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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Nullstellen

Eine Nullstelle einer Funktion \(f\) ist der \(x\)-Wert eines Schnittpunktes des Graphen von \(f\) mit der \(x\)-Achse.
Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu bestimmen, wird die Gleichung \(f(x)=0\) nach \(x\) aufgelöst.

Nullstellen einer quadratischen Funktion

\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(f(x)=0,\) also \(ax^2+bx+c=0\)
Lösen mit der \(pq\)- oder \(abc\)-Formel.

Nullstellen eines Produkts von Funktionen

\(f(x)=p(x)\cdot q(x)\)
\(f(x)=0,\) also \(p(x)\cdot q(x)=0\)
Lösen durch Ausklammern und anschließendem Betrachen der einzelnen Faktoren des Produkts.
Beispiel: \(f(x)=x^3-4x\)
\(x^3-4x=0,\) also \(x(x^2-4)=0.\) \(x_1=0\) und \(x^2-4=0,\) also \(x^2=4\) und somit \(x_2=2\) und \(x_2=-2.\)

Nullstellen einer biquadratischen Funktion

\(f(x)=ax^4+bx^2+c\)
\(f(x)=0,\) also \(ax^4+bx^2+c=0\)
Lösen durch Substitution \(z=x^2\) und anschließender Rücksubstitution.
Beispiel: \(f(x)=x^4+2x^2-3\)
\(x^4+2x^2-3=0,\) durch Substitution mit \(z=x^2\) folgt \(z^2+2z-3=0\)
Lösung mit \(pq\)-Formel
\(\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{4} \\[5pt] &=& -1 \pm 2 \\[5pt] z_1&=&1\\[5pt] z_2&=&-3 \end{array}\)
Lösung mit \(abc\)-Formel
\(\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}\\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm 4}{2}\\[5pt] z_1&=&1\\[5pt] z_2&=&-3 \end{array}\)
Rücksubstitution:
\(z_1=x^2,\) also \(1=x^2\) und somit \(x_1=1\) und \(x_2=-1\)
\(z_2=x^2,\) also \(-3=x^2\) (keine Lösung)