Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Funktionen

9.1

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(1\mid0)$ , $B(-3\mid2)$ und $C(0\mid-4)$ gegeben.
Einer dieser Punkte ist der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel.
Durch die beiden anderen Punkte verläuft der Graph einer linearen Funktion. Dieser ist monoton fallend.

Stelle diesen Sachverhalt graphisch dar.

4 BE

Gib die zur Darstellung zugehörigen Funktionsgleichungen an.

2 BE

9.2

Eine Silvesterrakete wird gestartet. Ihre Flugbahn lässt sich vereinfacht durch $y = f(x) = -0,2x^2+30$ $(x,y \in \mathbb{R}; y\geq 0 )$ mathematisch beschreiben.
(Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.)

Gib die maximale Höhe der Flugbahn der Rakete an.

1 BE

Berechne die Entfernung zwischen Start- und Landepunkt.

3 BE

Wahlaufgabe Stochastik

10.1

In einer theoretischen Führerscheinprüfung werden je Fragestellung drei Antworten vorgegeben. Eine davon ist richtig. Eine Teilnehmerin kreuzt bei zwei Fragen jeweils eine Möglichkeit zufällig an.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Entscheidungen richtig sind.

2 BE

Bei einer anderen Frage sind zwei von drei Antworten richtig.
Ein Teilnehmer kreuzt zwei Antworten zufällig an.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass seine Entscheidung richtig ist.

2 BE

10.2

Im Kreisdiagramm ist das Ergebnis einer Schülerbefragung zum Stand ihrer Bewerbung dargestellt.

$\dfrac{1}{4}$ der Befragten haben noch keine Vorstellung von ihrem späteren Beruf.

$45 \,\%$ der Befragten haben klare Vorstellungen von ihrem späteren Beruf, aber noch keine Bewerbung abgeschickt.

III

66 Befragte haben schon Bewerbungen abgeschickt.

Berechne die Anzahl der Befragten.

3 BE

10.3

In einem Behälter befinden sich fünf blaue, drei rote und zwei gelbe Kugeln. Es werden zufällig zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Beschreibe dafür ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{15}$ und stelle diesen Sachverhalt in einem zugehörigen Baumdiagramm dar.

3 BE

Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

11.1

Jens und Uwe kaufen für ihre Familien Tickets für dasselbe Konzert. Jens bezahlt für fünf Karten der Preiskategorie I und für drei der Preiskategorie III insgesamt 251,00 $\,€.$ Uwe bezahlt für sechs Tickets der Preiskategorie I und für zwei der Preiskategorie III insgesamt 234,00 $\,€$ .

Ermittle die fehlenden Preise:

Preiskategorie	$\text{I}$	$\text{II}$	$\text{III}$
Preis	...	$31,00 \,€$	...

4 BE

11.2

Die Bank hat Frau Marx einen Überziehungskredit gewährt.
Der Jahreszinssatz beträgt dafür 11,5 %. Frau Marx überzieht ihr Konto um 640,00 $\,€.$

Berechne die Zinsen, die Frau Marx für 25 Tage bezahlen muss.

2 BE

11.3

Gegeben sind die Terme $\text{I}$ und $\text{II}.$

$\text{I} \quad\dfrac{3a^2-2a(a+b)}{3a-(2a+b)}$

$\text{II}\quad \dfrac{a^2-2ab}{a-b}$

Berechne den Wert eines Terms für $a = 6$ und $b = -2$ .

1 BE

Weise durch Umformen eines Terms nach, dass gilt:
Term $\text{I}$ = Term $\text{II}.$

3 BE

Wahlaufgabe Geometrie

12.1

Ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt $M(0\mid 0)$ hat einen Durchmesser von 10 cm. Der Punkt $C(4\mid 3)$ liegt auf dem Kreis.
(Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.)

Stelle den Sachverhalt auf kariertem Papier dar.

2 BE

Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit der $x$ -Achse und der Punkt C bilden ein Dreieck.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

2 BE

Begründe, dass der Innenwinkel am Punkt C ein rechter Winkel ist.

2 BE

12.2

Die neue Zugspitzbahn beginnt an der Talstation auf einer Höhe von $998 \,\text{m}$ ü. NN und endet an der Bergstation auf $2\,943 \,\text{m}$ ü. NN. Auf einer Wanderkarte mit dem Maßstab $1: 50\,000$ haben beide Stationen den Abstand $8,0\,\text{cm}.$

Berechne den durchschnittlichen Anstiegswinkel der Zugspitzbahn.

4 BE

9.1

Möglichkeit 1:

Möglichkeit 2:

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(x_s\mid y_s)$ hat die Funktionsgleichung $y=p(x)=(x-x_s)^2+y_s.$

Lösung für Möglichkeit 1

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gegeben durch $S_1(1\mid 0).$ Damit ist die Funktionsgleichung durch $y=p(x)=(x-1)^2$ gegeben.

Die Gerade $g$ hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=g(x)= mx +n.$

Der $y$ -Achsenabschnitt $n=-4$ kann direkt abgelesen werden.

Für die Steigung folgt mit dem Anstiegsdreieck: $m=\dfrac{-2}{1}=-2$

Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=g(x)=-2x-4.$

Lösung für Möglichkeit 2

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gegeben durch $S_2(0\mid -4).$ Damit ist die Funktionsgleichung durch $y=p(x)=x^2-4$ gegeben.

Die Gerade $g$ hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=g(x)= mx +n.$

Der $y$ -Achsenabschnitt $n=0,5$ kann direkt abgelesen werden.

Für die Steigung folgt mit dem Anstiegsdreieck: $m=\dfrac{-1}{2}=-0,5$

Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=g(x)=-0,5x+0,5.$

9.2

Der Scheitelpunkt des Graphen liegt auf der $y$ -Achse an der Stelle $x=0.$

$f(0)=-0,2\cdot 0^2+30=30$

Die maximale Höhe der Flugbahn beträgt 30 m.

Der gesuchte Abstand ist durch die Entfernung der beiden Nullstellen gegeben.

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] -0,2x^2 +30 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -30 \\[5pt] -0,2x^2 &=& -30 \quad \scriptsize \mid\;:(-0,2) \\[5pt] x^2 &=& 150 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] x_{1/2} &=& \pm \sqrt{150} \\[5pt] x_1 &\approx& 12,25 \\[5pt] x_2 &\approx& -12,25 \end{array}$

Der Abstand $d$ der beiden Nullstellen ist gegeben durch:

$d \approx 12,25-(-12,25) =24,5$

Die Entfernung zwischen Start- und Landepunkt beträgt ungefähr $24,5\,\text{m}.$

10.1

Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort: $P(r)=\dfrac{1}{3}$

Mit den Pfadregeln folgt:

$P(r;r)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{9}$ sind beide Antworten richtig.

Die Wahrscheinlichkeit, von zwei richtigen Antworten eine richtig anzukreuzen, beträgt $\dfrac{2}{3}.$

Wurde die erste Antwort richtig angekreutzt, so gibt es noch zwei Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig und eine falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort anzukreuzen, beträgt also $\dfrac{1}{2}.$

Mit den Pfadregeln folgt:

$P(\text{beide richtig})=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden angekreuzten Antworten richtig sind, beträgt $\dfrac{1}{3}.$

10.2

Prozentsatz Gruppe I:

$\dfrac{1}{4} = 25\,\%$

Prozentsatz Gruppe III:

$100\,\% - 25\,\% - 45\,\% = 30\,\%$

$66$ der Befragten entsprechen also $30\,\%.$ Mit dem Dreisatz folgt:

$:3$

$\cdot 10$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} & 30\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 66\\[5pt] & 10\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 22\\[5pt] & 100\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 220 & \end{array}$

$:3$

$\cdot 10$

Es wurden 220 Schüler befragt.

10.3

Ereignis beschreiben

Ein mögliches Ereignis lautet: „Es werden zwei rote Kugeln gezogen.“

$P(\text{rot, rot})=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}$

Alternative Lösungen

$P(\text{rot, gelb})=P(\text{gelb, rot})=\dfrac{1}{15}$

Baumdiagramm zeichnen

11.1

$x:$ Preis für Tickets der Kategorie $\text{I}$ in €
$y:$ Preis für ein Ticket der Kategorie $\text{III}$ in €

Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 5x +3y &=& 251 \\ \text{II}\quad& 6x + 2y &=& 234 \\ \end{array}$

Das Gleichungssystem kann mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden. Dazu wird die Gleichung $\text{II}$ nach $y$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} 6x+2y&=& 234 \quad \scriptsize \mid\;-6x \\[5pt] 2y&=& 234-6x \quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] y&=& 117-3x \end{array}$

Einsetzen von $y=117-3x$ in $\text{I}:$

$\begin{array}[t]{rll} 5x+3\cdot (117-3x)&=& 251 \\[5pt] 5x+351-9x&=& 251 \quad \scriptsize \mid\; -351\\[5pt] -4x&=& -100 \quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] x&=& 25 \end{array}$

Einsetzen von $x=25$ in Gleichung $\text{II}:$

$y=117-3\cdot 25=42$

Ein Ticket der Preiskategorie $\text{I}$ kostet $25,00\,€.$ Ein Ticket der Preiskategorie $\text{III}$ kostet $42,00\,€.$

11.2

$\text{Zinssatz: }p\,\%=11,5\,\%$

$\text{Überziehung: }K=640,00\,€$

$\text{Tage: }t=25$

Mit der Formel für den Tageszins folgt:

$\begin{array}[t]{rll} Z_t&=&\dfrac{K\cdot p\cdot t}{100\,\%\cdot 360} \\[5pt] Z_25&=&\dfrac{640,00\,€\cdot 11,5\,\%\cdot 25}{100\,\%\cdot 360} \\[5pt] &=& 5,11\,€ \end{array}$

Für 25 Tage muss Frau Marx 5,11 € zahlen.

11.3

Es muss nur einer der beiden Terme berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& \dfrac{3a^2 -2a\cdot (a+b)}{3a -(2a+b)} \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot 6^2 -2\cdot 6\cdot (6+(-2))}{3\cdot 6 -(2\cdot 6+(-2))} \\[5pt] =& \dfrac{60}{8} \\[5pt] =& \dfrac{15}{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{II}&\dfrac{a^2 -2ab}{a-b} \\[5pt] =& \dfrac{6^2-2\cdot 6\cdot (-2)}{6-(-2)} \\[5pt] =& \dfrac{60}{8} \\[5pt] =& \dfrac{15}{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \text{I} &\dfrac{3a^2 -2a(a+b)}{3a-(2a+b)} \\[5pt] =&\dfrac{3a^2 -2a^2-2ab}{3a-2a-b} \\[5pt] =&\dfrac{a^2-2ab}{a-b} \quad\text{II} \\[5pt] \end{array}$

Also gilt Term $\text{I}$ = Term $\text{II}.$

12.1

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} \\[5pt] &=& 15\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $15\,\text{cm}^2$ .

Zwei der drei Eckpunkte des Dreiecks sind Endpunkte eines Durchmessers des Kreises. Der dritte Eckpunkt $C$ liegt auf dem Kreis. Mit dem Satz des Thales folgt daher, dass das Dreieck im Punkt $C$ einen rechten Winkel besitzt.

12.2

Höhenunterschied zwischen den beiden Stationen:

$h=2943\,\text{m} - 998\,\text{m} = 1945\,\text{m}$

Waagrechte Entfernung:

$\begin{array}[t]{rll} \ell&=& 50\,000\cdot 8\,\text{cm}\\[5pt] &=& 400\,000\,\text{cm}\\[5pt] &=& 4\,000\,\text{m} \end{array}$

Skizze des Sachverhalts:

Mit dem Tangens folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{h}{\ell}\\[5pt] \tan \alpha &=& \dfrac{1\,945\,\text{m}}{4\,000\,\text{m}} \\[5pt] \tan \alpha &=& 0,48625 \quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 25,9^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Der durchschnittliche Anstiegswinkel der Zugspitzbahn beträgt ca. $25,9^{\circ}.$