Pflichtaufgaben 2-8

Im Jahr 2020 waren in Deutschland $8\,361$ Fahrzeuge vom Typ Wartburg und $37\,166$ Fahrzeuge vom Typ Trabant aus der ehemaligen DDR-Produktion zugelassen. Die Summe dieser Fahrzeuge entsprach $0,1 \,\%$ des Fahrzeugbestandes von Deutschland.
Sommer, Gerlinde: Automobile DDR Klassiker sind zunehmend gefragt.
In: TLZ, 4. August 2021, Seite1.

Berechne die Anzahl der Fahrzeuge in Deutschland im Jahr 2020.

3 BE

Im Bundesland Thüringen waren $5\,427$ Fahrzeuge vom Typ Trabant im Jahr 2020 zugelassen.

Stelle diesen Anteil an der Gesamtzahl der in Deutschland zugelassenen Fahrzeuge vom Typ Trabant in einem Kreisdiagramm dar.

5 BE

Gegeben ist die Funktion $f$ durch

$y=f(x)=x^2-6 x+8 \quad(x \in \mathbb{R}).$

Stelle den Graph der Funktion $f$ in einem Koordinatensystem dar.

2 BE

Berechne die Nullstellen von $f.$

2 BE

Frau Hinze kauft für ihren bevorstehenden USA-Urlaub 128,40 US-Dollar. Sie zahlt dafür 120,00 Euro. Herr Mirow kauft am gleichen Tag 160,50 US-Dollar.

Gebühren werden dabei nicht berücksichtigt.
Finanzen: www.finanzen.net (18. September 2023)

Berechne den Betrag in Euro, den Herr Mirow für sein Urlaubsgeld bezahlen muss.

2 BE

Die Abbildung stellt eine Aufschüttung von Sand dar. Der Umfang der Aufschüttung beträgt $61,0 \,\text{m}$ und der Schüttwinkel $\alpha$ ist $32^{\circ}.$

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Höhe $h$ dieser Aufschüttung.

4 BE

Weise allgemein nach, dass für die Berechnung des Volumens $V$ jeder Aufschüttung gilt:

$V=\dfrac{1}{3} \pi r^3 \tan \alpha .$

3 BE

Dargestellt ist ein Fahrradrahmen.

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Längen des Sitzrohrs und des Unterrohrs.

5 BE

Im Radsport gibt es Wettbewerbe im Zeitfahren. Dabei starten die Radfahrer einzeln von einer Rampe.

Skizze nicht maßstäblich

Berechne den Anstiegswinkel $\alpha$ der Rampe.

2 BE

Das Modell einer Honigbiene im Maßstab $15: 1$ steht im Biologieraum.

Berechne die Länge dieser Honigbiene im Original.

Skizze nicht maßstäblich

2 BE

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Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentsatz } p\,\%=0,1\,\%$

$\text{Prozentwert } W=8\,361+37\,166$ $=45\,527\,\text{Autos}$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{45\,527\,\text{Autos}\cdot 100\,\%}{0,1\,\%} \\[5pt] G&=& 45\,527\,000\,\text{Autos} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$\cdot 1\,000$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} & 0,1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 45\,527 \\[5pt] & 100\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 45\,527\,000 \end{array}$

$\cdot 1\,000$

Im Jahr 2020 gab es in Deutschland $45\,527\,000$ Auots.

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=37\,166\,\text{Autos}$

$\text{Prozentwert } W=5\,427\,\text{Autos}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{5\,427\,\text{Autos}}{37\,166\,\text{Autos}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 14,6\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen

$5\,427 \mathrel{\widehat{\approx}} 14,6\,\%$

Der Anteil der Fahrzeuge vom Typ Trabant in Thüringen an der Gesamtzahl der in Deutschland zugelassenen Fahrzeuge dieser Art beträgt $14,6\,\%.$

Anteil im Kreisdiagramm:

$0,146\cdot 360°\approx 53°$

$x$	$f(x)$
$0$	$8$
$1$	$3$
$2$	$0$
$3$	$-1$
$4$	$0$
$5$	$3$
$6$	$8$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] x^2-6x+8&=& 0 \end{array}$

Es gilt $p=-6$ und $q=8.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{9-8} \\[5pt] &=& 3 \pm 1 \end{array}$

$x_1=2\quad x_2=4$

Mit dem Dreisatz gilt:

Rechenweg anzeigen

$160,50\,\text{Dollar} \mathrel{\widehat{=}} 150,00\,\text{€}$

Herr Mirow muss für sein Urlaubsgeld $150,00\,\text{€}$ zahlen.

$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot \pi\cdot r \quad \scriptsize \mid\; :2\cdot \pi \\[5pt] \dfrac{U}{2\cdot \pi}&=& r \\[5pt] \dfrac{61,0\,\text{m}}{2\cdot \pi}&=& r \\[5pt] 9,7\,\text{m}&\approx& r \end{array}$

Damit folgt mit dem Tangens:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{h}{r} \quad \scriptsize \mid\; \cdot r \\[5pt] \tan \alpha\cdot r&=& h \\[5pt] \tan 32°\cdot 9,7\,\text{m}&=& h \\[5pt] 6,1\,\text{m}&\approx& h \end{array}$

Mit der Formel für das Volumen eines Kegels gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h \quad \scriptsize \mid\; h=\tan \alpha\cdot r\\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot \tan \alpha\cdot r\\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot \tan \alpha \end{array}$

Länge des Sitzrohrs berechnen

Mit dem Kosinussatz gilt für die Länge des Sitzrohrs $s:$

Rechenweg anzeigen

$s\approx 36\,\text{cm}$

Länge des Unterrohrs berechnen

Mit dem Kosinussatz gilt für die Länge des Unterrohrs $u:$

Rechenweg anzeigen

$0= u^2-80,7\,\text{cm}\cdot u +1\,234,09\,\text{cm}^2$

Es gilt $p=-80,7$ und $q=1\,234,09.$ Mit der Lösungsformel folgt:

Rechenweg anzeigen

$u_{1/2}\approx 40,35 \pm 19,85$

$u_1=60,2\quad u_2=20,5$

Im Sachzusammenhang passt nur die Lösung $u_1=60,2\,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{75\,\text{cm}}{500\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \sin^{-1}(0,15) \\[5pt] \alpha&\approx& 8,6° \end{array}$

$\dfrac{22,5\,\text{cm}}{15}=1,5\,\text{cm}$

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