Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Stochastik

9.1

Max füllt seinen Bonbonspender mit 10 blauen, 13 roten, 9 weißen und 8 grünen Bonbons.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Max nach einmaligem Betätigen des Spenders ein blaues Bonbon erhält.

1 BE

Max betätigt den Spender zweimal. Erst dann öffnet er die Ausgabeklappe.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ein grünes und ein weißes Bonbon findet.

2 BE

9.2

Bei einem Glücksrad werden die Zahlen „1“, „2“ und „3“ mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt.

Zahl	$1$	$2$	$3$
Wahrscheinlichkeit	$\dfrac{1}{3}$	$25\,\%$	$\dfrac{5}{12}$

Zeichne ein solches Glücksrad.

2 BE

9.3

Der Lehrer zeigt ein Zufallsexperiment mit folgenden Eigenschaften:

Das Experiment ist einstufig.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt $\dfrac{1}{6}.$

Beschreibe ein solches Zufallsexperiment und gib das Ereignis an.

1 BE

Wahlaufgabe Geometrie

Lena und Paul erben Grundstücke. Jeder Quadratmeter dieser Grundstücke ist $52,00\,€$ wert. Lena bekommt das größere Grundstück. Um das Erbe gerecht aufzuteilen, muss sie an Paul Geld zahlen.

Skizzen nicht maßstäblich

Berechne den Geldbetrag, den Lena an Paul zahlen muss.

4 BE

Zeichne das dreieckige Grundstück in einem geeigneten Maßstab.
Gib diesen an.

2 BE

Wahlaufgabe Funktionen

11.1

Die Graphen zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ schneiden sich im Punkt $(2\mid 3).$ Beide Funktionen haben eine gemeinsame Nullstelle bei $x=-1.$

Stelle zwei solche Funktionen im Koordinatensystem $(1\,\text{LE}=1\,\text{cm})$ graphisch dar.

2 BE

Berechne den Abstand der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x).$

1 BE

Gib die Gleichung zu einer dieser Funktionen an.

1 BE

11.2

Kaffee wird in eine Thermoskanne gefüllt. Nach dem Einfüllen nimmt die Termperatur des Kaffees je 5 Minuten um $1\,\%$ ab. Nach drei Stunden hat der Kaffee eine Temperatur von $60^{\circ}C.$

Berechne die Temperatur, die der Kaffee beim Einfüllen hatte.

2 BE

Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

12.1

Robert möchte am Automaten Geld abheben. Seine vierstellige Geheimzahl (PIN) besteht nur aus vier verschiedenen Primzahlen.

Gib eine Möglichkeit für Roberts Geheimzahl an.

1 BE

Robert hebt $160\,€$ ab. Er erhält viermal so viele 5-Euro-Scheine wie 10-Euro-Scheine und halb so viele 20-Euro-Scheine wie 10-Euro-Scheine.

Ermittle die Anzahl der ausgezahlten 5-Euro-, 10-Euro- und 20-Euro-Scheine.

2 BE

12.2

Berechne.

$\dfrac{7,9\cdot 10^5-5,2\cdot 10^5}{2,5\cdot 10^{10}\cdot 5,4\cdot 10^{-6}}$

1 BE

12.3

Löse die Gleichung.

$3x^2+2x=2x^2+3$

2 BE

9.1

Anzahl aller Bonbons: $10+13+9+8=40$
Anzahl blauer Bonbons: $10$

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{blau}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl blaue Bonbons}}{\text{Anzahl alle Bonbons}} \\[5pt] =& \dfrac{10}{40} \\[5pt] =& \dfrac{1}{4} \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4} =25\,\%$ erhält Max nach einmaligem Betätigen des Spenders ein blaues Bonbon.

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen und ein zweistufiges Zufallsexperiment. Die Reihenfolge, in der die Farben gezogen werden, ist jedoch egal. Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{grün und weiß}) \\[5pt] =& P(\text{grün, weiß})+P(\text{weiß, grün})\\[5pt] =& \dfrac{8}{40} \cdot \dfrac{9}{39}+\dfrac{9}{40} \cdot \dfrac{8}{39} \\[5pt] =& \dfrac{6}{25} \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{6}{25}\approx 9,2\,\%$ findet Max ein grünes und ein weißes Bonbon.

9.2

Winkel 1: $\dfrac{1}{3}\cdot 360°=120°$

Winkel 2: $\dfrac{25}{100}\cdot 360°=\dfrac{1}{4}\cdot 360°=90°$

Winkel 3: $360°-120°-90°=150°$

9.3

Ein mögliches Zufallsexperiment ist beispielsweise das Werfen eines fairen Würfels, der mit den Zahlen von $1$ bis $6$ beschriftet ist.

Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}$ ist dann beispielsweise: „Es wird eine 6 gewürfelt.“

Wert des dreieckigen Grundstücks berechnen

Mit dem Sinussatz kann die Größe des Winkels $\beta$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin \gamma} &=& \dfrac{b}{\sin \beta} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin \beta\\[5pt] \dfrac{c}{\sin \gamma}\cdot \sin \beta &=& b \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{c}{\sin \gamma} \\[5pt] \sin \beta &=& b\cdot \dfrac{\sin \gamma}{c} \\[5pt] \sin \beta&=& 50\,\text{m}\cdot \dfrac{\sin 85^{\circ}}{60\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \beta&\approx& 56° \\[5pt] \end{array}$

Anhand der Winkelsumme eines Dreiecks kann nun die Größe des Winkels $\alpha$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180^{\circ} -85^{\circ} - 56^{\circ} \\[5pt] &=& 39^{\circ} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Grundstücks kann dann mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot \sin \alpha\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 50\,\text{m}\cdot 60\,\text{m} \cdot \sin 39^{\circ}\\[5pt] &\approx& 944\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Wert des dreieckigen Grundstücks ist also:

$W_1= 944\,\text{m}^2 \cdot 52,00\,\frac{€}{\text{m}^2} = 49\,088\,€$

Wert des viereckigen Grundstücks berechnen

Das Grundstück hat die Form eines Trapezes. Der Flächeninhalt ergibt sich daher zu:

$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h\\[5pt] &=& \dfrac{46\,\text{m}+28\,\text{m}}{2}\cdot 30\,\text{m}\\[5pt] &=& 1\,110\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Wert des viereckigen Grundstücks ist also:

$W_2= 1\,110\,\text{m}^2 \cdot 52,00\,\frac{€}{\text{m}^2} = 57\,720\,€$

Zu zahlenden Betrag berechnen

Differenz der Beträge: $57\,720\,€-49\,088\,€=8\,632\,€$

Lena muss die Häfte dieser Differenz an Paul zahlen, um das Erbe gerecht aufzuteilen.

$8\,632\,€:2=4\,316\,€$

Lena muss $4\,316\,€$ an Paul zahlen.

Ein sinnvoller Maßstab ist beispielsweise $1:1\,000.$ Dann gilt für die Seitenlängen:

$50\,\text{m} = 5\,\text{cm}$
$60\,\text{m} = 6\,\text{cm}$

Das Dreieck kann dann konsturiert werden, indem zunächst die 5 cm lange Strecke eingezeichnet und auf einer Seite der Winkel von 85° abgetragen wird. Auf der anderen Seite wird mit einem Zirkel die Länge von 6 cm abgetragen.

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

11.1

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten. Eine ist beispielsweise die Folgende:

Die Stecke $\overline{SN}$ kann berechnet werden, indem wie in der Skizze ein Stützdreieck eingezeichnet wird, dessen Hypotenuse die Strecke $\overline{SN}$ ist.

Die Längen der Strecken können der Abildung entnommen werden.

Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SN}^2&=& (3\,\text{cm})^2 +(3\,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{SN}^2&=& 18\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{SN}&\approx& 4,24\,\text{cm} \end{array}$

Die beiden Schnittpunkte haben einen Abstand von ungefähr $4,24\,\text{cm}.$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Hier wird beispielhaft die Gleichung der Funktion $g(x)$ aus Teilaufgabe a) bestimmt. Der Skizze kann entnommen werden, dass die Gerade durch die beiden Punkte die Steigung $m=1$ hat. Zudem schneidet sie die $y$ -Achse an der Stelle $y= 1,$ der $y$ -Achsenabschnitt beträgt also $n=1.$

Eine zugehörige Gleichung ist folglich:

$y= g(x)= x+1$

11.2

Da die Temperatur um einen festen Prozentsatz abnimmt handelt es sich um einen exponentiellen Verfall mit einer Funktionsgleichung der Form $G_n=G_0\cdot q^n,$ wobei $q\lt 1$ gilt.

$G_n=60°C$
Abnahmerate: $p\,\%=1\,\%$

Da 3 Stunden $36\cdot 5 \,\text{Minuten}$ entsprechen, ergibt sich die folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} G_n&=& G_0\cdot q^n \\[5pt] 60°C&=& G_0\cdot 0,99^{36} \quad \scriptsize \mid\; :0,99^{36}\\[5pt] \dfrac{60°}{0,99^{36}}&=& G_0 \\[5pt] 86°C&\approx& G_0 \end{array}$

Der Kaffee hatte beim Einfüllen eine Temperatur von 86°C.

12.1

Roberts vierstellige Geheimzahl besteht aus vier verschiedenen Primzahlen, die aus nur einer Ziffer bestehen dürfen. Alle einstelligen Primzahlen sind:

$2,3,5,7$

Eine mögliche Geheimzahl ist also $2357.$

Anzahl der 10-Euro-Scheine: $x$
Anzahl der 5-Euro-Scheine: $4x$
Anzahl der 20-Euro-Scheine: $0,5x$

Aus dem Aufgabentext ergibt sich dann folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 160\,€&=& 4\cdot x \cdot 5\,€ + x\cdot 10\,€+ 0,5\cdot x\cdot 20\,€ \\[5pt] 160&=& 20x +10x +10x \\[5pt] 160&=& 40x \quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] 4&=& x \end{array}$

Es werden $4\cdot 4=16$ von den 5-Euro-Scheinen, 4 von den $10$ -Euro-Scheinen und $0,5\cdot 4=2$ von den 20-Euro-Scheinen ausgezahlt.

12.2

$\begin{array}[t]{rll} & \dfrac{7,9\cdot 10^5-5,2\cdot 10^5}{2,5\cdot 10^{10}\cdot 5,4\cdot 10^{-6}} \\[5pt] =& \dfrac{(7,9-5,2)\cdot 10^5}{2,5\cdot 5,4\cdot 10^{10-6}} \\[5pt] =& \dfrac{2,7\cdot 10^5}{2,5\cdot 5,4\cdot 10^{4}} \\[5pt] =& \dfrac{2,7\cdot 10^{5-4}}{2,5\cdot 5,4} \\[5pt] =& \dfrac{2,7\cdot 10^{1}}{13,5} \\[5pt] =& \dfrac{27}{13,5}\\[5pt] =& 2 \end{array}$

12.3

Umformen der Gleichung in Normalform:

$\begin{array}[t]{rll} 3x^2+2x&=&2x^2+3 &\quad \scriptsize \mid\; -2x^2 \\[5pt] x^2 +2x&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x^2+2x-3&=& 0 \end{array}$

Es gilt $p=2$ und $q=-3.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=& -1\pm \sqrt{1+3} \\[5pt] &=& -1\pm 2 \\[5pt] x_1&=& -1-2 \\[5pt] &=&-3 \\[10pt] x_2&=& -1+2 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Die Lösungen der Gleichung sind $x_1 = -3$ und $x_2=1.$