der Gerade $g_2$ . Um diesen zu berechnen, stelle eine Lotgerade $n_1$ durch den Punkt $B_1$ auf, welche orthogonal zu der Geraden $g_2$ verläuft. Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn für die Steigungen folgendes gilt:

$m_1=-\dfrac{1}{m_2}$

Daher ist die Stiegung der Lotgeraden gegeben durch $n = \frac{1}{0,27}$ . Berechne nun noch die $y$ -Achsenverschiebung $b$ wie oben durch Punktprobe mit $B_1$ :

$\begin{array}[t]{rll} n_1: y&=& \frac{1}{0,27}x+ b &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,3403&=&\frac{1}{0,27}\cdot2,5357+b &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{1}{0,27}\cdot2,5357 \\[5pt] -9,05118&=& b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Geradengleichung der Lotgerade lautet dann $n_1: y = \frac{1}{0,27}x-9,05118$ .
Berechne nun den Lotfußpunkt, also den Schnittpunkt von $n_1$ und $g_2$ . Der Abstand zwischen dem Lotfußpunkt $L$ und $B_1$ ist dann der gesuchte Abstand.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{0,27}x-9,05118&=& -0,27x - 0,66&\quad \scriptsize \mid\; +0,27x; +9,05118 \\[5pt] \frac{1}{0,27}x+0,27x &=& 9,05118-0,66 &\quad \scriptsize \mid\; :(\frac{1}{0,27} + 0,27) \\[5pt] x&=& 2,11168&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die $y$ -Koordinate ist dann $g_2(2,11168) = -1,23015$ . Damit sind die Koordinaten des Lotfußpunktes $L(2,11168\mid -1,23015)$ . Gesucht ist nun der Abstand zwischen $L$ und $B_1$ . Den Abstand zwischen zwei Punkten kannst du mit folgender Formel berechnen:

$d(P_1,P_2)= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Damit ergibt sich nun:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \sqrt{(2,11168-2,5357)^2+(-1,23015-0,3403)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 1,63&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Zierstreifen darf maximal $1,63\,$ dm breit sein.

1.4 $\blacktriangleright$ Länge der Metallstrebe berechnen

Um die Länge der Metallstrebe zu berechnen, stellst du zuerst die Gleichung der Geraden $h$ auf und berechnest dann den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$ .

1. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Die Gerade $h=mx+b$ geht tangential in die Funktion $g$ über, das bedeutet, dass diese im Punkt $A$ die gleiche Steigung haben.

$m = g‘(4,71) \approx 4,672$

Außerdem verläuft die Gerade durch den Punkt $A(4,71 \mid 0)$ . Damit kannst du die Geradengleichung aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} h(4,71)&=&0\\[5pt] 0&=&4,672 \cdot 4,71 + b\\[5pt] 0&=&22,00512 + b\quad \scriptsize \mid\; -22,00512\\[5pt] b&=&-22,00512 \end{array}$

Die Geradengleichung von $h$ lautet: $h(x) = 4,672 x -22,00512$

2. Schritt: Länge berechnen

Um die Länge der Metallstrebe berechnen zu können, bestimme zunächst die $y$ -Koordinate von Punkt $B$ .

$y_B = h(5,25) \approx 2,52$

Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A(x_A \mid y_A)$ und $B(x_B \mid y_B)$ berechnest du mit folgender Formel

$d = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

Die gesuchte Länge berechnet sich folgendermaßen

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \sqrt{(5,25-4,71)^2 + (2,52-0)^2} \\[5pt] &\approx&2,58 \end{array}$

Die Länge der Metallstrebe beträgt ungefähr $2,58\,$ dm.

1.5 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „ein zufällig entnommener Puppenwagen hat keinen der beiden Fehler“ berechnen. Das Gegenereignis zu E lautet dann „ein zufällig entnommener Puppenwagen hat mindestens einen Fehler“.

Du hast folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:

$P(\text{Oberflächenfehler}) = 0,03$
$P(\text{nur Farbgestaltungsfehler}) = 0,01$
$P(\text{beide Fehler}) = 0,025$

Da 2,5% beide Fehler haben und bei 3% ein Oberflächenfehler auftritt, gilt außerdem

$P(\text{nur Oberflächenfehler}) = 0,005$

Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ausrechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{E})&=&P(\text{nur Farbgestaltungsfehler}) + P(\text{nur Oberflächenfehler}) + P(\text{beide Fehler}) \\[5pt] &=&0,01 + 0,005 + 0,025\\[5pt] &=&0,04 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt dann

$P(E) = 1- P(\overline{E}) = 1-0,04 = 0,96$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% hat ein zufällig ausgewählter Puppenwagen keinen der beiden Fehler.

1.6 $\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich bestimmen

Du sollst den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Puppenwagen beträgt mindestens 4%“ auf einem Niveau von $\alpha=0,15$ bestimmen.

$H_0: \quad P(\text{fehlerhaft}) \geq 0,04$

Ein Puppenwagen ist fehlerhaft, wenn er mindestens einen der beiden Fehler aufweist. Sei die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der fehlerhaften Puppenwagen aus $M = \{0; 1; \ldots; 100\}$ .

Die Zufallsvariable $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Puppenwagen entweder fehlerhaft ist oder nicht. Es gibt also nur zwei mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments. Außerdem sind die Puppenwagen unabhängig, ein Erfolg steht hier für einen fehlerhaften Puppenwagen. Die Zufallsvariable $X$ ist also binomialverteilt mit $B_{100;0,04}$ .

Für den Ablehnungsbereich gilt demnacht: $\overline{A} = \{0;1; \ldots; k\}$ .

Die Wahrscheinlichkeit für weniger als $k$ fehlerhafte Puppenwagen soll weniger als 15% betragen.

$P(X \leq k)\leq 0,15$

Du kannst $k$ durch systematisches Probieren bestimmen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Werte von $k$ , das gesuchte $k$ , ist das, für welches die Wahrscheinlichkeit gerade noch unterhalb von 0,15 liegt.

2nd VARS (DISTR) A: binomcdf

Bildschirmansicht einer Berechnung mit dem Befehl

Du erhältst somit: $P(X \leq 1) \approx 0,087$ .

Der größtmögliche Ablehnungsbereich ist $\overline{A}=\{0;1\}$ .