Pflichtaufgaben 2-8

Für Lebensmittel gilt in Deutschland ein Mehrwertsteuersatz von $7 \,\%$ . Eine Torte kostet ohne Mehrwertsteuer $18,00\,€.$

Berechne den Kaufpreis der Torte mit der Mehrwertsteuer.

2 BE

Der Kaufpreis für ein Stück Fleisch beträgt $27,82\,€$ mit der Mehrwertsteuer.

Berechne die Mehrwertsteuer für dieses Stück Fleisch.

3 BE

Gegeben ist die Funktion $y=f(x)=x^{-2}$ mit $x \neq 0 ;\, x \in \mathbb{R}.$

Erstelle eine Wertetabelle und stelle die Funktion $f(x)$ mindestens im Intervall $-2,5 \leq x \leq 2,5$ graphisch dar.

4 BE

Eine weitere Funktion $g(x)$ ist durch folgende Wertetabelle gegeben:

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{g(x)}$
$0$	$0$
$0,5$	$0,7$
$1$	$1$
$1,5$	$1,2$
$2$	$1,4$
$2,5$	$1,6$
$3$	$1,7$
$3,5$	$1,9$
$4$	$2$

Stelle die Funktion $g(x)$ im selben Koordinatensystem graphisch dar.
Gib die Funktionsgleichung von $g(x)$ an.

2 BE

Die Graphen $f$ und $g$ schneiden sich in einem Punkt.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes von $f$ und $g$ an.

1 BE

Die Grundfläche eines Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=4,0\,\text{cm}.$ Die Höhe des Prismas ist mit $h=5,0\,\text{cm}$ gegeben.

Stelle den Körper auf unliniertem Papier dar.

2 BE

Berechne die Kantenlänge eines volumengleichen Würfels.

3 BE

Gegeben ist folgende Darstellung:

Skizze nicht maßstäblich

Berechne aus den Angaben die Höhe $h$ bis zur Wolke.

2 BE

Beim Kugelstoßen wurden folgende Weiten ermittelt:

$5,60\,\text{m}$

$5,80\,\text{m}$

$5,40\,\text{m}$

$5,60\,\text{m}$

$6,20\,\text{m}$

Gib die Spannweite an.

1 BE

Berechne das arithmetische Mittel.

2 BE

Ein landwirtschaftlicher Betrieb stellt Pflanzensamen her. Ausgehend von $5000$ Pflanzensamen wächst die Anzahl der Pflanzensamen jedes Jahr um $60 \,\%$ .

Berechne die Anzahl der Pflanzensamen nach zwei Jahren.

2 BE

Ein anderer Betrieb hat in $3$ Jahren seinen Pflanzenbestand von $300$ Pflanzen auf $600$ Pflanzen gesteigert. Die Steigerung erfolgt ebenfalls exponentiell.

Berechne die jährliche prozentuale Steigerung der Pflanzenanzahl.

3 BE

Skizze nicht maßstäblich

Für das Dreieck $A B C$ gilt:

$\overline{AD}=\overline{BD}$

Zeige allgemein, dass die Flächeninhalte der Dreiecke $ADC$ und $BCD$ gleich groß sind.

3 BE

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$\text{Grundwert } G=18,00 \,€$

$\text{Mehrwertsteuersatz } p\,\% =7\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& \dfrac{18,00 \,€\cdot 7\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&\approx& 1,62\,€ \end{array}$

Die Torte kostet inklusive Mehrwertsteuer $18,00\,€+1,62\,€=19,26\,€.$

$\text{Kaufpreis mit Mehrwertsteuer } W=27,82\,€$

$\text{Mehrwertsteuersatz } p\,\%=7\,\%$

Der Wert $W$ entspricht dem um $7\,\%$ erhöhten Grundwert. Für den Kaufpreis mir Mehrwertsteuer ergibt sich also ein Prozentsatz von $107\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{27,82\,€\cdot 100\,\%}{107\,\%} \\[5pt] G&\approx& 26,00\,€ \end{array}$

Die Mehrwertsteuer beträgt also $27,82\,€-26\,€=1,82\,€.$

$x$	$f(x)$
$-2,5$	$0,16$
$-2$	$0,25$
$-1,5$	$0,44$
$-1$	$1$
$-0,5$	$4$
$0$	$-$
$0,5$	$4$
$1$	$1$
$1,5$	$0,44$
$2$	$0,25$
$2,5$	$0,16$

Funktion graphisch darstellen

Funktionsgleichung angeben

Der Graph von $g(x)$ gehört zu einer Wurzelfunktion.

Vermutete Funktionsgleichung: $g(x)= \sqrt{x}$

$\color{#ffffff}{x}$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$
$\color{#ffffff}{y=g(x)}$	$0,7$	$1$	$1,2$	$1,4$

Die Punkte des Graphen stimmen mit den Werten aus der Wertetabelle überein. Es gilt also:

$y=g(x)=\sqrt{x}$

Der Abbildung und den Wertetabellen aus Teilaufgabe b) kann entnommen werden, dass sich die Graphen $f$ und $g$ im Punkt $S(1\mid 1)$ schneiden.

Es gibt verschiedene Darstellungsformen. Gefordert ist jedoch nur eine.

Zweitafelbild

Schrägbild

Körpernetz

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Zunächst muss das Volumen des Prismas berechnet werden. Für die Höhe der Grundfläche des Prismas gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} h_G^2+\left(\dfrac{4,0\,\text{cm}}{2}\right)^2&=& (4,0\,\text{cm})^2 \\[5pt] h_G^2+4,0\,\text{cm}^2&=& 16,0\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; -4,0\,\text{cm}^2\\[5pt] h_G^2&=& 12,0\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] h_G&=& \sqrt{12}\,\text{cm} \end{array}$

Damit lässt sich das Volumen des Prismas berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{12}\,\text{cm} \cdot 4,0\,\text{cm}\cdot 5,0\,\text{cm}\\[5pt] &=& 34,6\,\text{cm}^3 \end{array}$

Für die Kantenlänge $a$ eines volumengleichen Würfels muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} a^3&=& 34,6\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,} \\[5pt] a&=& 3,3\,\text{cm} \end{array}$

Die Kanten eines volumengleichen Würfels sind ungefähr $3,3\,\text{cm}$ lang.

Mit dem Strahlensatz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{150\,\text{m}}{200\,\text{m}}&=& \dfrac{h}{200\,\text{m}+300\,\text{m}} \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=& \dfrac{h}{500\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 500\,\text{m} \\[5pt] 375\,\text{m}&=& h \end{array}$

Die Höhe bis zur Wolke beträgt $375\,\text{m}.$

$\begin{array}[t]{rll} R&=& x_{\text{max}}-x_{\text{min}} \\[5pt] &=& 6,20\,\text{m}-5,40\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,80\,\text{m} \end{array}$

Die Spannweite beträgt $0,80\,\text{m}.$

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}= 5,72\,\text{m}$

Es handelt sich um exponentielles Wachstum.

Anfangswert: $K_0=5\,000$

Wachstum: $p\,\%=60\,\%$

Anzahl der Jahre: $n=2$

Mit der Wachstumsformel $K_n=K_0\cdot \left(\dfrac{100\,\%+p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ kann die Anzahl der Samen nach 2 Jahren berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} K_2&=& 5\,000\cdot \left(\dfrac{100\,\%+60\,\%}{100\,\%}\right)^2 \\[5pt] &=& 5\,000\cdot 1,6^2 \\[5pt] &=& 12\,800 \end{array}$

Nach zwei Jahren sind es $12\,800$ Pflanzensamen.