Pflichtaufgaben 2-7

Der trockene Sommer 2018 führte zu Einbußen bei den Ernteerträgen.
In der Abbildung sind die Ernteerträge von Winterraps für mehrere Jahre dargestellt.

Nach: Wochenspiegel vom 29. September 2018, Seite 10.

Berechne das arithmetische Mittel der Ernteerträge von Winterraps für die Jahre 2012 bis 2018.

2 BE

Stelle die Ernteerträge von Winterraps der Jahre 2016 bis 2018 in einem Säulendiagramm auf kariertem Papier dar.

3 BE

Sommergerste hat die Trockenheit von 2018 gut verkraftet. Der Ernteertrag betrug $53,7\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}$ und war damit $7\,\%$ geringer als der langjährige durchschnittliche Ertrag.

Berechne den langjährigen durchschnittlichen Ertrag von Sommergerste.

2 BE

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $a=4,8\,\text{cm},$ $\alpha=42^{\circ}$ und $\beta=58^{\circ}.$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .

3 BE

Zeichne das Dreieck $ABC$ im Maßstab $2:1$ auf unliniertem Papier.

3 BE

Gegeben sind die Funktionen $y=f(x)=x^3$ und $y=g(x)=-3x+4$ $\,$ mit $\,$ $x\in\mathbb{R}.$
(Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.)

Stelle die Funktionen in ein und demselben Koordinatensystem grafisch dar.

3 BE

Die Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ schneiden sich im Punkt $A.$
Die Schnittpunkte der Funktionen mit der $y$ -Achse sind $B$ und $C.$

Zeichne das Dreieck $ABC$ in die Darstellung und berechne dessen Flächeninhalt.

3 BE

Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen soll für ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{9}{16}$ betragen.

Beschreibe ein zugehöriges Zufallsexperiment und gib dieses Ereignis an.

3 BE

Stromanbieter $A$ berechnet für jede Kilowattstunde 27 Cent und einen jährlichen Grundpreis von $320\,€.$
Der Stromanbieter $B$ berechnet für jede Kilowattstunde 32 Cent und $180 \,€$ jährlichen Grundpreis.

Familie Fuchs bezieht ihren Strom von Anbieter $B$ und bezahlte im letzten Jahr $1\,300 \,€.$ Berechne die Anzahl der Kilowattstunden, die Familie Fuchs im letzten Jahr verbrauchte.

2 BE

Ermittle die Anzahl der Kilowattstunden, bei denen der Preis von beiden Anbietern gleich ist.

3 BE

Ein Kegel und eine Kugel haben jeweils gleich große Radien. Die Höhe des Kegels ist doppelt so groß wie sein Radius.

Weise nach, dass allgemein gilt:
Das Volumen der Kugel ist doppelt so groß wie das Volumen des Kegels.

3 BE

Rechenweg anzeigen

$\text{arithmetisches Mittel}\approx37,0\,\dfrac{\text{dt}}{\text{ha}}$

Das arithmetische Mittel der Ernteerträge von Winterraps für die Jahre 2012 bis 2018 beträgt ungefähr $37,0\,\dfrac{\text{dt}}{\text{ha}}.$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentsatz } p\,\%=100\,\%-7\,\%=93\,\%$

$\text{Prozentwert } W=53,7\,\dfrac{\text{dt}}{\text{ha}}$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{53,7\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\cdot 100\,\%}{93\,\%} \\[5pt] G&\approx& 57,7 \,\dfrac{\text{dt}}{\text{ha}} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:93$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} & 93\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 53,7\,\dfrac{\text{dt}}{\text{h}} \\[5pt] & 1\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{53,7}{93}\,\dfrac{\text{dt}}{\text{h}} \\[5pt] & 100\,\% &\mathrel{\widehat{\approx}}& 57,7 \,\dfrac{\text{dt}}{\text{h}} & \end{array}$

$:93$

$\cdot 100$

Der langjährige durchschnittliche Ertrag von Sommergerste beträgt $57,7\,\dfrac{\text{dt}}{\text{h}}$ .

Planfigur:

Mit dem Innenwinkelsummensatz im Dreieck folgt für den Winkel $\gamma:$

$\gamma=180^{\circ}-42^{\circ}-58^{\circ}=80^{\circ}$

Die Seitenlänge $b$ lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin \alpha}&=& \dfrac{b}{\sin \beta} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \beta \\[5pt] \dfrac{a}{\sin \alpha}\cdot \sin \beta &=& b \\[5pt] \dfrac{4,8\,\text{cm}}{\sin 42°}\cdot \sin 58° &=& b \\[5pt] 6,1\,\text{cm}&\approx& b \end{array}$

Damit lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 4,8\,\text{cm}\cdot 6,1\,\text{cm}\cdot \sin 80° \\[5pt] &\approx& 14,4\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $A=14,4\,\text{cm}^2.$

Das Dreieck wird nach dem Kongruenzsatz WSW konstruiert. Dazu wird die Strecke $a$ gezeichnet und anschließend werden die Winkel $\beta=58°$ und $\gamma=80°$ (siehe Teilaufgabe a) abgetragen.

Berechnung der Länge der Seite $a$ im Maßstab 2:1:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{1}&=& \dfrac{a}{4,8\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4,8\,\text{cm} \\[5pt] 9,6 \,\text{cm}&=& a \end{array}$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Wertetabellen für beide Funktionen erstellen:

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
-1	-1
-0,5	-0,125
0	0
0,5	0,125
1	1
1,5	3,375
2	8

$\color{#ffffff}{x}$	-1	0	1	1,5
$\color{#ffffff}{y=g(x)}$	7	4	1	-0,5

Dreieck einzeichnen

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 2\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $2\,\text{cm}^2.$

Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Daher muss für das gesuchte Ereignis $E$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(\text{Stufe 1})\cdot P(\text{Stufe 2}) \\[5pt] \dfrac{9}{16}&=& \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{b} \end{array}$

Es gilt $b=4$ und $a=c=3.$

Der Nenner jeder Stufe ist 4. Das passt zum Ziehen aus einer Urne mit 4 Kugeln.
Der Zähler jeder Stufe ist 3. Das passt dazu, dass 3 dieser 4 Kugeln für das Ereignis günstig sind.

Ein mögliches Zufallsexperiment ist das folgende:

Aus einer Urne mit 3 grünen und 1 roten Kugel werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

$E:$ „Es wird zweimal eine grüne Kugel gezogen.“

$P(E)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}$

$x:$ Anzahl der verbrauchten Kilowattstunden

$\begin{array}[t]{rll} 1\,300\,€&=& 0,32\,€\cdot x+180\,€ \quad \scriptsize \mid\; -180\,€ \\[5pt] 1\,120\,€&=& 0,32\,€\cdot x \quad \scriptsize \mid\; :0,32\,€ \\[5pt] 3\,500&=& x \end{array}$

Familie Fuchs verbrauchte im letzten Jahr $3\,500$ Kilowattstunden.

Gleichung Anbieter $A:$ $y=f(x)=0,27x+320$

Gleichung Anbieter $B:$ $y=g(x)=0,32x+180$

Die Anzahl der Kilowattstunden, bei denen der Preis von beiden Anbietern gleich ist, kann mit dem Gleichsetzungsverfahren bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] 0,27x+320&=& 0,32x+180 \quad \scriptsize \mid\, -180 \\[5pt] 0,27x+140&=& 0,32x \quad \scriptsize \mid\;-0,27x \\[5pt] 140&=& 0,05x \quad \scriptsize \mid\;: 0,05 \\[5pt] 2\,800&=& x \\[5pt] \end{array}$

Der Preis von beiden Anbietern ist gleich, wenn $2\,800\,\text{kWh}$ verbraucht werden.

Volumen der Kugel:

$V_{\text{Ku}}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

Volumen des Kegels:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Ke}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h \quad \scriptsize \mid\; h=2r \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot 2\cdot r \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot V_{\text{Ke}}&=& V_{\text{Ku}} \\[5pt] 2\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass das Volumen der Kugel doppelt so groß ist wie das Volumen des Kegels.