Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

9.1

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

$\dfrac{x^3 y^4 z}{x^2 z^6}$

2 BE

9.2

Löse die Gleichung.

$2\left(x^2+6\right)=12 x+26 \quad(x \in \mathbb{R})$

4 BE

9.3

Ein Shop für Fanartikel bietet einen Schal und ein Basecap zusammen zum gleichen Preis an wie zwei T-Shirts.
Ein Basecap kostet 14,95 Euro.
Ein Schal und ein T-Shirt kosten zusammen 44,90 Euro.

Berechne den Preis für einen Schal und den Preis für ein T-Shirt.

4 BE

Wahlaufgabe Stochastik

10.1

Beim Korrekturlesen eines neuen Romans mit 900 Seiten wurden die Rechtschreibfehler pro Seite gezählt.
Daraus ergab sich folgende Häufigkeitstabelle:

Fehler pro Seite	Seitenanzahl
0	810
1	55
2	25
3	9
mindestens 4	1

Berechne die relative Häufigkeit für die Seitenanzahl mit 0 Fehlern pro Seite in Prozent.

2 BE

10.2

Ein Glücksrad ist mit Zahlen beschriftet. Es wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass zweimal eine gerade Zahl gedreht wird, beträgt $25 \,\%.$

Zeichne und beschrifte ein Glücksrad so, dass es diesem Ereignis entspricht.

3 BE

10.3

Ein Kanuverleih hat zehn rote und sechs grüne Kanus. Davon werden zwei Kanus in zufälliger Reihenfolge ausgeliehen.

Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar.

2 BE

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden ausgeliehenen Kanus die gleiche Farbe haben.

3 BE

Wahlaufgabe Geometrie

11.1

Gegeben ist eine landwirtschaftliche Fläche $ABCD$ mit den folgenden Werten:

$\begin{aligned} & \overline{AB}=530\,\text{m}, \\ & \overline{BC}=320 \,\text{m}, \\ & \alpha=59,3^{\circ}, \\ & \beta_2=72,3^{\circ}, \\ & \delta_1=55,6^{\circ} .\end{aligned}$

Skizze nicht maßstäblich

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ und gib diesen in Hektar an.

5 BE

11.2

Gegeben ist das unvollständige Körpernetz eines Prismas.
(Maße in cm)

Skizze nicht maßstäblich

Berechne das Volumen dieses Prismas.

4 BE

Stelle die fehlende Teilfläche des Körpernetzes dar.

1 BE

Wahlaufgabe Funktionen

12.1

In Heuschreckenschwärmen verdoppelt sich die Anzahl der Heuschrecken nach jeweils einer Woche.
Am 11. Juli 2022 schätzten die Fachleute die Anzahl der Heuschrecken in einem Heuschreckenschwarm auf $5\,000.$

Berechne die zu erwartende Anzahl der Heuschrecken in diesem Heuschreckenschwarm acht Wochen nach der Schätzung.

2 BE

12.2

Die Waldschlösschenbrücke ist eine Straßenbrücke in Dresden über der Elbe. Sie wird durch zwei Stahlbögen mit einer Spannweite von $148\,\text{m}$ getragen und erreicht dabei eine Höhe von $26\,\text{m}$ über der Elbe.

Von Hajotthu - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link

Mit einer Gleichung der Form $y=a x^2+c$ kann ein Stahlbogen der Brücke annähernd beschrieben werden.

Berechne $a.$

3 BE

Derzeit fahren täglich etwa $35\,000$ Kraftfahrzeuge über die Brücke. Man erwartet, dass sich diese Anzahl in den nächsten Jahren auf etwa $45\,000$ Kraftfahrzeuge täglich erhöht.

Berechne, auf wie viel Prozent sich die Anzahl der Kraftfahrzeuge pro Tag erhöhen wird.

2 BE

12.3

Ordne den Aussagen $A$ bis $C$ jeweils die zugehörige Funktionsgleichung zu.

$A\,$ Der Graph verläuft durch den Punkt $(0\mid 1).$

$B\,$ Die Nullstelle ist $x_0=2$ .

$C\,$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& y=x^3 & (x \in \mathbb{R})\\[5pt] \text{II}& y=x^{-2} & (x \in \mathbb{R}, x \neq 0)\\[5pt] \text{III}& y=2^x & (x \in \mathbb{R})\\[5pt] \text{IV}& y=2 x-4 & (x \in \mathbb{R})\\[5pt] \end{array}$

3 BE

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Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

9.1

$\dfrac{x^3y^4z}{x^2z^6}=\dfrac{xy^4}{z^5}$

9.2

$\begin{array}[t]{rll} 2(x^2+6)&=& 12x+26 \\[5pt] 2x^2+12&=& 12x+26 \quad \scriptsize \mid\;-26 \\[5pt] 2x^2-14&=& 12x \quad \scriptsize \mid\;-12x \\[5pt] 2x^2-12x-14&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2-6x-7&=& 0 \end{array}$

Es gilt $p=-6$ und $q=-7.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-(-7)} \\[5pt] &=& 3\pm\sqrt{16} \\[5pt] &=& 3\pm 4 \end{array}$

$x_1=7\quad x_2=-1$

9.3

$s:$ Schal
$t:$ T-Shirt

Es ergeben sich die folgenden Gleichungen:

$\begin{array}[t]{lll} \text{I}\quad s+14,95&=& 2t \\[5pt] \text{II}\quad s+t&=& 44,90 \\[5pt] \end{array}$

Gleichung $\text{II}$ nach $s$ umstellen:

$\text{II}\quad s=44,90-t$

Einsetzen in $\text{I}:$

$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 44,90-t+14,95&=& 2t \quad \scriptsize \mid\;+t \\[5pt] 59,85&=& 3t \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 19,95&=& t \end{array}$

Einsetzen in $\text{II}:$

$\text{II}\quad s=44,90-19,95=24,95$

Ein Schal kostet $24,95\,\text{€}$ und ein T-Shirt $19,95\,\text{€}.$

Wahlaufgabe Stochastik

10.1

$\dfrac{810}{810+55+25+9+1}=\dfrac{810}{900}=0,9$ $=90\,\%$

10.2

10.3

$r:$ rotes Kanu
$g:$ grünes Kanu

Rechenweg anzeigen

$P(\text{„gleiche Farbe“)}=\dfrac{1}{2}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{2}=50\,\%$ haben beide Kanus die gleiche Farbe.

Wahlaufgabe Geometrie

11.1

Die Länge der Strecke $\overline{BD}$ kann mit dem Sinussatz berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin\alpha}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin\delta_1} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin \alpha \\[5pt] \overline{BD}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin\delta_1}\cdot \sin \alpha \\[5pt] \overline{BD}&=& \dfrac{530\,\text{m}}{\sin 55,6°}\cdot \sin 59,3° \\[5pt] \overline{BD}&\approx& 552\,\text{m} \end{array}$

Damit kann nun der Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{BD}\cdot \sin(\beta_2) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 320\,\text{m}\cdot 552\,\text{m}\cdot \sin(72,3°) \\[5pt] &\approx& 84\,000\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 8,4\,\text{ha} \end{array}$

11.2

Es handelt sich um ein Prisma mit einem Trapez als Grundfläche und einer Höhe von $h=4,0\,\text{cm}.$

Höhe des Trapezes mit dem Satz des Pythagoras berechnen

Hilfsskizze

Rechenweg anzeigen

$h_T= 2,0\,\text{cm}$

Flächeninhalt des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{5,0\,\text{cm}+2,0\,\text{cm}}{2}\cdot 2,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,0\,\text{cm}^2 \end{array}$

Volumen des Prismas berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 7,0\,\text{cm}^2\cdot 4,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& 28\,\text{cm}^3 \end{array}$

Wahlaufgabe Funktionen

12.1

$5\,000\cdot 2^8=1\,280\,000$

Nach acht Wochen sind $1\,280\,000$ Heuschrecken zu erwarten.

12.2

Es gilt $c=26.$ Außerdem sind die Koordinaten des Punkts, auf dem die Brücke die Höhe der Elbe erreicht, durch $E\left(\dfrac{148}{2}\,\bigg \vert \, 0\right)=(74\mid 0)$ gegben. Einsetzen dieser Werte in die Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& a\cdot 74^2+26 \quad \scriptsize \mid\;-26 \\[5pt] -26&=& a\cdot 74^2 \quad \scriptsize \mid\; :74^2 \\[5pt] -0,0047&\approx& a \end{array}$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=35\,000\,\text{Autos}$

$\text{Prozentwert } W=45\,000\,\text{Autos}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{45\,000\,\text{Autos}}{35\,000\,\text{Autos}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 128,6\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen