Teil B2

In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung $O$ sind die Punkte $L \left(-\frac{25}{4}\mid -8 \mid6 \right),$ $P \left(-\frac{25}{2}\mid 0\mid 0 \right)$ und $Q \left(-\frac{21}{2}\mid -12\mid 9 \right)$ sowie die Ebene $E$ mit $E:\, 3\cdot y+4\cdot z=0$ gegeben.

2.1

Beschreibe die besondere Lage der Geraden $g$ mit

$g:\, \overrightarrow{x} =\pmatrix{0\\-12\\9} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$ $(r\in \mathbb{R})$

im Koordinatensystem.

Weise nach, dass die Ebene $E$ durch den Punkt $L$ und die Gerade $g$ eindeutig festgelegt ist.

(4 BE)

In der Abbildung sind der Punkt $L$ und das Viereck $OPQR$ dargestellt. Das Viereck $OPQR$ liegt in der Ebene $E.$

Grafische Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit Punkten und Flächen.

Abbildung 1 (nicht maßstäblich)

2.2

Das Viereck $OPQR$ ist ein achsensymmetrisches Trapez. $Q$ und $R$ liegen auf $g.$
Berechne die Koordinaten des Punktes $R.$

(4 BE)

2.3

Es gibt Punkte $S$ mit folgenden zwei Eigenschaften:

Die Punkte $S$ liegen im Viereck $OPQR.$
Das Dreieck $OPS$ hat den Flächeninhalt $12,5.$

Bestimme eine Gleichung der Geraden, auf der alle diese Punkte $S$ liegen.

(4 BE)

Das Viereck $OPQR$ und ein Rechteck stellen modellhaft die beiden Teile einer Minigolfbahn dar. Eine Seite des Rechtecks ist $\overline{OP}.$ Der Punkt $A(-2\mid 7\mid 0)$ liegt in dem Rechteck.

Der Punkt $L$ stellt das Loch dieser Minigolfbahn dar. lm verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\,\text{cm}$ in der Realität.

2.4

Berechne die Größe des stumpfen Winkels, den die beiden Teile der Minigolfbahn einschließen.

(3 BE)

Im Folgenden werden verschiedene Wege von Minigolfbällen betrachtet. Jeder Ball wird dabei als punktförmig angenommen.

2.5

Nach einem Abschlag in $A$ wird ein Ball an der seitlichen Begrenzung des rechteckigen Teils der Bahn, die auf der $y$ -Achse liegt, in einem Punkt $B$ entsprechend des Reflexionsgesetzes reflektiert und erreicht $\overline{OP}$ im Punkt $C(-5\mid 0\mid 0).$

Ermittle die Koordinaten des Punktes $B.$

(4 BE)

2.6

ln der obigen Abbildung 1 ist ein Teil des Wegs eines anderen Balls gestrichelt dargestellt. Seine Positionen auf dem dargestellten Weg können mithilfe der Punkte

$D_{k} (-5-3\cdot k\mid -8\cdot k +\frac{8}{3}\cdot k^{2}\mid 6\cdot\ k-2\cdot k^2)$ mit $k\in \mathbb{R}$ und $k\geq 0$

beschrieben werden.

Weise nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat.
Ermittle rechnerisch, um wie viele Zentimeter der Ball das Loch verfehlt.

(6 BE)

Bei der Jubiläumsfeier der Minigolfanlage werden Glücksräder (siehe folgende Abbildung 2) verwendet. Die als binomialverteilt angenommene Zufallsgröße $X$ gibt jeweils an, wie oft beim mehrmaligen Drehen eines Glücksrades der grau unterlegte Sektor angezeigt wird.

Diagramm eines Kreises mit einem Winkel α und einer Schattierung im Inneren.

Abbildung 2

2.7

Ein Glücksrad mit $\alpha=100^{\circ}$ wird 10-mal gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

Ereignis $A:$ Der grau unterlegte Sektor wird genau dreimal angezeigt.
Ereignis $B:$ Der grau unterlegte Sektor wird häufiger angezeigt als zu erwarten ist.

(4 BE)

Bei einem vom Betreiber durchgeführten Spiel mit einem der Glücksräder können Minigolfkurse im Wert von 9 Euro gewonnen werden. Für einen Einsatz von 1 Euro wird das Glücksrad dreimal gedreht. Ein Minigolfkurs wird nur dann gewonnen, wenn dabei genau zweimal der grau unterlegte Sektor angezeigt wird.

2.8

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel einen Minigolfkurs zu gewinnen, mithilfe des Terms $\displaystyle \frac{3}{(360^{\circ})^{2}}\cdot\alpha^{2}-\frac{3}{(360^{\circ})^{3}}\cdot\alpha^{3}$ berechnet werden kann.

(3 BE)

2.9

Zeige, dass bei Verwendung des Glücksrades mit $\alpha=100^{\circ}$ auf lange Sicht bei diesem Spiel ein Verlust für den Betreiber entsteht.
Ermittle alle möglichen Werte von $\alpha,$ für die der Betreiber auf lange Sicht bei diesem Spiel einen Verlust haben wird.

(5 BE)

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

$\Phi(z)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{z}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^2}\;\mathrm dt$

$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

Graph einer Funktion mit einer grünen Fläche unter der Kurve und Achsenbeschriftungen.

Tabelle anzeigen

A	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
2
3	z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
5	0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
6	0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
7	0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
8	0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
9	0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
10	0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
11	0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
12	0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
13	0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
14	1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
15	1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
16	1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
17	1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
18	1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
19	1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
20	1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
21	1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
22	1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
23	1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
24	2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
25	2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
26	2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
27	2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
28	2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
29	2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
30	2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
31	2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
32	2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
33	2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
34	3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
35	3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
36	3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
37	3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
38	3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
39	3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
40	3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
41	3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
42	3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
43	3,9	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

2.1

Besondere Lage der Geraden

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ besitzt nur einen Eintrag, der von $0$ verschieden ist. Dies ist der Eintrag der $x$ -Koordinate. Sie verläuft daher parallel zur $x$ -Achse.

Nachweis der Ebene

Die Ebene $E$ ist durch die Gerade $g$ und den Punkt $L$ eindeutig festgelegt, wenn $L$ nicht auf $g$ liegt und sowohl $L$ als auch $g$ in $E$ liegen.

1. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{L}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-\frac{25}{4} \\4 \\-3} = r \cdot \pmatrix{1\\0\\0}$

Aus der ersten Zeile ergibt sich $r=-\dfrac{25}{4},$ aus der zweiten und dritten allerdings $r=0.$ Die Gleichung ist also nicht erfüllt, sodass $L$ nicht auf $g$ liegt.

2. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{L}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt

Aus dem Einsetzen von $L$ in die Ebenengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -24+24&=&0 \end{array}$

Die Gleichung führt zu einer wahren Aussage und somit liegt $L$ in $E.$

3. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{g}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt

Setze die Koordinaten, die sich aus der Geradengleichung von $g$ ablesen lassen, $x=1r,$ $y=-12$ und $z=9$ in die Ebenengleichung von $E$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (-12) + 4 \cdot 9&=& 0 \\[5pt] -36+36&=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Die Gleichung führt zu einer wahren Aussage und somit liegt $g$ in $E$ .

$E$ ist also eindeutig durch $L$ und $g$ festgelegt.

2.2

Diagramm eines Trapezes mit den Punkten R, M', Q, M, O und P. Linien und Punkte sind skizziert.

Skizze, nicht maßstäblich

Die Seiten $\overline{RQ}$ und $\overline{OP}$ sind parallel. Es gibt eine Symmetrieachse durch $M$ und $\(M$

Die Koordinaten des Punktes $M$ ergeben sich aus

$\overrightarrow{OM}= \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OP}$ $= \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-\frac{25}{2}\\0\\0}= \pmatrix{-\frac{25}{4}\\0\\0}$

$\(M$ hat dieselbe $x$ -Koordinate wie $M$ und liegt ebenfalls auf $g,$ wodurch er dieselbe $y$ - und $z$ -Koordinate wie $Q$ hat, d.h $\(\overrightarrow{OM$

Somit ergeben sich die Koordinaten von $R$ :

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \overrightarrow{OQ} + 2 \cdot \overrightarrow{QM$

$R(-2 \mid -12 \mid 9)$

2.3

1. Schritt: Höhe des Dreiecks berechnen

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{OP} \right| \cdot h$

Da $\overline{OP}$ auf der $x$ -Achse liegt, entspricht die Höhe $h$ dem Abstand von $S$ zur $x$ -Achse.

$\left|\overrightarrow{OP} \right| = \left|\pmatrix{-\frac{25}{2}\\0\\0} \right|= 12,5$

Es soll $A= 12,5$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{OP} \right| \cdot h \\[5pt] 12,5&=&\dfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :12,5 \\[5pt] 1&=& \dfrac{1}{2}\cdot h&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2&=& h \\[5pt] \end{array}$

Alle Punkte $S$ müssen also zur $x$ -Achse den Abstand $2$ haben.

2. Schritt: Richtungsvektor bestimmen

Damit alle Punkte $S$ denselben Abstand zur $x$ -Achse haben, muss die gesuchte Gerade parallel zur $x$ -Achse verlaufen.

Als Richtungsvektor kann $\overrightarrow{r} = \pmatrix{1\\0\\0}$ verwendet werden.

3. Schritt: Stützvektor bestimmen

Als Stützpunkt sollte ein Punkt gewählt werden, der im Viereck $OPQR$ liegt und den Abstand $2$ von der $x$ -Achse hat.
$\(\overline{MM$ steht senkrecht zur x-Achse und liegt in $OPQR.$

Ein geeigneter Stützvektor $\overrightarrow{r}$ ergibt sich daher durch Normierung von $\(\overrightarrow{MM$ zu:

$\(\overrightarrow{r} = \dfrac{2}{\left | \overrightarrow{MM$ $=\dfrac{2}{\sqrt{12^2+9^2}}\cdot \pmatrix{0\\-12\\9}$ $= \pmatrix{0\\-\frac{8}{5}\\\frac{6}{5}}$

Alle Punkte $S$ liegen auf der Gerade $h$ mit der Gleichung:

$h:\overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-\frac{8}{5}\\\frac{6}{5}} + s \cdot \pmatrix{1\\0\\0}$

2.4

$O,$ $P$ und $A$ liegen in der $xy$ -Ebene. Dadurch liegt das gesamte Rechteck in der $xy$ -Ebene. Gesucht ist also der stumpfe Winkel, den $E$ mit der $xy$ -Ebene bildet.
Ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist $n_1=\pmatrix{0\\3\\4}$ und ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $n_2=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Mit der Formel zur Berechnung des Schnittwinkels $\alpha$ zweier Ebenen folgt:

$\(\cos (\alpha$ $=\dfrac{\pmatrix {0\\3\\4} \circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\sqrt{3^2 +4^2}\cdot \sqrt{1^2}} =\dfrac{4}{5}$

$\(\alpha$

Die Größe des zugehörigen stumpfen Winkels folgt dann mit $\alpha = 180^{\circ} -36,88^{\circ} =143,12^{\circ}.$

2.5

Die betrachtete Bahn des Balls verläuft vollständig in der $xy$ -Ebene. Der Punkt $\(A$ ist der Spiegelpunkt von $A$ an der $y$ -Achse. Für ihn gilt $\(A$ Der Reflexionspunkt $B$ ist dann gerade der Schnittpunkt der Geraden $\(CA$ mit der $y$ -Achse.

Gerade $\(CA$
$\( \overrightarrow{C} + t \cdot \overrightarrow{CA$

Beim Schnittpunkt mit der $y$ -Achse gilt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& -5 + 7t &\quad \scriptsize\mid\; +5\\[5pt] & 5 &=& 7t& \quad \scriptsize \mid \; :7 \\[5pt] & \dfrac{5}{7} & = &7 \\[5pt] \text{II}\quad&y&=&7t & \quad \scriptsize \mid \; t = \frac{5}{7} \\[5pt] &y &=& 5& \\[5pt] \text{III} \quad &0& = & 0 \end{array}$

Der gesuchte Punkt $B$ lautet somit $B ( 0 \mid 5 \mid 0).$

2.6

Kontakt zur Minigolfbahn

Einsetzen der Koordinaten von $D_k$ in die Ebenengleichung von $E$ liefert:

$0 = 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Punkte $D_k$ liegen also in der Ebene $E,$ sodass der Ball durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat.

Abstand des Balls zum Loch

Der Abstand von $D_k$ und $L$ kann in Abhängigkeit von $k$ mithilfe der Abstandsformel zweier Punkte wie folgt beschrieben werden:

Vollständigen Funktionsterm anzeigen

$d(k)= \sqrt{...}$

Das Minimum von $d$ lässt sich mit dem CAS bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

$T(1,15\mid 3,67)$

Der kleinste Abstand des Balls zum Loch beträgt also ca. $36,7\,\text{cm}.$

2.7

Ereignis $A$

Es gilt $p = \frac{100°}{360°} = \frac{5}{18}$ und $n = 10$ . Mit der Formel der Binomialverteilung, bzw. mit dem CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$P(A) = 26,36\; \%$

Ereignis $B$

Erwartungswert:
$E(X)= n\cdot p =10 \cdot \dfrac{5}{18} = \dfrac{25}{9}$ .

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X \gt \frac{25}{9}) = P(X\geq 3).$ Diese lässt sich mithilfe der kumulierten Binomialverteilung mit dem CAS berechnen:

$P(B)=P(X \geq 3 ) = 1 - P(X \leq 2)$ $\approx 0,5558 = 55.58 \; \%$

2.8

Der graue Sektor wird bei einem Dreh mit einer Wahrscheinlichkeit von $p= \frac{\alpha}{360^{\circ}}$ getroffen.
Bei drei Drehungen gibt es folgende Gewinn-Möglichkeiten: $g\,g \, \overline{g}$ , $g \, \overline{g} \, g$ , $\overline{g} \, g \, g$

$\begin{array}[t]{rll} P(G)&=& 3 \left(\dfrac{\alpha}{360°} \cdot \dfrac{\alpha}{360°} \left( 1 - \dfrac{\alpha}{360} \right) \right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3 \left(\dfrac{\alpha^2}{(360°)^2} - \dfrac{\alpha^3}{(360°)^3} \right) \\[5pt] & =& \dfrac{3}{(360°)^2}\cdot \alpha^2 - \dfrac{3}{(360°)^3} \cdot \alpha^3 \end{array}$

2.9

Verlust des Betreibers bei 100°

Die Zufallsgröße $V$ beschreibt den zufälligen Verlust des Betreibers bei einem Spiel.
Der Betreiber verliert bei einem Spiel entweder $9€ -1€ = 8 €,$ falls der Minigolfkurs gewonnen wird, oder gewinnt $1€,$ indem er die Gebühr einnimmt.

Mit dem Term aus der vorherigen Aufgabe gilt für $\alpha=100^{\circ}:$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(V = 8€)& = &\dots \\[5pt] P(V = -1€)&=& \dots \end{array}$

Der erwartete Verlust des Betreibers pro Spiel entspricht dem Erwartungswert von $V:$

$E(V)\approx 0,50€$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Der Betreiber macht bei $\alpha = 100^{\circ}$ auf lange Sicht also ca. 50 Cent Verlust pro Spiel.

Winkelgrößen mit Verlust

Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $V_{\alpha},$ die den zufälligen Verlust des Betreibers pro Spiel in Abhängigkeit von der Größe des Winkels $\alpha$ beschreibt. Analog zu oben kann diese ebenfalls als binomialverteilt angenommen werden und es gilt:

$P(V_{\alpha}=8€) = 3 \cdot \dfrac{\alpha^2}{\left(360^{\circ}\right)^2}-3 \cdot \dfrac{\alpha^3}{\left(360^{\circ}\right)^3}$

Für den Erwartungswert folgt analog:

$E(V_{\alpha}) = ...$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Der Betreiber macht dann auf lange Sicht einen Verlust, wenn $E(V_{\alpha}) \gt 0$ gilt. Mit dem Solve-Befehl des CAS folgt für $E(V_\alpha) = 0$ :

$\alpha_0 = -63,85°$ (keine Relevanz, da negativ)
$\alpha_1 = 78,32°$
$\alpha_2 = 345,53°$

Da bei $100°$ ein Verlust entsteht, folgt: Für $78,32° \lt \alpha \lt 345,53$ verliert der Betreiber Geld.