Teil B2

Die Abbildung zeigt ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem $(1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter $)$ beschreibt die $xy$ -Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht.
Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern.
Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B\left(0,45\mid 0,45\mid 0,00\right)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Dieser Stumpf entsteht, indem man von einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche parallel zur Grundfläche eine kleinere Pyramide abschneidet.
Die Grundfläche $ABCD$ des unteren Teilkörpers liegt in der $xy$ -Ebene, der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung.
Der obere Teilkörper $EFGHS_t$ mit $E(0,35\mid -0,35\mid 7,16)$ ist eine gerade Pyramide mit der Spitze $S_t(0,00\mid 0,00\mid 7,16+t)$ mit $t\in \mathbb{R}$ und $t \gt 0.$

Abb. 1: nicht maßstäblich

2.1

Ermittle die Länge einer Diagonalen der Grundfläche des unteren Teilkörpers.

Begründe, dass der Punkt $F$ die Koordinaten $F(0,35\mid 0,35\mid 7,16)$ hat.
Berechne die Größe des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der $xy$ -Ebene.

Erreichbare BE-Anzahl: 9

2.2

Es gibt Ebenen, zu denen das Modell des Obelisken symmetrisch ist.
Entscheide für jede der folgenden Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ ob sie eine derartige Ebene beschreibt.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& x &=& 0,45 \\[10pt] \text{II}\quad& y &=& 0 \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad&x-y&=& 0 \\[10pt] \text{IV}\quad&x-z&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Begründe für eine der Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ dass sie keine derartige Ebene beschreibt.

Erreichbare BE-Anzahl: 5

2.3

Zeige, dass die Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ mit der Gleichung

$\epsilon: ...$

Gleichung anzeigen

liegt.
Die Seitenfläche $FGS_t$ liegt in der Ebene $\eta$ mit der Gleichung

$\eta: ...$

Gleichung anzeigen

Bestimme den Wert $t,$ für welchen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ einen Winkel von $80^{\circ}$ einschließen.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

2.4

Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers $EFGHS_t$ in Abhängigkeit von $t.$

Erreichbare BE-Anzahl: 6

2.5

Die Schattenbildung des Obelisken wird am Modell untersucht.
Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{1\\1\\-2}$ dargestellt.
Für diesen Fall gibt es Werte von $t,$ sodass die Spitze $S_t$ des Obelisken einen Schatten auf die $xy$ -Ebene wirft.
Es gibt einen Wert $t,$ für den dieser Schatten $5,10\,\text{Meter}$ vom Punkt $B$ entfernt ist.
Ermittle diesen Wert $t.$

Erreichbare BE-Anzahl: 5

2.6

Ein Miniaturmodell des Obelisken befindet sich in der Eingangshalle einer Kunstausstellung. Der Anteil der Kunstexperten unter den Besuchern dieser Kunstausstellung sei $a.$
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte.

Ermittle den Wert $a,$ für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

2.7

Die Kunstausstellung ist in der Nacht mit einer Alarmanlage gesichert. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Einbruch versucht wird, liegt bei $0,1\,\%.$
Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ Alarm. Findet in einer Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,4\,\%$ zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse $E_1$ und $E_2:$

$E_1:$

In einer Nacht wird ein Einbruch versucht.

$E_2:$

In einer Nacht wird ein Alarm ausgelöst.

Weise nach, dass $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.
In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

Bildnachweise [nach oben]

[1]

2.1

Länge einer Diagonalen ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=& 2\cdot \overline{BO} \\[5pt] &=& 2\cdot \left| \pmatrix{0,45\\0,45\\0,00}\right|\\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{0,45^2+0,45^2 +0,00^2} \\[5pt] &\approx& 1,27\,[\text{LE}] \end{array}$

Die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ beträgt ca. $1,27\,\text{m}.$

Koordinaten begründen

Da der untere Teilkörper ein Teil einer geraden Pyramide ist und die Grundfläche in der $xy$ -Ebene liegt, ist das Quadrat $EFGH$ parallel zur $xy$ -Ebene. Außerdem haben alle Eckpunkte den gleichen Abstand zur $z$ -Achse.

Damit folgt, dass der Punkt $F$ die gleiche $x$ - und $z$ -Koordinate hat wie $E$ und die umgekehrte $x$ -Koordinate, also $F(0,35\mid 0,35\mid 7,16).$

Neigungswinkel berechnen

Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der $xy$ -Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte $B$ und $F$ mit der $xy$ -Ebene.
Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1},$ ein Richtungsvektor der Geraden BF ist $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BF} = \pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16}.$

Mit der Formel für den Schnittwinkel $\phi$ ergibt sich dann:

Rechenweg anzeigen

$\phi \approx 89^{\circ}$

Der Neigungswinkel der Seitenkante $\overline{BF}$ gegenüber der $xy$ -Ebene beträgt ca. $89^{\circ}.$

2.2

$\text{I:}\quad x=0,45$

Der Obelisk ist nicht symmetrisch zu dieser Ebene, da sie den Obelisken nicht schneidet, sondern lediglich an der Kante $\overline{AB}$ berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.

$\text{II:} \quad y = 0$

Diese Gleichung beschreibt die $xz$ -Ebene, die den Obelisken symmetrisch (senkrecht) halbiert.

$\text{III:}\quad x-y = 0$

Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die $z$ -Achse sowie die Punkte $B,D,F$ und $H$ enthält. Die Ebene halbiert den Obelisken also symmetrisch (diagonal).

$\text{IV:}\quad x-z =0$

Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die $y$ _Achse enthält und die Winkelhalbierende zur $xz$ -Ebene darstellt. Nur ein kleiner Teil des Obelsiken liegt unterhalb dieser Ebene, die diesen also nicht symmetrisch teilt.

2.3

Zeigen, dass die Seitenfläche in der Ebene liegt

Die Seitenfläche $EFS_t$ liegt in der Ebene $\epsilon,$ wenn alle drei Eckpunkte in dieser Ebene liegen, also die Ebenengleichung erfüllen.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $E$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506= 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $E$ erfüllen also die Ebenengleichung, sodass $E$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $F$ folgt analog:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506 = 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $F$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass $F$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $S_t$ folgt analog:

Rechenweg anzeigen

$0,35\cdot t +2,506 = 0,35\cdot t +2,506$

Die Koordinaten von $S_t$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass insgesamt alle drei Eckpunkte und damit die gesamte Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ liegt.

Parameterwert bestimmen

Aus den angegebenen Ebenengleichungen lassen sich zugehörige Normalenvektoren ablesen:

$\overrightarrow{n}_{\epsilon} = \pmatrix{t\\0\\0,35}$ und $\overrightarrow{n}_{\eta}=\pmatrix{0\\t\\0,35}$

Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:

Rechenweg anzeigen

$0 =\dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2}-\cos 80^{\circ}$

Diese Gleichung kann mit solve-Befehl des CAS gelöst werden.

Der Taschenrechner liefert $t_1\approx 0,76$ und $t_2\approx -0,76.$ In der Aufgabenstellung wird $t\gt 0$ gefordert. Für $t\approx 0,76$ schließen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ also einen Winkel von $80^{\circ}$ ein.

2.4

Da es sich beim oberen Teilkörper um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt, sind alle vier Seitenflächen gleich groß. Es genügt also den Flächeninhalt des Dreiecks $EFS_t$ zu bestimmen.

Der Mittelpunt $M$ der Strecke $\overline{EF}$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\pmatrix{0,35\\0\\7,16}$

Die Höhe von $EFS_t$ kann damit folgendermaßen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} h_{EFS_t} &=& \mid \overrightarrow{MS_t} \mid \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \, \pmatrix{-0,35\\0\\t} \,\bigg \vert \,\\[5pt] &=&\sqrt{0,35^2+t^2} \end{array}$

Die Grundfläche ist gegeben durch $g_{EFS_t}=\mid \overrightarrow{EF} \mid=\,\bigg \vert \, \pmatrix{0\\0,7\\0} \,\bigg \vert \,=0,7.$

Der Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers ist damit gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4\cdot \dfrac{h_{EFS_t}\cdot g_{EFS_t}}{2} \\[5pt] &=& 2\cdot 0,7 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2} \\[5pt] &=& 1,4 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2} \end{array}$

Der gesuchte Flächeninhalt in Abhängigkeit von $t$ ist $A=1,4 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2}\,\text{m}^2$

2.5

Der Schattenpunkt $\(S$ muss drei Bedingungen erfüllen:

Er liegt in der $xy$ -Ebene, es ist also $\(z_{S$
Er liegt auf der Geraden durch $S_t$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}:$

Rechenweg anzeigen
$\( \overrightarrow{OS$

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS$
$\(S$ liegt $5,10\,\text{m}$ von $B$ entfernt: $\(\left|\overrightarrow{BS$

Aus den ersten beiden Bedingungen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 7,16+t-2r &\quad \scriptsize \mid\;+2r \\[5pt] 2r&=& 7,16+t &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] r&=& 3,58+0,5t \\[5pt] \end{array}$

Dies kann nun in die dritte Bedingung eingesetzt werden:

Rechenweg anzeigen

$t \approx 0,95$

Für $t\approx 0,95$ ist der Schatten der Spitze $5,10\,\text{m}$ vom Punkt $B$ entfernt.

2.6

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Kunstexperten. $X$ ist $B_{5;a}$ -verteilt.
Mithilfe der Binomialformel ergibt sich folgende Funktionsgleichung für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Kunstexperten in Abhängigkeit von $a:$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=& \pmatrix{5\\1}\cdot a^1\cdot (1-a)^4 \\[5pt] &=& 5\cdot a\cdot (1-a)^4 \end{array}$

Mit dem CAS kann nun das Maximum der Funktion $f(a)=5\cdot a\cdot (1-a)^4$ bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Taschenrechner liefert den einzigen Hochpunkt $H(0,2\mid 0,4096).$ Der Funktionswert an den Intervallrändern $p=0$ und $p=1$ beträgt $f(0)=f(1)=0.$ Für $a=0,2$ ist also die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis maximal.

2.7

Stochastische Abhängigkeit zeigen

Die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn gilt: $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1) \cdot P(E_2).$

baumdiagramm, wahrscheinlichkeiten berechnen, pfadregeln

Mit den Pfadregeln ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten.

Rechenweg anzeigen

$P(E_2)=0,004976$

$P(E_1)\cdot P(E_2)=0,000004976$

$P(E_1\cap E_2)=0,00098$

Es ist also $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1)\cdot P(E_2),$ sodass die Ereignisse $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.

Wahrscheinlichkeit für einen Einbruchsversuch berechnen

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Satzes von Bayes berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P_{E_2}(E_1)&=& \dfrac{P_{E_1}(E_2)\cdot P(E_1)}{P(E_2)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,001}{0,004976} \\[5pt] &\approx& 0,1969 \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem Alarm wirklich um einen Einbruchsversuch handelt, beträgt ca. $19,69\,\%.$

Bildnachweise [nach oben]

[1]