Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

9.1

Auf einem Parkplatz stehen Autos und Motorräder.
Es gibt insgesamt 60 Fahrzeuge mit 150 Rädern.

Ermittle die Anzahl der Autos und Motorräder.

4 BE

9.2

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $72 \,\text{cm}^2.$

Skizze nicht maßstäblich

Ermittle die Seitenlänge $x.$

3 BE

9.3

Am Ende einer Laufzeit von drei Jahren werden $4\,250,60 \,€$ bei einem Zinssatz von $0,4 \,\%$ ausgezahlt.

Berechne den Betrag in Euro, der zu Beginn der Laufzeit angelegt wurde.

3 BE

Wahlaufgabe Stochastik

10.1

Historische Münzen werden in gleichen Verpackungen gelagert.
Zwei Verpackungen enthalten Taler, eine Verpackung enthält Dukaten und drei Verpackungen enthalten Gulden.

Es werden zufällig zwei Verpackungen ohne Zurücklegen ausgewählt.

Entscheide, ob mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % die Münzen unterschiedlich sind.
Begründe deine Entscheidung rechnerisch mithilfe eines Baumdiagramms.

5 BE

10.2

Beim Weitsprung wurden folgende Sprungweiten erreicht:

	Sprungweite 1	Sprungweite 2	Sprungweite 3
Anni	2,85 m	3,15 m	3,65 m
Britt	4,20 m	4,20 m	4,15 m
Celine	3,10 m	3,05 m	4,05 m
Diana	4,10 m	3,85 m	3,95 m
Emma	3,50 m	3,60 m	3,20 m

Von jeder Sportlerin wird jeweils der weiteste Sprung gewertet.

Berechne für die weitesten Sprünge das arithmetische Mittel.

3 BE

10.3

Ein zufälliges Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 40 %.

Beschreibe ein solches Ereignis für ein selbst gewähltes Zufallsexperiment.

2 BE

Wahlaufgabe Geometrie

11.1

Ein Hochmoor hat annähernd die Form eines Parallelogramms mit einer Fläche von $120\;000 \,\text{m}^2.$
Die Torfschicht dieses Hochmoors ist drei bis fünf Meter dick.

Berechne das Volumen des Torfs, das mindestens im Hochmoor lagert.

2 BE

Eine Seite des Parallelogramms ist 280 m lang und ein Winkel hat eine Größe von 120°.

Berechne den Umfang des Parallelogramms.

3 BE

11.2

Die steile Treppe in der Silberkarklamm (Österreich) hat einen Anstiegswinkel von 60°.

Ein Modell dieser Treppe wurde im Maßstab 1:100 gebaut.
Die Treppe ist im Modell 50 cm lang.

Berechne den Höhenunterschied, den die Besucher mit dieser Treppe in der Silberkarklamm überwinden.

3 BE

Berechne die Steigung der Treppe in Prozent.

2 BE

Wahlaufgabe Funktionen

12.1

Gegeben sind die Funktionen $y=f(x)=x+3$ und $y=g(x)=x^2+2x-3$ mit $x\in\mathbb{R}.$

Gib die Aussage an, die wahr ist.

A $\quad$ Die Graphen beider Funktionen schneiden die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid-3).$

B $\quad$ Beide Funktionen haben die Nullstelle $x=-3.$

C $\quad$ Die Graphen beider Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich steigend.

1 BE

12.2

Durch die Gleichung $f(x)=x^3$ mit $x\in\mathbb{R}$ ist eine Funktion gegeben.

Skizziere den Graphen von $f(x)$ mindestens für $-2\leq x\leq 2$ in ein Koordinatensystem.
(1 Längeneinheit entspricht 1 Zentimeter)

3 BE

Durch die Gleichung $y=g(x)=\dfrac{1}{x} (x\in\mathbb{R}; x\neq 0)$ ist eine weitere Funktion gegeben.

Skizziere den Graphen der Funktion $g(x)$ in das Koordinatensystem von Aufgabe a).

2 BE

Die Punkte $A(x\mid 100)$ und $B(-0,5\mid y)$ liegen auf dem Graphen der Funktion $g(x).$

Gib die fehlenden Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ an.

2 BE

Die Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ schneiden sich in den Punkten $P(-1\mid -1)$ und $Q(1\mid 1).$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{PQ}.$

2 BE

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9.1

	Autos	Motorräder	insgesamt
Fahrzeuge	$x$	$y$	$60$
Räder	$4x$	$2y$	$150$

Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& x + y&=& 60 \\ \text{II}\;\quad& 4 x+ 2y&=& 150 \end{array}$

Es bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Umstellen der Gleichung $\text{I}$ nach $x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x+y&=& 60 \quad \scriptsize \mid\; -y \\[5pt] x&=& 60-y \end{array}$

Einsetzen von $x=60-y$ in $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot (60-y)+2y&=& 150 \\[5pt] 240-4y+2y&=& 150 \quad \scriptsize \mid\; -240\\[5pt] -2y&=& -90 \quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] y&=& 45 \end{array}$

Daraus folgt $x=60-45=15.$

Auf dem Parkplatz stehen also 15 Autos und 45 Motorräder.

9.2

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes: $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$

$\begin{array}[t]{rll} 72\,\text{cm}^2&=& \dfrac{2x+x}{2}\cdot 8 \,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :8\,\text{cm} \\[5pt] 9\,\text{cm}&=& \dfrac{3x}{2} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\\[5pt] 18\,\text{cm}&=& 3x \quad \scriptsize \mid\; : 3\\[5pt] 6 \,\text{cm}&=& x \end{array}$

Die Seitenlänge $x$ beträgt $6 \,\text{cm}.$

9.3

$\text{Endwert } K_n=4\,250,60\,€$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=0,4\,\%$

$\text{Zeit } n=3 \,\text{Jahre}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4\,250,60\,€ &=& K_0\cdot \left(1+\dfrac{0,4\,\%}{100\,\%}\right)^3 \\[5pt] 4\,250,60\,€&=& K_0\cdot 1,004^3 \quad \scriptsize \mid \, :1,004^3\\[5pt] 4\,200 \,€&\approx& K_0 \end{array}$

Zu Beginn der Laufzeit wurden ungefähr $4\,200 \,€$ angelegt.

10.1

Aussage mithilfe des Gegenereignisses prüfen:

$\quad P(\text{Münzen unterschiedlich})$

$\begin{array}[t]{rll} &=& 1- P(\text{Münzen gleich}) \\[5pt] &=& 1- \left(\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{0}{5}+\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{5}\right) \\[5pt] &=& 1- \dfrac{8}{30}\\[5pt] &\approx& 0,73 \end{array}$

Die Aussage ist also richtig, da die Wahrscheinlichkeit, unterschiedliche Münzen zu ziehen, bei $73 \,\%$ liegt und damit deultich größer als $50\,\%$ ist.

10.2

Weiteste Sprünge:

	Sprungweite 1	Sprungweite 2	Sprungweite 3
Anni	2,85 m	3,15 m	3,65 m
Britt	4,20 m	4,20 m	4,15 m
Celine	3,10 m	3,05 m	4,05 m
Diana	4,10 m	3,85 m	3,95 m
Emma	3,50 m	3,60 m	3,20 m

Damit lässt sich nun das arithmetische Mittel berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}=3,92 \,\text{m}$

Das arithmetische Mittel für die weitesten Sprünge beträgt 3,92 m.

10.3

In einer Urne sind 4 blaue und 6 weiße Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen.

Ereignis $E:$ „Es wird eine blaue Kugel gezogen.“

$P(E)=\dfrac{4}{10}=40\,\%.$

11.1

Da die Torfschicht mindestens $3\,\text{m}$ dick ist, gilt $h_{\text{Prisma}}=3\,\text{m}.$ Mit der Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h_{\,\text{Prisma}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 120\;000\,\text{m}^2\cdot 3 \,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 360\;000\,\text{m}^3 \end{array}$

Im Hochmoor lagern mindestens $360\;000\,\text{m}^3$ Torf.

Durch die Angaben in der Aufgabenstellung lässt sich folgende Skizze erstellen:

Die Höhe $h$ kann mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bestimmt werden.

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=&a\cdot h \quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] \dfrac{A_{\text{Trapez}}}{a} &=& h \\[5pt] \dfrac{120\,000\,\text{m}^2}{280\,\text{m}}&=& h\\[5pt] 428,6\,\text{m}&\approx& h \end{array}$

Die Länge der Strecke $b$ lässt sich mit dem Sinus berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \sin 60°&=&\dfrac{h}{b} \quad \scriptsize \mid\;\cdot b\\[5pt] b\cdot \sin 60°&=& h \quad \scriptsize \mid\;:\sin 60°\\[5pt] b&=&\dfrac{h}{\sin 60°} \\[5pt] b&\approx&\dfrac{428,6\,\text{m}}{\sin(60^{\circ})} \\[5pt] b&\approx& 494,9\,\text{m} \end{array}$

Für den Umfang des Parallelogramms ergibt sich schließlich:

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2\cdot (a+b) \\[5pt] &=& 2\cdot (280\,\text{m}+494,9\,\text{m}) \\[5pt] &\approx& 1\,550 \,\text{m} \end{array}$

Das Parallelogramm hat ungefähr einen Umfang von $1\,550 \,\text{m}.$

11.2

Höhe der Treppe im Modell berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(60^{\circ} )&=& \dfrac{h}{50\,\text{cm} } \quad \scriptsize \mid\; \cdot 50\,\text{cm}\\[5pt] \sin(60^{\circ}) \cdot 50\,\text{cm}&=& h \\[5pt] 43,30 \,\text{cm} &\approx& h \end{array}$

Berechnung der tatsächlichen Höhe $h_T$ der Treppe mit dem Maßstab:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{100}&=& \dfrac{43,3\,\text{cm}}{h_T} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h_T \\[5pt] \dfrac{h_T}{100}&=& 43,3\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] h_T&=& 43\,300\,\text{cm} \\[5pt] h_T&=& 43,3 \,\text{m} \end{array}$

Die Besucher überwinden einen Höhenunterschied von $43,3\,\text{m}.$

Die Steigung $m$ ergibt sich aus dem Quotienten der Höhe $h$ und der Breite $b.$

$\begin{array}[t]{rll} \tan 60°&=& \dfrac{h}{b} \\[5pt] \tan 60°&=& m \\[5pt] 1,732&\approx& m \\[5pt] 173,2\,\%&\approx& m \\[5pt] \end{array}$

Die Treppe hat ungefähr eine Steigung von $173,2\,\%.$

12.1

Aussage A überprüfen

$f(0)=0+3=3$

$g(0)=0^2+2\cdot 0-3=-3$

Die Aussage stimmt also nicht.

Aussage B überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] x+3&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] x&=& -3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] x^2+2x-3&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Es gilt $p=2$ und $q=-3.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] x_{1/2}&=& -1\pm\sqrt{4}\\[5pt] x_1&=&-1+2=1\\[5pt] x_2&=&-1-2=-3\\[5pt] \end{array}$

Somit stimmt die Aussage.

Aussage C überprüfen

Die Aussage stimmt nicht, denn bei $g(x)$ handelt es sich um eine Parabel. Diese kann nicht im gesamten Definitionsbereich steigend sein.

12.2

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
-2	-8
-1,5	-3,375
-1	-1
-0,5	-0,125
0	0
0,5	0,125
1	1
1,5	3,375
2	8

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=g(x)}$
-3	-0,33
-2	-0,5
-1	-1
-0,5	-2
0,5	2
1	1
2	0,5
3	0,33

Es wird in beiden Fällen die bekannte Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt und nach der unbekannten Variable umgestellt.

$\begin{array}[t]{rll} 100&=& \dfrac{1}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 100\cdot x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :100\\[5pt] x&=& 0,01 \end{array}$

Somit gilt: $A(0,01\mid 100)$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{1}{-0,5} &\\[5pt] y&=& -2 \end{array}$

Somit gilt: $B(-0,5\mid -2)$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{PQ}^2&=& (2 \,\text{cm})^2+ (2\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \overline{PQ}&=& \sqrt{(2 \,\text{cm})^2+ 2(\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{PQ}&=& \sqrt{8\,\text{cm}^2} \\[5pt] \overline{PQ}&\approx& 2,8 \,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $\overline{PQ}$ ist ungefähr $2,8 \,\text{cm}$ lang.

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