Ganzrationale Funktionen

Eine ganzrationale Funktion $\boldsymbol{f}$ (auch Polynomfunktion genannt) ist eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Der höchste Exponent gibt dabei den Grad der Funktion an.

Beispiel

$f(x)=2x^2+2x+1,$ dabei ist der Summand $1$ das gleiche wie $1\cdot x^0=1.$

Die ganzzahligen Exponenten sind im Beispiel also $2,$ $1$ und $0.$

Die Funktion ist eine Funktion zweiten Grades, da der höchste Exponent gleich $2$ ist.

Allgemeine Definition

$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x^1+a_0\cdot x^0$ mit $D_f=\mathbb R$ und $n\in\mathbb{N}$ sowie $a_n\neq 0$

Dabei werden die reellen Zahlen $a_n,...,a_1,a_0$ Koeffizienten genannt. $n$ gibt den Grad der Funktion an.

Weitere Beispiele

$f(x)=x^4-3x^2+2x+1\quad$ (Funktion vierten Grades)
$f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x+4\quad$ (Funktion dritten Grades)
$f(x)=2x^5-2\quad$ (Funktion fünften Grades)

Verhalten für $x\rightarrow \pm\infty$

Oft wird untersucht, wie der Graph der Funktion für "unendliche" $x$ verläuft. Das Verhalten wird dabei vom Summanden $a_n\cdot x^n$ , also von dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt.