Pflichtaufgaben

Biokunststoffe sind aus nachwachsenden Rohstoffen hergestellte Kunststoffe.
In der Tabelle ist die weltweite Produktion von Biokunststoffen angegeben.

Jahr	Biokunststoffe in 1000 Tonnen
2008	276
2009	434
2010	568
2011	964
2012	1 443

Nach: Biobasierte Wirtschaft als Wachstumstreiber. In: Neue Produkte: Aus Natur gemacht. Bundesministerium für Ernährung, Landwirtschaft und Verbraucherschutz, S. 23.

Stelle diesen Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm dar.

2 BE

Auf wie viel Prozent hat sich die weltweite Produktion von Biokunststoffen im Jahr 2012 gegenüber dem Jahr 2011 erhöht?

1 BE

Für das Jahr 2016 wird angenommen, dass sich die weltweite Produktion von Biokunststoffen gegenüber 2012 etwa vervierfacht.

Zeige, dass man bei dieser Annahme von einer jährlichen Zunahme von $42\,\%$ ausgeht.

1 BE

Gegeben sind die Dreiecke $ABC$ und $DEF.$

Skizzen nicht maßstäblich

Zeige rechnerisch, dass etwa $\overline{AB} = \dfrac{1}{2} \overline{DE}$ gilt.

3 BE

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}[t]{lllllll} \text{I}&y&+&3&=& x \\[5pt] \text{II}&2y&+&4x&=& 6 \end{array}$

3 BE

Gegeben sind die Funktionen $y=f(x)=x^2-6x+6$ und $y=g(x)=x^3$ mit $x\in \mathbb R.$

Berechne die Nullstellen von $f(x).$

1 BE

Stelle $f(x)$ und $g(x)$ in ein und demselben Koordinatensystem $(1\,\text{LE} = 1\,\text{cm})$ graphisch dar.

2 BE

Der Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ ist $A.$ Der Scheitelpunkt von $f(x)$ ist $S.$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AS}.$

1 BE

Für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:

$A=128\,\text{cm}^2$ und
$b=2a^2$

Berechne das Verhältnis der Längen der Rechteckseiten.

2 BE

Die Rappbodetalsperre hat die höchste Staumauer Deutschlands. In ihrer Nähe befindet sich die längste Doppelseilrutsche Europas. Hier können Mutige an einem $12\,\text{mm}$ dicken Stahlseil eine Strecke von $1\,000\,\text{m}$ zurücklegen und dabei einen Höhenunterschied von $120\,\text{m}$ überwinden.

Berechne den Neigungswinkel dieser Doppelseilrutsche.

1 BE

Ein Quader ist $2,20\,\text{m}$ lang, $1,20\,\text{m}$ breit und $1,50\,\text{m}$ hoch.

Zeichne ein Netz dieses Quaders im Maßstab 1:50.

2 BE

Ein normaler Spielwürfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 wird einmal geworfen.

Gib die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Augenzahl, die größer als 4 ist, an.

1 BE

Ein zweiter Würfel ist auf jeder Seite mit einem Buchstaben beschriftet. Der Buchstabe $A$ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{3}$ gewürfelt.

Gib die Anzahl der Seiten mit dem Buchstaben $A$ an.

1 BE

Ein weiterer Würfel ist wie im Bild beschriftet. Mit diesem wird zweimal nacheinander gewürfelt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“.

1 BE

Kugelförmige Pralinen mit einem Durchmesser von $3\,\text{cm}$ werden einzeln in quadratische Folienblätter eingewickelt. Der Flächeninhalt eines Blattes ist 2,5-mal so groß wie der Oberflächeninhalt einer Praline.

Berechne die Seitenlänge eines Folienblattes.

2 BE

Es bietet sich ein Säulendiagramm an. Andere Diagramme sind jedoch auch möglich.

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=964\,000\,\text{t}$

$\text{Prozentwert } W=1\,443\,000\,\text{t}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{1\,443\,000\,\text{t}}{964\,000\,\text{t}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 149,7\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen

$1\,443\,000\,\text{t} \mathrel{\widehat{=}} 149,7\,\%$

Die weltweite Produktion von Biokunststoffen ist auf $149,7\,\%$ gestiegen.

Der vierfache Wert der Produktion in 2012 beträgt:

$W_4=4\cdot 1\,443\,000\,\text{t}=5\,772\,000\,\text{t}$

Dieser Wert soll ungefähr dem Wert ensprechen, der sich bei einer jährlichen Zunahme von $42\,\%$ ergibt.

$\text{Anfangswert } K_0=1\,443\,000\,\text{t}$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=42\,\%$

$\text{Zeit } n=4 \,\text{Jahre}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} K_4&=& 1\,443\,000\,\text{t}\cdot \left(1+\dfrac{42\,\%}{100\,\%}\right)^4\\[5pt] &=& 1\,443\,000\,\text{t}\cdot \left(1,42\right)^4\\[5pt] &\approx& 5\,867\,049\,\text{t} \\[5pt] \end{array}$

Das Ergebnis stimmt ungefähr mit dem vierfachen Wert des Wertes aus 2012 überein.

Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ lässt sich mit dem Kosinussatz berechnen.

Rechenweg anzeigen

$\overline{AB} \approx 4,6\,\text{cm}$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt für die Länge der Strecke $\overline{DE}:$

Rechenweg anzeigen

$9,2\,\text{cm} \approx \overline{DE}$

Es muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{A B}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{DE} \\[5pt] 4,6\,\text{cm}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 9,2\,\text{cm}\\[5pt] 4,6\,\text{cm}&=& 4,6\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

Das angegebene Streckenverhältnis ist richtig.

Das Gleichungssystem kann mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden.

$\begin{array}[t]{lllllll} \text{I}&y&+&3&=& x \\[5pt] \text{II}&2y&+&4x&=& 6 \end{array}$

Umstellen der Gleichung $\text{I}$ nach $y$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y+3&=& x \quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] y&=& x-3 \end{array}$

Einsetzten von $y=x-3$ in die Gleichung $\text{II}:$

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (x-3)+4x&=& 6 \\[5pt] 2x-6+4x&=& 6 \\[5pt] 6x-6&=& 6 \quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 6x&=& 12 \quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

Einsetzen von $x=2$ in die Gleichung $\text{I}:$

$y=2-3=-1$

Das Gleichungssystem hat die Lösung $\mathbb L=\{(2\mid -1)\}.$

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung $f(x)=0.$ Diese lassen sich mit der Lösungsformel berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^2-6x+6 \\[5pt] 0&=&x^2-6x+6 \end{array}$

Es gilt $p=-6$ und $q=6.$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}\\[5pt] x_{1/2}&=& - \dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - 6}\\[5pt] x_{1/2}&=& 3 \pm \sqrt { 3^2 - 6}\\[5pt] x_{1/2}&=& 3 \pm \sqrt {3}\\[5pt] x_{1}&\approx& 3 + 1,7\\[5pt] &=& 4,7\\[10pt] x_{2}&=& 3 - 1,7\\[5pt] &\approx& 1,3\\[5pt] \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstellen $x_1\approx 4,7$ und $x_2 \approx 1,3.$

Bei der Funktion $f(x)$ handelt es sich um eine verschobene Normalparabel. Um diese grafisch darstellen zu können, wird der Scheitelpunkt berechnet:

$y=f(x)=x^2-6x+6$

Es gilt $p=-6$ und $q=6.$

$S\left(-\dfrac{p}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{p^2}{4}+q\right)$
$S\left(-\dfrac{-6}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{(-6)^2}{4}+6\right)$

$S(3\mid -3)$

Für die Funktion $g(x)$ wird eine Wertetabelle angelegt.

$\color{#ffffff}{x}$	-2	-1	0	1	2
$\color{#ffffff}{y}$	-8	-1	0	1	8

Damit können die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem dargestellt werden.

Die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BS}$ lassen sich aus der Skizze ablesen.

Skizze

Mit dem Satz des Pythagoras folgt für die Länge der Strecke $\overline{AS}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}^2&=& \overline{AB}^2+\overline{BS}^2 \\[5pt] \overline{AS}^2&=& (4\,\text{cm})^2+(2\,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{AS}^2&=& 20\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AS}&\approx& 4,5\,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $\overline{AS}$ ist ungefähr $4,5\,\text{cm}$ lang.

Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt $A=a\cdot b.$

Einsetzen von $A=128\,\text{cm}^2$ und $b=2a^2$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 128&=& a\cdot 2a^2 \\[5pt] 128&=& 2a^3 \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 64&=& a^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,} \\[5pt] 4&=& a \end{array}$

Die Seite $a$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Damit gilt für die Länge der Seite $b:$

$b=2\cdot 4^2=32$

Die Seite $b$ ist $32\,\text{cm}$ lang. Damit folgt für das Verhältnis der beiden Rechteckseiten:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=1:8$

Das Verhältnis der Längen der Rechteckseiten beträgt $1: 8.$

Skizze des Sachverhalts:

Der Neigungswinkel $\alpha$ kann wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{120\,\text{m}}{1\,000\,\text{m}}\\[5pt] \sin(\alpha)&=& 0,12 \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 6,9° \end{array}$

Die Größe des Neigungswinkels der Doppelseilrutsche beträgt ungefähr $6,9°.$

Längen in der Zeichnung berechnen:

$\dfrac{220\,\text{cm}}{50}=4,4\,\text{cm}$

$\dfrac{120\,\text{cm}}{50}=2,4\,\text{cm}$

$\dfrac{150\,\text{cm}}{50}=3\,\text{cm}$

Das Quadernetz kann nun mit den berechneten Seiten gezeichnet werden.

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

6 mögliche Ergebnisse: $\{1;2;3;4;5;6\}$
2 günstige Ergebnisse: $\{5;6\}$

$P(\text{Augenzahl größer 4})$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Augenzahl größer als 4 “ beträgt $\dfrac{1}{3}$ bzw. $33 \,\%.$

$n:$ Anzahl der Würfelseiten mit Buchstaben $A$

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&\dfrac{n}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{n}{6} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 6 \\[5pt] \dfrac{2\cdot6}{3}&=& n\\[5pt] 4&=& n\\[5pt] \end{array}$

Der Würfel ist auf 4 Seiten mit dem Buchstaben $A$ beschriftet.

$P(O)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$P(K)=\dfrac{1}{6}$

$P(OK)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$

Die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“ beträgt $\dfrac{1}{12}$ .

Oberflächeninhalt einer Praline:

$\begin{array}[t]{rll} A_P&=&4\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_P&=&4\cdot\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_P&=& 28,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Oberflächeninhalt eines Folienpapiers:

$\begin{array}[t]{rll} A_F&=& 2,5\cdot A_P \\[5pt] &\approx& 2,5\cdot 28,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 70,8\,\text{cm}^2 \end{array}$

Mit der Formel für den Oberflächeninhalt eines Quadrats folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_F&=& a^2 \\[5pt] 70,8\,\text{cm}^2&\approx& a^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 8,4\,\text{cm}&\approx& a \\[5pt] \end{array}$

Die Seitenlänge eines Folienblattes beträgt ungefähr $8,4\,\text{cm}.$