Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig.

Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Für welchen reellen Wert $a$ hat die Funktion $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=2 \cdot \sin (a \cdot x)+3 \; (x \in \mathbb{R})$ an der Stelle $x=0$ den Anstieg 1?

	$a=-1$
	$a=\dfrac{1}{2}$
	$a=\dfrac{\pi}{2}$
	$a=3$
	$a=\pi$

1.2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=x^{4}+x^{2}+1.$ Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h^{\prime}$ .

Der Wert von $\int_{0}^{1} h^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ist:

	$3$
	$2$
	$1$
	$-1$
	$-2$

1.3

Für welche Funktion $f$ mit größtmöglichem Definitionsbereich gilt $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ?

	$f(x)=\mathrm e^x$
	$f(x)=\sin(x)$
	$f(x)=\dfrac{1}{x}$
	$f(x)=\sqrt{x}$
	$f(x)=\ln(x)$

1.4

Für die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \quad(t \in \mathbb{R})$ gilt:

	$g$ verläuft senkrecht zur $y$ -Achse
	$g$ verläuft parallel zur $y$ -Achse
	$g$ schneidet die $x$ -Achse
	$g$ verläuft senkrecht zur $z$ -Achse
	$g$ verläuft parallel zur $z$ -Achse

1.5

Für welchen positiven Wert $r$ besitzt der zum Punkt $A(r\mid -4\mid 2)$ gehörende Ortsvektor die Länge 6?

	$r=3$
	$r=4$
	$r=16$
	$r=18$
	$r=36$

(5 BE)

Wird der Punkt $P(1\mid 2\mid 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7\mid 2\mid 11)$ .

2.1

Bestimme eine Gleichung von $E$ in parameterfreier Form.

(3 BE)

2.2

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ ; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ .

Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ .

Bestimme die Koordinaten von $R$ .

(2 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(-5\mid 5\mid -3)$ und $B(-1 \mid 1\mid -1)$ . Gib die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{A B}$ an.

Bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechte von $\overline{A B}$ , die parallel zur $xz$ -Ebene verläuft.

(5 BE)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{F}$ von $F$ .

4.1

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x) d x$ .

(2 BE)

4.2

Bestimme den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1 .$

Veranschauliche dein Vorgehen in der Abbildung.

(3 BE)

funktionswert, tangente, abbildung, stammfunktion, ableitung

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{k}$ mit $f_{k}(x)=k \cdot \mathrm e ^{-x}+3 \quad(k \in \mathbb{R}, k \neq 0) .$

5.1

Zeige, dass $f_{k}^{\prime}(0)=-k$ gilt.

(1 BE)

5.2

Bestimme diejenigen Werte von $k$ , für die die Tangente im Punkt $\left(0 \mid f_{k}(0)\right)$ an den Graphen von $f_{k}$ eine positive Steigung hat und ihre Schnittstelle mit der $x$ -Achse größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

(4 BE)

Ermittle eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$ , die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

I $\; \;$ Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y=\frac{1}{4} \cdot x+1$ im Punkt $(0 \mid 1)$ unter einem rechten Winkel.

II $\; \;$ Die $x$ - und die $y$ -Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

(5 BE)

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1.1

Ableitung bilden:

$\(f_a$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Die Funktion $f_a$ hat für $a=\dfrac{1}{2}$ an der Stelle $x=0$ die Steigung $1.$

1.2

Rechenweg anzeigen

$\( \displaystyle\int_{0}^{1}h$

1.3

Die dritte Antwortmöglichkeit ist richtig.

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}=0$

1.4

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

Die $z$ -Koordinate jedes Punktes, der auf der Geraden liegt, entspricht der Zahl 7. Somit verläuft die Gerade parallel zur $xy$ -Ebene und ist somit senkrecht zur $z$ -Achse.

1.5

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{OA}|&=& 6& \\[5pt] \sqrt{r^2+(-4)^2+2^2}&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] r^2+20&=& 36&\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] r^2&=& 16&\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] r&=&4 \end{array}$

Für $r=4$ beträgt die Länge des Ortvektors $6.$

Somit ist Antwortmöglichkeit 2 richtig.

2.1

1. Schritt: Einen Normalenvektor von $E$ bestimmen

Ein Normalenvektor von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow{PQ}:$

$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{7\\2\\11}-\pmatrix{1\\2\\3}=\pmatrix{6\\0\\8}$

2. Schritt: Punkt aus $E$ ermitteln

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$ liegt in der Ebene $E.$ Die Koordinaten von $M$ ergeben sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\3}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7} \end{array}$

$M(4 \mid 2 \mid 7)$

3. Schritt: $M$ in $E$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} E: 6\cdot x_1+8\cdot x_3&=&c & \\[5pt] 6\cdot 4+8\cdot 7&=&c & \\[5pt] 80&=&c \end{array}$

Eine parameterfreie Gleichung für $E$ ist somit gegeben durch:

$E: 6x_1+8x_3=80$

2.2

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7}-\pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\2\\-1} \end{array}$

Die Koordinaten von $R$ sind gegeben durch $(-2 \mid 2 \mid -1).$

1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunktes bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{-5\\5\\-3}+\pmatrix{-1\\1\\-1}\right) \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\3\\-2} \end{array}$

$M(-3 \mid 3 \mid -2)$

2. Schritt: Richtungsvektor bestimmen

Damit der Richtungsvektor $\overrightarrow{r} = \pmatrix{x\\ y \\ z}$ parallel zur $xz$ -Ebene ist, muss $y=0$ gelten. Außerdem muss er senkrecht zu $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4\\ -4\\ 2}$ sein:

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{AB}&=& 0 \\[5pt] 4x -4\cdot 0 + 2z &=& 0 \\[5pt] 4x + 2z &=& 0 \end{array}$

Werte, die diese Gleichung erfüllen, sind beispielsweise $x=1$ und $z=-2.$

3. Schritt: Geradengleichung für die Mittelsenkrechte aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} s: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OM}+ t\cdot \overrightarrow{r} & \\[5pt] \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{-3\\3\\-2} + t\cdot \pmatrix{1\\0\\-2} \end{array}$

4.1

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=&\left[F(x)\right]_1^7 & \\[5pt] &=&F(7)-F(1) & \\[5pt] &=& 5-1 & \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

4.2

$\(f(1)=F$

Bestimmung von $\(F$ durch das Einzeichnen der Tangente am Punkt $(1\mid1)$ :

Durch das Ablesen der Tangentensteigung ergibt sich: $\(f(1)=F$

5.1

Ableitung bilden:

$\(f_k$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

5.2

$f_k(x)= k\cdot \mathrm e^{-x} +3$

$\(f_k$

Für die Tangentengleichung gilt: $t(x)= m\cdot x+ b$

$b= f_k(0)$ $=k\cdot \mathrm e^0 +3$ $= k+3$

$\(m= f_k$ $= -k\cdot \mathrm e^0$ $=-k$

Daraus folgt: $t(x)= -k \cdot x+ k+3$

Schnittstelle mit der $x$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& 0 \\[5pt] -k \cdot x+ k+3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -k \cdot x+ k &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;-k \\[5pt] -k \cdot x &=& -3-k \\[5pt] k \cdot x &=& 3+k&\quad \scriptsize \mid\;:k \\[5pt] x&=& \dfrac{ 3+k }{k} \end{array}$

Da $x \gt \dfrac{1}{2}$ gelten soll und die Steigung positiv sein soll, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{ 3+k }{k}& \lt & \dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] 3+k & \lt & \dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -k \\[5pt] 3 & \lt & \dfrac{k}{2}-k &\quad \scriptsize \\[5pt] 3 & \lt & -\dfrac{k}{2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-2) \\[5pt] -6 & \gt & k \end{array}$

Gleichung einer quadratischen Funktion:

$g(x)=ax^2+bx+c$

Aus dem Schnittpunkt mit der Gerade $y$ folgt, dass die Gerade ebenfalls durch den Punkt $(0\mid 1)$ verläuft.

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 1& \\[5pt] a\cdot 0^2+b\cdot 0+c&=& 1& \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Der Schnittwinkel von $90^{\circ}$ weist auf Orthogonalität hin. Für $(0\mid 1)$ gilt also:

$\(g$

Eingesetzt in $\(g$ ergibt sich so:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Extrempunkt bestimmen:

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Da bereits vorausgesetzt ist, dass ein Extrempunkt existiert, ist das Prüfen der hinreichenden Bedingung hier nicht mehr nötig.

$\begin{array}[t]{rll} g\left(\dfrac{2}{a}\right)&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{2}{a}\right)+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{8}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] -\dfrac{4}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -4+a&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] a&=& 6 & \\[5pt] \end{array}$

Somit folgt: $g(x)=6x^2-4x+1$

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