Teil B1

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge für $0 \leq x \leq 4$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=...$

Funktion anzeigen

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

1.1

Zeige, dass die momentane Änderungsrate der Staulänge um 07:00 Uhr einen Wert von $\dfrac{27}{16}$ Kilometer pro Stunde hat.

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert Null hat.

Begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

Es gilt $f(2)\lt0$ .

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(9 BE)

1.2

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen $2 \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ und $3 \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ liegt.

(3 BE)

1.3

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$s(x)=...$

Funktion anzeigen

von Bedeutung.

1.4

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion s angegeben werden.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE)

1.5

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr.

Bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE)

1.6

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung gezeigten Graphen dargestellt.

Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.

Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung.

Begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N}$ sowie $k\gt0.$

1.7

Gib in Abhängigkeit von $k$ das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe deine Angabe.

Ermittle die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

(6 BE)

1.8

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $h_k{ }^{\prime}$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$ , für den der Graph von $h_k^{\prime}$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(5 BE)

1.9

An den Stellen 1 und 5 werden für jeden Wert von $k$ Tangenten an den Graphen von $h_k$ gelegt.

Begründe, dass diese Tangenten für ungerade Werte von $k$ jeweils den gleichen Anstieg haben.

(6 BE)

1.10

Für alle $x \in \mathbb{R}$ und $3 \leq x \leq 4$ gilt: $\; h_k(x) \geq h_{k+1}(x)$ .

Die folgenden Schritte liefern im Zusammenhang mit $h_k$ einen Wert $k$ .

Schritte anzeigen

Gib die geometrische Bedeutung von Schritt $\text{I}$ an.

Erläutere Schritt $\text{II}.$

Gib $k$ an.

(7 BE)

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1.1

Momentane Änderungsrate zeigen

Rechenweg anzeigen

$f(1)= \dfrac{27}{16}$

Zeitpunkte nennen

Aus der graphischen Darstellung von $f$ mit dem CAS werden die Nullstellen abgelesen.

Die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert Null hat, folgen mit 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

Begründung

Der Term von $f$ besteht aus vier Linearfaktoren, von denen zwei übereinstimmen. Damit hat $f$ genau drei Nullstellen.

Bedeutung angeben

Um 08:00 Uhr nimmt die Staulänge ab.

1.2

Zeitpunkt bestimmen

Der Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten abnimmt, entspricht dem Maximum der Funktion $f.$

Mit dem CAS wird das Maximum bestimmt.

Es folgt $x_1 \approx 0,62.$

Die Staulänge nimmt somit ca. 0,62 Stunden nach 06:00 Uhr am stärksten zu.

Momentane Änderungsrate bestimmen

Rechenweg anzeigen

$f(0,62) \approx 2,17 \left[\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}\right]$

Die zugehörige Änderungsrate liegt also mit ca. $2,17\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$ zwischen $2\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$ und $3\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}.$

1.3

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x)>0$ gilt.

Damit ist der Stau um 07:36 Uhr am längsten.

1.4

Aussage begründen

Es gilt $\(s$ und $s(0)=0.$

Zeitpunkt der Auflösung bestätigen

Rechenweg anzeigen

$s(4)=0 \;[\,\text{km}]$

Um 10:00 Uhr beträgt die Staulänge somit $0 \,\text{km}.$ Der Stau ist folglich aufgelöst.

1.5

Zunahme berechnen

$s(2)= 2 \left[\,\text{km}\right]$

Rechenweg anzeigen

$s(0,5)\approx 0,7 \left[\,\text{km}\right]$

Rechenweg anzeigen

Die Zunahme der Staulänge beträgt somit $2-0,7=1,3 \,\text{km}.$

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

Die Änderungsrate ergibt sich mit:

$\dfrac{1,3 \,\text{km}}{1,5 \,\text{h}}\approx 0,9 \dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$

1.6

Der gesuchte Zeitpunkt wird mit $b$ bezeichnet. Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5 \leq x \leq a$ und $a \leq x \leq b$ einschließt, müssen übereinstimmen.

1.7

Verhalten begründen

Für alle Werte von $k$ ist der Term von $h_k$ jeweils ein Polynom, wobei $x^k$ der Summand mit dem größten Exponenten ist.

Damit gilt $\lim _{x \rightarrow-\infty} h_k(x)=-\infty$ für ungerade Werte von $k$ und $\lim _{x \rightarrow-\infty} h_k(x)=+\infty$ für gerade.

Koordinaten ermitteln

Für $x-3=0$ und $x-3=1$ hat $h_k(x)$ jeweils für alle Werte von $k$ den gleichen Wert.

Es ergibt sich also für $x_1=3$ und $x_2=4:$

$h_k(3)=(3-3)^k+1=1$

$h_k(4)=(4-3)^k+1=2$

Somit haben alle Graphen der Schar die Punkte $P_1(3 \mid 1)$ und $P_2(4 \mid 2)$ gemeinsam.

1.8

$\(h_k$

Die Ableitungsfunktion $\(h_k$ ist folglich nur für die Werte $k=1$ und $k=2$ eine Gerade:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1$

Da die Funktion $h_1(x)$ allerdings eine Gerade mit Steigung $1$ ist und $\(h_1{ }$ eine konstante Funktion, kann die Aussage nur für $k=2$ gelten.

Für $k=2$ soll also gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_2(x)&=& h_2$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x=4.$

An der Stelle $x=4$ muss die Steigung der beiden Graphen gleich sein, es muss also gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_2$

Damit ist die Aussage korrekt.

1.9

$\(h_k$

Wenn $k$ ungerade ist, ist $(k-1)$ gerade und es gilt $(-2)^{k-1}=2^{k-1}.$

Mit $\(h_k$ haben die Tangenten somit jeweils den gleichen Anstieg.

1.10

Geometrische Bedeutung angeben

Die Fläche, die durch die Graphen von $h_k$ und $h_{k+1}$ im Intervall $3 \leq x \leq 4$ eingeschlossen wird, soll den Inhalt $\dfrac{1}{30} \; [\text{FE}]$ besitzen.

Schritt $\text{II}$ erläutern

Im Schritt $\text{II}$ wird zur Ermittlung eines Werts von $k$ der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewandt.

$k$ angeben

Mit dem CAS ergeben sich $k_1=-7$ und $k_2=4.$ Wegen $k \gt 0$ folgt der Wert von $k$ mit $k_2=4.$

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