Gegenseitige Lage von Geraden

Die gegenseitige Lage von Geraden kann in vier Fälle unterteilt werden:

Gegeben sind die zwei Geraden $g:\vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{v}$

1. Möglichkeit: Die Geraden sind zueinander parallel, in diesem Fall sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander und $P$ liegt nicht auf $h.$

2. Möglichkeit: Die Geraden sind identisch, in diesem Fall sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander und $P$ liegt auch auf $h.$

3. Möglichkeit: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$ .

4. Möglichkeit: Die Geraden sind nicht zueiander parallel und schneiden sich auch nicht in einem Punkt. Die Geraden sind windschief zueinander.

Beispiele

Beispiel 1 - Parallele Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden $g:\vec{x}=\pmatrix{2\\1\\-2}+s\cdot \pmatrix{-1\\-1\\2}$ sowie $h:\vec{x}=\pmatrix{1\\4\\2}+t\cdot \pmatrix{2\\2\\-4}.$ Es soll untersucht werden, ob die beiden Geraden parallel zueinander liegen.

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da $\pmatrix{2\\2\\-4}=(-2)\cdot \pmatrix{-1\\-1\\2}$ gilt. Zudem ergibt die Punktprobe von $P(2\mid1\mid-2)$ , dass $P$ nicht auf $h$ liegt.

Also sind die beiden Geraden parallel zueinander.

Beispiel 2 - Sich schneidende Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden $g:\vec{x}=\pmatrix{1\\1\\0}+s\cdot \pmatrix{1\\1\\2}$ sowie $h:\vec{x}=\pmatrix{2\\2\\1}+t\cdot \pmatrix{1\\1\\3}.$ Es soll untersucht werden, ob sich die beiden Geraden schneiden.

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\1\\0}+s\cdot \pmatrix{1\\1\\2}&=&\pmatrix{2\\2\\1}+t\cdot \pmatrix{1\\1\\3} \quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{1\\1\\0}\\[5pt] s\cdot \pmatrix{1\\1\\2}&=&\pmatrix{1\\1\\1}+t\cdot \pmatrix{1\\1\\3} \end{array}$

Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem ableiten:

1. Zeile: $s=1+t$

2. Zeile: $s=1+t$

3. Zeile: $2s=1+3t$

Die 1. Zeile in die 3. Zeile eingesetzt ergibt:

$2(1+t)=1+3t$

$2+2t=1+3t$

$t=1$

$t$ in die 1. und 2. Zeile eingesetzt ergibt jeweils $s=2.$ Also ist das lineare Gleichungssystem lösbar. Somit ist gezeigt, dass sich die Geraden in einem Punkt schneiden.

$g:\vec{x}=\pmatrix{2\\1\\3}+s\cdot \pmatrix{2\\3\\1}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{4\\2\\2}+t\cdot \pmatrix{4\\6\\2}$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da $\pmatrix{4\\6\\2}=2\cdot \pmatrix{2\\3\\1}$ gilt. Zudem ergibt die Punktprobe von $P(2\mid1\mid3)$ , dass $P$ nicht auf $h$ liegt.

Also sind die beiden Geraden parallel zueinander und verschieden.

$g:\vec{x}=\pmatrix{1\\0\\2}+s\cdot \pmatrix{1\\-2\\2}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{2\\0\\3}+t\cdot \pmatrix{-2\\4\\-4}$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da $\pmatrix{-2\\4\\-4}=(-2)\cdot \pmatrix{1\\-2\\2}$ gilt. Zudem ergibt die Punktprobe von $Q(2\mid0\mid3)$ , dass $Q$ nicht auf $g$ liegt.

Also sind die beiden Geraden parallel zueinander und verschieden.

$g:\vec{x}=\pmatrix{1\\1\\3}+s\cdot \pmatrix{1\\4\\-2}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{2\\1\\5}+t\cdot \pmatrix{-2\\-8\\4}$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da $\pmatrix{-2\\-8\\4}=(-2)\cdot \pmatrix{1\\4\\-2}$ gilt. Zudem ergibt die Punktprobe von $Q(2\mid1\mid5)$ , dass $Q$ nicht auf $g$ liegt.

Also sind die beiden Geraden parallel zueinander und verschieden.

$g:\vec{x}=\pmatrix{1\\4\\4}+s\cdot \pmatrix{0,5\\2\\-3,5}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{2\\8\\-3}+t\cdot \pmatrix{2\\8\\-14}$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da $\pmatrix{2\\8\\-14}=4\cdot \pmatrix{0,5\\2\\-3,5}$ gilt. Zudem ergibt die Punktprobe von $Q(2\mid8\mid-3)$ , dass $Q$ auf $g$ liegt.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$g:\vec{x}=\pmatrix{4\\3\\1}+s\cdot \pmatrix{-1\\-1\\1}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{-3\\-4\\-1}+t\cdot \pmatrix{2\\2\\1}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\3\\1}+s\cdot \pmatrix{-1\\-1\\1}&=&\pmatrix{-3\\-4\\-1}+t\cdot \pmatrix{2\\2\\1} \quad \scriptsize \mid\;+ \pmatrix{3\\4\\1}\\[5pt] \pmatrix{7\\7\\2}+s\cdot \pmatrix{-1\\-1\\2}&=&t\cdot \pmatrix{2\\2\\1} \end{array}$

Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem ableiten:

1. Zeile: $7-s=2t$

2. Zeile: $7-s=2t$

3. Zeile: $2+2s=t$

$t=2+2s$ in die 1. Zeile eingesetzt ergibt: $7-s=2(2+2s),$ also $s=\frac{3}{5}$

$s=\frac{3}{5}$ in die 1. und 2. Zeile eingesetzt ergibt $t=\frac{16}{5}.$

$t$ in $h$ eingesetzt ergibt den Schnittpunkt $S(3,4\mid 2,4\mid 2,2).$

$g:\vec{x}=\pmatrix{-1\\-2\\6}+s\cdot \pmatrix{2\\2\\-1}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{1\\3\\11}+t\cdot \pmatrix{0\\1\\2}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\-2\\6}+s\cdot \pmatrix{2\\2\\-1}&=&\pmatrix{1\\3\\11}+t\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{-1\\-2\\6}\\[5pt] s\cdot \pmatrix{2\\2\\-1}&=&\pmatrix{2\\5\\5}+t\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \end{array}$

Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem ableiten:

1. Zeile: $2s=2$

2. Zeile: $2s=5+t$

3. Zeile: $-s=5+2t$

Aus der 1. Zeile folgt $s=1.$

$s=1$ in die 2. Zeile eingesetzt ergibt $t=-3$

$s=1$ und $t=-3$ in die 3. Zeile eingesetzt ergibt eine korrekte Lösung.

$s$ in $g$ eingesetzt ergibt den Schnittpunkt $S(1\mid 0\mid 5).$

$g:\vec{x}=\pmatrix{5\\8\\26}+s\cdot \pmatrix{1\\1\\5}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{4\\2\\8}+t\cdot \pmatrix{-1\\4\\3}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{5\\8\\26}+s\cdot \pmatrix{1\\1\\5}&=&\pmatrix{4\\2\\8}+t\cdot \pmatrix{-1\\4\\3} \quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{4\\2\\8}\\[5pt] \pmatrix{1\\6\\18} +s\cdot \pmatrix{1\\1\\5}&=&t\cdot \pmatrix{-1\\4\\3} \end{array}$

Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem ableiten:

1. Zeile: $1+s=-t$

2. Zeile: $6+s=4t$

3. Zeile: $18+5s=5+3t$

Aus der 1. Zeile folgt $s=-t-1$

$s=-t-1$ in die 2. Zeile eingesetzt ergibt $t=1$

$t=1$ in die 1. Zeile eingesetzt ergibt $s=-2$

$s=-2$ und $t=1$ in die 3. Zeile eingesetzt ergibt eine korrekte Lösung.

$t=1$ in $h$ eingesetzt ergibt den Schnittpunkt $S(3\mid 6\mid 11).$

$g:\vec{x}=\pmatrix{7\\4\\6}+s\cdot \pmatrix{3\\1\\2}$

$h:\vec{x}=\pmatrix{4\\-4\\5}+t\cdot \pmatrix{-1\\2\\-1}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{7\\4\\6}+s\cdot \pmatrix{3\\1\\2}&=&\pmatrix{4\\-4\\5}+t\cdot \pmatrix{-1\\2\\-1} \quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{4\\-4\\5}\\[5pt] \pmatrix{3\\8\\1} +s\cdot \pmatrix{3\\1\\2}&=&t\cdot \pmatrix{-1\\2\\-1} \end{array}$

Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem ableiten:

1. Zeile: $3+3s=-t$

2. Zeile: $8+s=2t$

3. Zeile: $1+2s=-t$

Aus der 1. Zeile folgt $t=-3-3s$

$t=-3-3s$ in die 2. Zeile eingesetzt ergibt $s=-2$

$s=-2$ in die 1. Zeile eingesetzt ergibt $t=3$

$s=-2$ und $t=3$ in die 3. Zeile eingesetzt ergibt eine korrekte Lösung.

$t=3$ in $h$ eingesetzt ergibt den Schnittpunkt $S(1\mid 2\mid 2).$

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