Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Geometrie

8.1

Ein Parallelogramm hat die Seitenlängen $7,0\,\text{cm}$ und $12,0\,\text{cm}.$ Ein Innenwinkel ist $55^{\circ}.$

Berechne die Länge einer Diagonalen des Parallelogramms.

2 BE

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

2 BE

Begründe, dass der Flächeninhalt eines jeden Parallelogramms $(\alpha\neq 90^{\circ})$ immer kleiner als der Flächeninhalt des seitengleichen Rechtecks ist.

2 BE

8.2

Auf einem Schild am Baggersee steht:

Burgsee

größte Tiefe: $25,5 \,\text{m}$
Seefläche: $102\,887 \,\text{m}^2$
Länge Rundweg um den See: $1\,150 \,\text{m}$

Blick auf eine malerische Landschaft mit einem Fluss, buntem Laub, Weinbergen und einer Burgruine auf einem Hügel.

Entscheide, ob der Burgsee annähernd kreisförmig ist.
Begründe rechnerisch.

4 BE

Wahlaufgabe Funktionen

9.1

Die Graphen der Funktionen $y=f(x)=x^2+1$ und $y=g(x)=x+3$ mit $\,$ $x\in\mathbb{R}$ schneiden sich.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts im ersten Quadranten.

3 BE

9.2

Der Querschnitt einer Wasserrutsche lässt sich näherungsweise durch den Graphen von

$y=f(x)=0,5x^2-4,5$ mit $\,$ $x\in\mathbb{R}$ beschreiben.

Eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Bunte Wasserrutschen in einem Freizeitpark, umgeben von Wasser und Pflanzen.

Stelle den Graphen von $f(x)$ in einem Koordinatensystem dar.

3 BE

Gib die Tiefe der Wasserrutsche an.

1 BE

Berechne die Breite der Wasserrutsche.

3 BE

Wahlaufgabe Stochastik

10.1

Die Tabelle enthält die Verteilung der Noten einer Leistungskontrolle der Klasse 10a.

Note	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Anzahl der Schüler	$3$	$5$	$8$	$3$	$1$	$0$

Berechne den Durchschnitt dieser Noten.

2 BE

In der Verteilung der Noten der Klasse 10b ist die Anzahl der Note $3$ nicht mehr lesbar.
Der Durchschnitt der Noten beträgt $2,5.$

Note	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Anzahl der Schüler	$4$	$8$		$5$	$0$	$0$

Ermittle die Anzahl der Schüler, die diese Leistungskontrolle geschrieben haben.

4 BE

Zwei Schüler der Klasse 10b schreiben die Leistungskontrolle nach.
Der Durchschnitt ändert sich dadurch nicht.

Gib eine Möglichkeit für die Noten dieser Schüler an.

1 BE

10.2

Auf einem Tablett sind 30 Pfannkuchen. Der Bäcker hat 10 Pfannkuchen mit Pflaumenmus und die restlichen mit Marmelade gefüllt. Jan wählt zufällig zwei Pfannkuchen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jan mindestens einen Pfannkuchen mit Pflaumenmus entnimmt.

3 BE

Wahlaufgabe Arithmetik/ Algebra

11.1

Berechne den Term.

$\dfrac{3,5\cdot10^3-2,5\cdot10^3}{1,5\cdot10^2+3,5\cdot10^2}$

1 BE

11.2

Löse die Gleichung.

$x^2+3=2\,(3-x^2)$

4 BE

11.3

Das menschliche Haar wächst durchschnittlich $0,3\,\text{mm}$ pro Tag.
Eine Europäerin hat etwa $1,2\cdot10^5$ Haare auf dem Kopf.

Berechne die gesamte Länge des Haarwuchses auf dem Kopf an einem Tag.
Gib das Ergebnis in Meter an.

2 BE

Bestimme die Anzahl der Jahre, die ein Haar wachsen müsste, um einen Meter lang zu werden.

3 BE

8.1

Nach Aufgabenstellung gilt $\alpha=55°$ und damit folglich $\beta=125°.$ Mit dem Kosinussatz gilt dann:

Rechenweg anzeigen

$e \approx 17\,\text{cm}$

Rechenweg anzeigen

$f \approx 9,8\,\text{cm}$

Die Länge der Diagonale $f$ ist $17\,\text{cm}$ und die Länge der Diagonale $e$ ist $9,8\,\text{cm}.$

Die Diagonale $f$ teilt das Parallelogramm in zwei gleich große Dreiecke. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks kann wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 12\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm}\cdot \sin 55° \\[5pt] &\approx& 34,4\,\text{cm}^2 \end{array}$

Damit folgt für den Flächeninhalt des Parallelogramms:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_D \\[5pt] &=& 2\cdot 34,4\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 68,8\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt Rechteck: $A_R=a\cdot b$

Flächeninhalt Parallelogramm: $A_P=a\cdot h_a$ mit $h_a=b\cdot \sin \alpha$

Das Parallelogramm hat also einen Flächeninhalt von $A_P=a\cdot b\cdot \sin \alpha.$

Da für $0\lt \alpha \lt 90°$ der Wert von $\sin \alpha$ immer kleiner als $1$ ist, gilt:

$A_R=a\cdot b\gt a\cdot b\cdot \sin \alpha=A_P.$

Damit ist gezeigt, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms stets kleiner ist als der Flächeninhalt des seitengleichen Rechtecks.

8.2

Wenn der Burgsee annähernd kreisförmig ist, muss die Länge $u$ des Rundwegs ungefähr dem Umfang eines Kreises mit folgendem Radius entsprechen:

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] 1\,150\,\text{m}&=& 2 \cdot \pi \cdot r \quad \scriptsize \mid\; :2\cdot \pi\\[5pt] 183\,\text{m}&\approx& r \end{array}$

Der Flächeninhalt eines möglichen Kreises beträgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi\cdot r^2 \\[5pt] &\approx& \pi\cdot (183\,\text{m})^2 \\[5pt] &\approx& 105\,209\,\text{m}^2 \end{array}$

Der berechnete Flächeninhalt und der Oberflächeninhalt des Sees liegen nahe beieinander. Es könnte sich also annähernd um eine Kreisform handeln.

9.1

Grafische Lösung

$\color{#ffffff}{x}$	-2	-1	0	1	2
$\color{#ffffff}{y=f(x)}$	5	2	1	2	5

$\color{#ffffff}{x}$	-2	-1	0	1	2
$\color{#ffffff}{y=g(x)}$	1	2	3	4	5

Der Schnittpunk im ersten Quadranten hat die Koordinaten $S(2\mid 5).$

Rechnerische Lösung

Für den Schnittpunkt muss gelten:

$\begin{array}{rll} x^2+1&=& x+3 \quad \scriptsize\mid\;-x\\[5pt] x^2-x+1&=& 3 \quad \scriptsize\mid\,-3\\[5pt] x^2-x-2&=& 0 \end{array}$

Es gilt $p=-1$ und $q=-2.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-(-2)} \\[5pt] x_{1/2}&=& 0,5 \pm \sqrt{2,25} \\[5pt] x_{1/2}&=& 0,5 \pm 1,5 \\[5pt] x_{1}&=& 0,5 + 1,5 = 2 \\[5pt] x_{2}&=& 0,5 - 1,5 = -1 \\[5pt] \end{array}$

Der Schnittpunkt mit dem $x$ -Wert $x_2$ liegt nicht im ersten Quadranten.

$g(x_1)=g(2)=2+3=5$

Der Schnittpunkt im ersten Quadranten ist $S(2|5)$ .

9.2

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
-3	0
-2	-2,5
-1	-4
0	-4,5
1	-4
2	-2,5
3	0

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist $y=-4,5.$ Da eine Längeneinheit in der Realität einem Dezimeter entspricht, ist die Wasserrutsche $4,5\,\text{dm}$ tief.

Die Breite der Rutsche ist durch den Abstand der beiden Nullstellen gegeben.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 0,5x^2-4,5&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;+4,5 \\[5pt] 0,5x^2&=& 4,5 \quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x^2&=& 9 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x&=& \pm 3 \end{array}$

Die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=-3$ haben einen Abstand von $6\,\text{LE}\mathrel{\widehat{=}}6\,\text{dm}.$ Die Wasserrutsche ist also $6\,\text{dm}$ breit.

10.1

Anzahl vergebener Noten: $3+5+8+3+1+0=20$

Summe der Werte der vergebenen Noten: $3 \cdot 1+5 \cdot 2+8 \cdot 3+3 \cdot 4+1 \cdot 5+0 \cdot 6=54$

$\overline{x}=\dfrac{54}{20}=2,7$

Der Notendurchschnitt beträgt 2,7.

Um herauszufinden, wie viele Schüler die Leistungskontrolle geschrieben haben, muss die Anzahl $y$ der Schüler bestimmt werden, die eine 3 geschrieben haben.

Rechenweg anzeigen

$y=5$

5 Schüler haben die Note 3 geschrieben. Für die Anzahl $n$ der Schüler folgt:

$n=4+8+5+5+0+0=22$

22 Schüler haben die Leistungskontrolle geschrieben.

Der Schnitt bleibt unverändert, wenn die beiden Nachschreiber ebenfalls einen Notendurchschnitt von 2,5 erreichen. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Es genügt jedoch, eine Möglichkeit anzugeben.

Der eine Schüler schreibt eine 2 und der andere eine 3:
$\overline{x}=\dfrac{2+3}{2}=2,5$
Der eine Schüler schreibt eine 1 und der andere eine 4:
$\overline{x}=\dfrac{1+4}{2}=2,5$

10.2

$P:$ Pflaumenmus
$M:$ Marmelade

Mit den Pfadregeln folgt für das Ereignis $E:$ „Jan entnimmt mindestens einen Pfannkuchen mit Pflaumenmus.“:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& \dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{9}{29}+\dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{20}{29}+\dfrac{20}{30} \cdot \dfrac{10}{29} \\[5pt] &=& \dfrac{90}{870}+\dfrac{200}{870}+\dfrac{200}{870}\\[5pt] &=& \dfrac{49}{87} \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{49}{87}\approx 56,3\,\%$ entnimmt Jan mindestens einen Pfannkuchen mit Pflaumenmus.

11.1

$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{3,5\cdot10^3-2,5\cdot10^3}{1,5\cdot10^2+3,5\cdot10^2} \\[5pt] =& \dfrac{(3,5-2,5)\cdot 10^3}{(1,5+3,5)\cdot 10^2} \\[5pt] =& \dfrac{1\cdot 10^3}{5\cdot 10^2} \\[5pt] =& \dfrac{1}{5}\cdot 10^1 \\[5pt] =& 2 \end{array}$

11.2

$\begin{array}[t]{rll} x^2+3&=& 2(3-x^2) \\[5pt] x^2+3&=& 6-2x^2 \quad \scriptsize \mid\; +2x^2\\[5pt] 3x^2+3&=& 6 \quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 3x^2&=& 3 \quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x^2&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& -1 \end{array}$

11.3

Wachstum eines Haares an einem Tag: $\ell_1=0,3\,\text{mm}$
Anzahl der Haare: $n=1,2\cdot 10^5$

$\begin{array}[t]{rll} \ell&=& n\cdot \ell_1 \\[5pt] &=& 1,2\cdot 10^5\cdot 0,3\,\text{mm}\\[5pt] &=& 120\,000\cdot 0,3\,\text{mm}\\[5pt] &=& 36\,000\,\text{mm}\\[5pt] &=& 36\,\text{m} \end{array}$

Der gesamte Haarwuchs an einem Tag beträgt $36\,\text{m}.$

Haarlänge, die erreicht werden soll: $\ell=1\,\text{m}=1\,000\,\text{mm}$
Wachstum eines Haares: $\ell_1=0,3\,\frac{\text{mm}}{d}$

Berechnung der Zeit $t$ in Tagen:

$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{\ell}{\ell_1} \\[5pt] &=& \dfrac{1\,000\,\text{mm}}{0,3\,\frac{\text{mm}}{\text{d}}} \\[5pt] &\approx& 3\,333,3\,\text{d} \end{array}$

Umrechnung in Jahre:

$\begin{array}[t]{rll} t&\approx& \dfrac{3\,333,3}{365}\,\text{Jahre} \\[5pt] &\approx& 9,1\,\text{Jahre} \end{array}$

Nach ungefähr 9 Jahren ist ein Haar einen Meter lang.