Teil B1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 \cdot x \cdot \mathrm e^{-x}$ .

1.1

Gib die Nullstelle von $f$ an.

Gib die Koordinaten des lokalen Extrempunkts des Graphen von $f$ an.

Gib das Monotonieverhalten von $f$ an.

(5 BE)

1.2

Für jede reelle Zahl $n$ wird eine Gerade mit der Gleichung $y=n$ betrachtet.

Gib die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Gerade mit dem Graphen von $f$ in Abhängigkeit von $n$ an.

(4 BE)

1.3

Skizziere den Graphen von $f$ und ein Rechteck mit den folgenden Eigenschaften in einem Koordinatensystem:

$(\text{I})$ Eine Seite des Rechtecks liegt auf dem Teil der $x$ -Achse mit $x>0$ .

$(\text{II})$ Zwei Eckpunkte des Rechtecks liegen auf dem Graphen von $f$ .

Es gibt ein solches Rechteck mit der Seitenlänge 3. Berechne die andere Seitenlänge dieses Rechtecks.

(6 BE)

1.4

Der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=c \quad(c \in \mathbb{R}, c>0)\;$ schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt $A(c)$ ein.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion $F$ von $f.$

Sachsen Mathe Abi 2024 Graph f Stammfunktion

Der Graph von $F$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid-1).$ Die Gerade mit der Gleichung $y=1$ ist waagerechte Asymptote des Graphen von $F.$

Ermittle mit Hilfe der Abbildung einen Näherungswert von $A(4).$

Begründe, dass $\lim\limits_{c\to\infty}A(c)=2$ gilt.

(4 BE)

Für jeden positiven reellen Wert $a$ sind die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ und der Punkt $P_a\left(\dfrac{2}{a} \,\bigg \vert \, \dfrac{4}{a \cdot \mathrm e^2}\right)$ gegeben.

1.5

Zeige, dass für jedes $a$ der Punkt $P_a$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

Begründe, dass alle Punkte $P_a$ im ersten Quadranten liegen.

Ermittle die Ordinate des Punkts $P_a$ , dessen Abszisse 4 ist.

(4 BE)

1.6

Die Gerade mit der Gleichung $y=-\dfrac{2}{\mathrm e^2} \cdot x+\dfrac{8}{a \cdot \mathrm e^2}$ und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck.

Beurteile folgende Aussage:
Für jeden Wert $a$ ist $P_a$ Mittelpunkt einer der Dreiecksseiten.

(5 BE)

Die zeitliche Entwicklung der Größe der von Wasserpflanzen bedeckten Fläche eines Sees kann modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(t)=5 \cdot t \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot t}+5$ beschrieben werden.

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und $w(t)$ die Größe der von Wasserpflanzen bedeckten Fläche in Quadratmeter.

1.7

Untersuche, ob die Größe der bedeckten Fläche in den ersten 5 Tagen nach Beobachtungsbeginn mehr wächst als in den darauffolgenden 5 Tagen.

Ermittle denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Größe der bedeckten Fläche am stärksten abnimmt.

(6 BE)

1.8

Es gibt einen Wert $u$ mit $u\gt 0$ für den die Gleichung $\(\dfrac{w(20)-w(0)}{20-0}=w$ gilt.

Gib einen Näherungswert von $u$ und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

Dem Wasser wird eine große Anzahl von Einzelproben entnommen und auf Keime untersucht. Erfahrungsgemäß sind $97 \,\%$ aller Einzelproben keimfrei. Die Entnahmen der Einzelproben werden als unabhängig voneinander betrachtet.

1.9

An einem Tag werden an unterschiedlichen Stellen des Sees 150 Einzelproben entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens fünf dieser Einzelproben nicht keimfrei sind.

Gib ein Ereignis im Sachzusammenhang an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem Term $0,97^{150}+\pmatrix{150\\149} \cdot 0,97^{149} \cdot 0,03$ berechnen lässt.

(4 BE)

1.10

Folgendes Verfahren wird zur Untersuchung von 10 Einzelproben genutzt:

Von jeder Einzelprobe wird ein Teil entnommen. Alle diese Teile werden zu einer Mischprobe zusammengeführt. Die Mischprobe wird untersucht. Ist sie keimfrei, so sind auch alle Einzelproben keimfrei und das Verfahren ist beendet. Ist sie nicht keimfrei, werden alle 10 Einzelproben einzeln untersucht.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Untersuchungen bei diesem Verfahren.

Begründe, dass $X$ nur den Wert 1 oder den Wert 11 annehmen kann.

Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von $X.$

(8 BE)

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1.1

Nullstelle angeben

Es muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 &\\[5pt] 2\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}&=& 0 \end{array}$

Wegen $\mathrm e^{-x}\gt0$ folgt die einzige Lösung dieser Gleichung und somit die Nullstelle von $f$ mit $x=0.$

Koordinaten angeben

Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x=1$ liegt somit eine mögliche Extremstelle vor.

Da aus der Aufgabenstellung hervorgeht, dass genau ein lokaler Extrempunkt existiert, ist das Anwenden der hinreichenden Bedingung nicht notwendig.

$y$ -Koordinate bestimmen:

$f(1)= 2\cdot 1\cdot \mathrm e^{-1}=\dfrac{2}{\mathrm e} \approx 0,74$

Die Koordinaten des lokalen Extrempunkts sind somit gegeben durch $E(1 \mid 0,74).$

Alternativ kann der lokale Extrempunkt auch mit dem CAS graphisch bestimmt werden.

Monotonieverhalten angeben

Betrachten des Vorzeichens der ersten Ableitung $\(f$ ergibt:

Für $x\lt1$ ist $2-2x\gt0,$ also ist $\(f$
Für $x\gt 1$ ist $2-2x \lt0$ , also ist $\(f$

Die Funktion $f(x)$ ist somit auf $(-\infty, 1)$ streng monoton steigend und auf $(1, \infty)$ streng monoton fallend.

1.2

Verhalten der Funktion $f(x):$

$f$ hat eine Nullstelle bei $x=0.$
$f$ hat ein lokales Maximum bei $x=1$ mit $f(1)=\dfrac{2}{\mathrm e}.$
Für $x \rightarrow \infty$ gilt $f(x)\rightarrow 0.$
Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x)\rightarrow -\infty.$

Betrachtet wird die folgende Funktion:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& n & \\[5pt] 2\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}&=& n \end{array}$

Hilfsskizze Verhalten Monotonie Sachsen Mathe Abi 2024

Verlaufsskizze

1. Fall: $\boldsymbol{n\leq 0}$

Für $n\leq 0$ hat die Gleichung $2 \cdot x\cdot \mathrm e^{-x}=n$ genau eine Lösung.

2. Fall: $\boldsymbol{0\lt n \lt \dfrac{2}{\mathrm e}}$

Für $0\lt n \lt \dfrac{2}{\mathrm e}$ hat die Funktion $f(x)=2\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}$ zwei verschiedene Lösungen $x_1$ und $x_2$ mit $x_1\lt 1\lt x_2.$

3. Fall: $\boldsymbol{n= \dfrac{2}{\mathrm e}}$

Für $n=\dfrac{2}{\mathrm e}$ hat die Gleichung $2 \cdot x\cdot \mathrm e^{-x}=n$ genau eine Lösung.

4. Fall: $\boldsymbol{n\gt \dfrac{2}{\mathrm e}}$

Für $n\gt \dfrac{2}{\mathrm e}$ überschreitet der Wert von $n$ den maximalen Funktionswert von $f(x).$ Die Gleichung $2\cdot x\cdot \mathrm e^{-x}=n$ besitzt somit keine Lösung.

1.3

Skizze anfertigen

Mit dem CAS kann der Graph der Funktion abgebildet und eine entsprechende Wertetabelle angezeigt werden:

Seitenlänge berechnen

Da das Rechteck eine Seitenlänge von 3 Längeneinheiten entlang der $x$ -Achse besitzt, muss für die Eckpunkte auf der $x$ -Achse $x=a$ und $x=a+3$ gelten. Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Funktionswert an diesen Punkten, also $f(a)$ bzw. $f(a+3).$

Es soll also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=& f(a+3) &\\[5pt] 2\cdot a\cdot \mathrm e^{-a}&=& 2\cdot (a+3)\cdot \mathrm e^{-(a+3)} & \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $a\approx 0,157$ und somit $a+3=3,157.$

Funktionswerte berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(0,157)&=& 2\cdot 0,157\cdot \mathrm e^{-0,157} & \\[5pt] &\approx& 0,27& \\[5pt] f(3,157)&=& 2\cdot 3,157\cdot \mathrm e^{-3,157} & \\[5pt] &\approx & 0,27 \end{array}$

Die andere Seitenlänge des Rechtecks beträgt somit ca. $0,27.$

1.4

Näherungswert bestimmen

Aus der Abbildung kann $F(4)\approx 0,8$ abgelesen werden. Mit $F(0)=-1$ ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} A(4)&=& F(4)-F(0)& \\[5pt] &\approx& 0,8-(-1)& \\[5pt] &=& 1,8 \end{array}$

Begründung

Wegen der Asymptote von $F$ mit der Gleichung $y=1$ ergibt sich $\lim\limits_{c\to\infty}F(c)=1.$ Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{c\to\infty}A(c)&=&\lim\limits_{c\to\infty}F(c) -F(0) & \\[5pt] &=& 1-(-1)& \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

1.5

Lage des Punkts nachweisen

Einsetzen der Koordinaten von $P_a$ in die Funktion $f_a$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{a\cdot \mathrm e^2}&=& 2\cdot \dfrac{2}{a}\cdot \mathrm e^{-a\cdot \frac{2}{a}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\\[5pt] \dfrac{4}{\mathrm e^2}&=& 2\cdot 2\cdot \mathrm e^{-2}&\\[5pt] \dfrac{4}{\mathrm e^2}&=& \dfrac{4}{\mathrm e^2} \end{array}$

Somit gilt die Gleichung und der Punkt $P_a$ liegt für jedes $a$ auf dem Graphen von $f_a.$

Begründung

Der erste Quadrant umfasst alle Punkte mit positiven $x$ - und $y$ -Werten.

Da $a$ bereits in der Aufgabenstellung als positiv definitiert wurde und $\mathrm e^2\gt 0$ gilt, folgt $\dfrac{2}{a}\gt0$ und $\dfrac{4}{a\cdot \mathrm e^2}\gt0.$

Somit liegen alle Punkte $P_a$ im ersten Quadranten.

Ordinate ermitteln

Da die Abszisse 4 ist, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{a}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\\[5pt] 2&=& 4\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 0,5&=& a \end{array}$

Einsetzen von $a$ in die $y$ -Koordinate von $P_a$ liefert:

$\dfrac{4}{0,5\cdot \mathrm e^2}\approx 1,08$

Die Ordinate ist somit ca. $1,08.$

1.6

1. Schritt: Eckpunkte bestimmen

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} y_0&=& -\dfrac{2}{\mathrm e^2}\cdot 0+\dfrac{8}{a\cdot \mathrm e^2}& \\[5pt] &=& \dfrac{8}{a\cdot \mathrm e^2} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse folgen also mit $S_y\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{8}{a \mathrm e^2}\right).$

Schnittpunkt mit der $x$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 & \\[5pt] -\dfrac{2}{\mathrm e^2}\cdot x+\dfrac{8}{a\cdot \mathrm e^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \;+ \dfrac{2}{\mathrm e^2}\cdot x\\[5pt] \dfrac{8}{a\cdot \mathrm e^2} &=& \dfrac{2}{\mathrm e^2}\cdot x&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; \cdot \mathrm e^2 \\[5pt] \dfrac{8}{a}&=& 2x &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; :2 \\[5pt] \dfrac{4}{a}&=& x \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $x$ -Achse folgen also mit $S_x\left(\dfrac{4}{a}\,\bigg \vert \, 0\right).$

Die Koordinatenachsen und die Gerade bilden ein Dreieck mit den Eckpunkten $O(0\mid 0),$ $S_y\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{8}{a \mathrm e^2}\right)$ und $S_x\left(\dfrac{4}{a}\,\bigg \vert \, 0\right).$

2. Schritt: Mittelpunkte berechnen

Mittelpunkt von $O$ und $S_y:$

$\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{0+\frac{8}{a \mathrm e^2}}{2}\right)=\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{4}{a \mathrm e^2}\right)$

Mittelpunkt von $O$ und $S_x:$

$\left(\dfrac{0+\frac{4}{a}}{2}\,\bigg \vert \, 0\right)=\left(\dfrac{2}{a}\,\bigg \vert \, 0\right)$

Mittelpunkt von $S_x$ und $S_y:$

$\left(\dfrac{0+\frac{4}{a}}{2}\,\bigg \vert \, \dfrac{\frac{8}{a \mathrm e^2}+0}{2}\right)=\left(\dfrac{2}{a}\,\bigg \vert \, \dfrac{4}{a \mathrm e^2}\right)$

Der Punkt $P_a$ hat die Koordinaten $\left(\dfrac{2}{a}\,\bigg \vert \, \dfrac{4}{a \mathrm e^2}\right)$ und stimmt somit mit dem Mittelpunkt der Verbindung von $S_x$ und $S_y$ überein.

Die Aussage ist folglich korrekt.

1.7

Wachstum untersuchen

Zuwachs zu Beobachtungsbeginn nach 5 und nach 10 Tagen berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} w(0)&=& 5\cdot 0\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 0}+5 &\\[5pt] &=& 5&\\[5pt] w(5)&=& 5\cdot 5\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 5}+5 &\\[5pt] &\approx& 24,47&\\[5pt] w(10)&=& 5\cdot 10\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 10}+5&\\[5pt] &\approx& 35,33 \end{array}$

In den ersten 5 Tagen nimmt die Größe der bedeckten Fläche um $24,47-5=19,47$ Quadratmeter zu.

In den darauffolgenden 5 Tagen nimmt die Größe der bedeckten Fläche um $35,33-24,47=10,86$ Quadratmeter zu.

Die Größe der bedeckten Fläche wächst somit in den ersten 5 Tagen nach Beobachtungsbeginn mehr als in den darauffolgenden 5 Tagen.

Zeitpunkt ermitteln

Mit dem CAS kann die erste und zweite Abbildung berechnet werden:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $t=40.$

Überprüfen des Vorzeichenwechsels von $\(w$ bei $t=40:$

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Da $\(w$ an der Stelle $t=40$ von negativ zu positiv wechselt, hat $\(w$ an dieser Stelle ein Minimum.

Alternativ kann das Minimum der Ableitungsfunktion auch graphisch mit dem CAS bestimmt werden.

Die Größe der von Wasserpflanzen bedeckten Fläche nimmt somit am 40. Tag nach Beobachtungsbeginn am stärksten ab.

1.8

Näherungswert ermitteln

$w(0)$ ist bereits bekannt und beträgt 5 Quadratmeter. Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} w(20)&=& 5\cdot 20\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 20}+5 & \\[5pt] &\approx& 41,79 \end{array}$

Somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{w(20)-w(0)}{20-0}&=& \dfrac{41,79-5}{20}& \\[5pt] &\approx& 1,84 \end{array}$

Einsetzen in die Gleichung liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} \dfrac{w(20)-w(0)}{20-0}&=& w$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $u\approx 8,65.$

Bedeutung im Sachzusammenhang

Der Wert $u \approx 8,65$ ist der Zeitpunkt innerhalb der ersten 20 Tage, an dem die momentane Änderungsrate der bedeckten Fläche der mittleren Änderungsrate über den gesamten Zeitraum von 20 Tagen entspricht.

Zu diesem Zeitpunkt entspricht die Wachstumsrate der Fläche also genau der durchschnittlichen Wachstumsrate der ersten 20 Tage.

1.9

Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Einzelproben, die nicht keimfrei sind, und ist binomialverteilt mit $n=150$ und $p=0,03.$

Mit dem binomcdf-Befehl des CAS folgt:

$P(X\leq 5) \approx 0,7043$

Ereignis angeben

Von den 150 Einzelproben ist höchstens eine Probe nicht keimfrei.

1.10

Begründung

Ist die Mischprobe keimfrei, so ist das Verfahren beendet, nachdem nur die Mischprobe untersucht wurde. In diesem Fall gibt es also genau eine Untersuchung.

Wenn die Mischprobe nicht keimfrei ist, werden zusätzlich zu der Mischprobe alle 10 Einzelproben einzeln untersucht, was insgesamt 11 Untersuchungen ergibt.

Wahrscheinlichkeitverteilung ermitteln

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine einzelne Probe keimfrei ist, beträgt $0,97.$ Da die Proben unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Einzelproben keimfrei sind, somit $(0,97)^{10}.$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mischprobe keimfrei ist, beträgt also $(0,97)^{10}.$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mischprobe nicht keimfrei ist, also mindestens eine der Einzelproben nicht keimfrei ist, beträgt somit $1-(0,97)^{10}.$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist somit gegeben durch:

$P(X=1)=(0,97)^{10}$
$P(X=11)=1-(0,97)^{10}$

Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 1 \cdot P(X=1)+11 \cdot P(X=11) &\\[5pt] &=& 1 \cdot 0,97^{10}+11 \cdot\left(1-0,97^{10}\right)&\\[5pt] &=& 1 \cdot 0,737+11 \cdot 0,263 &\\[5pt] &=& 0,737+2,893 &\\[5pt] &=& 3,63 \end{array}$

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