Teil B2

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland.

Das Saarpolygon kann in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung $O$ modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{A B}, \overline{B C}$ und $\overline{C D}$ mit $A(11|11| 0), B(-11|11| 28), C(11|-11| 28)$ und $D(-11|-11| 0)$ besteht (vgl. Abbildung 2).

$A, B, C$ und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Abbildung 1

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon

Abbildung 2 (nicht maßstäblich)

2.1

Begründe, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $z$ -Achse liegen.

Gib die Lagebeziehung der Geraden an, auf denen die Strecken $\overline{A B}$ und $\overline{C D}$ liegen.

(3 BE)

2.2

Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

(3 BE)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A, B$ und $C$ , die Ebene $F$ die Punkte $B, C$ und $D$ .

2.3

Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ , unter dem $E$ die $x-y-$ Ebene schneidet.

Gib einen Term an, mit dem aus $\alpha$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann.

(7 BE)

2.4

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper.

Bestimme das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen.

(4 BE)

2.5

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet.

Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar (nicht maßstäblich).

Abbildung 3

Abbildung 4

Gib zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.

Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(4 BE)

2.6

Der Punkt $P(0|0| h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ und $\overline{C D}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$ :

Gleichungssystem anzeigen

Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

(4 BE)

Die Punkte $A, G_{k}(-11|11| k)$ und $H_{k}(11|-11| k)$ mit $k \in \mathbb{R}$ und $k>0$ liegen in der Ebene $\varepsilon_{k}$ , welche mit den Koordinatenebenen eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $O$ begrenzt.

2.7

Untersuche rechnerisch, ob die Vektoren $\overrightarrow{A G_{k}}, \overrightarrow{D H_{k}}$ und ein Richtungsvektor der $z$ -Achse linear abhängig sind.

(4 BE)

2.8

Zeige, dass der Normalenvektor von $\varepsilon_{k}$ parallel zu $\left(\begin{array}{r}k \\ k \\ 22\end{array}\right)$ ist.

Es gibt einen Wert $k$ , für den die Grundfläche der Pyramide ein gleichseitiges Dreieck ist.

Bestimme diesen Wert $k$ .

(7 BE)

2.9

Die Funktion $f$ ordnet jedem $k$ den Abstand der Spitze $O$ von der Grundfläche der Pyramide zu.

Bestimme eine Gleichung von $f$ .

(4 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

2.1

Sowohl die $x$ -Koordinaten als auch die $y$ -Koordinaten von $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen, die $z$ -Koordinaten stimmen überein. Somit sind die beiden Punkte symmetrisch zur $z$ -Achse.

Die Geraden, auf denen die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ liegen, sind windschief zueinander.

2.2

Länge der Strecke $\overline{AB}:$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{-11\\11\\28}-\pmatrix{11\\11\\0}=\pmatrix{-22\\0\\28}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,[\text{m}] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{BC}:$

$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{11\\-11\\28}-\pmatrix{-11\\11\\28}=\pmatrix{22\\-22\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=& \sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}&\\[5pt] &\approx& 31,1 \,[\text{m}] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}:$

$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-11\\-11\\0}-\pmatrix{11\\-11\\28}=\pmatrix{-22\\0\\-28}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+(-28)^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,[\text{m}] \end{array}$

Die Gesamtlänge des Streckenzugs beträgt somit $35,6\,\text{m}+31,1\,\text{m}+35,6\,\text{m}=102,3 \,\text{m}.$

2.3

Ebenengleichung von $E$ aufstellen

Ebenengleichung anzeigen

Normalenvektor bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n_E}= 4 \cdot \pmatrix{14\\14\\14}$

Winkel $\alpha$ berechnen

Ein Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}.$

Für den Schnittwinkel folgt:

$\cos (\varphi)=\frac{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11}\circ\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11} \cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}=\frac{11}{\sqrt{513}}$ und damit $\varphi = \cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{513}}\right) \approx 60,94^{\circ}.$

Term angeben

Der Winkel $\beta$ zwischen den Ebenen $E$ und $F$ lässt sich mit folgendem Term berechnen:

$\beta=180^{\circ}-2\cdot \alpha$

2.4

Verhältnis der Volumina:

Die Seitenfläche des Quaders, die $A$ und $C$ enthält, wird als Grundfläche und deren Flächeninhalt mit $G$ bezeichnet. Die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders wird mit $h$ bezeichnet. Folglich hat der der pyramidenförmigen Teilkörper eine Grundfläche von $\frac{G}{2}$ und eine Höhe von $h$ .

Somit hat er folgendes Volumen: $\frac{1}{3} \cdot \frac{G}{2} \cdot h$ $= \frac{1}{6} \cdot G \cdot h$ .

Der andere Teilkörper hat ein Volumen von $\frac{5}{6} \cdot G \cdot h$ .

Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1: 5 .$

2.5

Die erste Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht, also ist beispielsweise $\pmatrix{0\\1\\0}$ ein möglicher Vektor.

Die zweite Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht aus der Richtung einer Ecke, also ist beispielsweise $\pmatrix{1\\-1\\0}$ ein möglicher Vektor.

Betrachtung von oben:

Ansicht von oben - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

2.6

$\text{I}\quad$ $Q$ ist ein Punkt auf der Strecke $\overline{AB}.$

$\text{II}\;\;$ $\overline{P_{h}Q}$ ist senkrecht zu $\overline{A B},$ also beschreibt $\left|\overline{P_{h} Q}\right|$ den Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{A B}.$

$\text{III}\,$ Dieser Abstand stimmt mit $28-h,$ dem Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{B C}$ , überein.

2.7

Ein möglicher Richtungsvektor der $z$ -Achse ist $\overrightarrow{z}=\pmatrix{0\\0\\z}.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AG_k}&=&\pmatrix{-11\\11\\k}- \pmatrix{11\\11\\0}& \\[5pt] &=&\pmatrix{-22\\0\\k} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DH_k}&=&\pmatrix{11\\-11\\k}- \pmatrix{-11\\-11\\0} & \\[5pt] &=&\pmatrix{22\\0\\k} \end{array}$

Voraussetzung für lineare Abhängigkeit:

Voraussetzung anzeigen

$a\cdot \pmatrix{-22\\0\\k}+b\cdot \pmatrix{22\\0\\k}+c\cdot \pmatrix{0\\0\\z}=0$

Für $a=b=c=1$ und $z=-2k$ geht dieses Gleichungssystem auf.

Die Vektoren sind folglich linear abhängig.

2.8

Parallelität zeigen

Normalenvektor von $\varepsilon_{k}$ bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n_{\varepsilon_{k}}}=22\cdot \pmatrix{k\\k\\22}$

Da $\overrightarrow{n_{\varepsilon_{k}}}$ ein Vielfaches von $\pmatrix{k\\k\\22}$ ist, sind die Vektoren parallel zueinander.

Wert von $k$ bestimmen

$\overrightarrow{G_kH_k}=\pmatrix{-11\\11\\k}-\pmatrix{11\\-11\\k}=\pmatrix{-22\\22\\0}$

$|\overrightarrow{G_kH_k}|=\sqrt{(-22)^2+22^2+0^2}=\sqrt{968}$

$|\overrightarrow{AG_k}|=\sqrt{(-22)^2+0^2+k^2}=\sqrt{484+k^2}$

$|\overrightarrow{AH_k}|=\sqrt{0^2+(-22)^2+k^2}=\sqrt{484 +k^2}$

Für $k=22$ gilt $|\overrightarrow{G_kH_k}|=|\overrightarrow{AG_k}|=|\overrightarrow{AH_k}|= \sqrt{968}.$

Somit ist für $k=22$ die Grundfläche der Pyramide ein gleichseitiges Dreieck.

2.9

Koordinatengleichung von $\varepsilon_{k}$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} k\cdot x_1+k\cdot x_2+22\cdot x_3&=& c& \\[5pt] k\cdot 11+k\cdot 11+22\cdot 0&=& c& \\[5pt] 22k&=&c \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(k)&=&\dfrac{\left|n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3}-a\right|}{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}} & \\[5pt] &=&\dfrac{\left|k\cdot 0 +k \cdot 0 +22\cdot 0 -22k\right|}{\sqrt{k^{2}+k^{2}+22^{2}}} & \\[5pt] &=&\dfrac{22k}{\sqrt{2k^{2}+484}} \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?