Pflichtaufgaben

In Thüringen wurden 2015 insgesamt 396 Tonnen Strauchbeeren auf 162 Hektar Anbaufläche geerntet.

Ermittle den prozentualen Anteil der schwarzen Johannisbeeren an der Gesamtmenge der Strauchbeeren.
Messe dafür den entsprechenden Winkel im Kreisdiagramm.

1 BE

Auf schwarzen Holunder entfielen $48,5\,\%$ der Erntemenge.

Wie viele Tonnen schwarzer Holunder wurden geerntet?

1 BE

Die gesamte Anbaufläche wurde 2015 gegenüber 2014 um $13\,\%$ vergrößert.

Berechne die Größe der Anbaufläche für das Jahr 2014.

1 BE

Für einen Kegel soll gelten, dass Radius und Körperhöhe gleich groß sind.

Stelle einen solchen Kegel im Zweitafelbild dar.

2 BE

Begründe, dass zur Berechnung des Volumens dieses Kegels auch gilt:

$V=\dfrac{1}{3} \pi h^3$

1 BE

Zwei Mitspieler erhalten jeweils 20 Karten, auf denen die Zahlen 1 bis 20 stehen. Jeder Mitspieler legt seine gemischten Karten vor sich verdeckt auf einen Stapel.
Aufgedeckte Karten werden nicht zurückgelegt. Der Spieler $A$ deckt eine Karte mit der Zahl 7 auf.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Spieler $B$ eine Karte mit einer größeren Zahl vom Stapel aufdeckt.

1 BE

Beide Spieler decken zuerst die Zahl 7 auf. Dann deckt Spieler $A$ die Zahl 5 auf. Spieler $B$ gewinnt, wenn er nun eine größere Zahl als 5 aufdeckt.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Spieler $B$ gewinnt.

1 BE

Jonas misst sein neues Zimmer aus.

Skizze nicht maßstäblich

Weise rechnerisch nach, dass das Zimmer nicht rechtwinklig ist.

1 BE

Von einem Viereck $ABCD$ sind folgende Stücke bekannt:

$\overline{AD} = 3,3\,\text{cm}$
$\overline{BC}=5,0\,\text{cm}$
$\overline{CD}=4,5\,\text{cm}$
$\beta= 40^{\circ}$
$\delta = 120^{\circ}$

Skizze nicht maßstäblich

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC.$

3 BE

Gegeben ist eine Wertetabelle für die Potenzfunktion $y=f(x)$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $x\neq 0.$

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
$-2,5$	$0,16$
$-2$	$0,25$
$-1$	$1$
$-0,5$	$4$
$0,5$	$4$
$1$	$1$
$2$	$0,25$
$2,5$	$0,16$

Eine weitere Funktion hat die Gleichung $y= h(x)=x^2-5x+1,25$ mit $x\in \mathbb{R}.$

Stelle die Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ in einem Koordinatensystem graphisch dar.

2 BE

Gib die Gleichung der Funktion $f(x)$ an.

1 BE

Berechne die Nullstellen der Funktion $h(x).$

1 BE

Weise rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $y=h(x)$ auch durch den Punkt $(-0,5\mid 4)$ verläuft.

1 BE

Frau Pohl möchte eine Töpferwerkstatt eröffnen und Krüge herstellen.
Sie plant die zu erwartenden Kosten:

Festkosten pro Monat: $1\,250,00\,€$
Materialkosten pro Krug: $2,50\,€$

In einem Monat möchte Frau Pohl durch Herstellung und Verkauf von 350 Krügen einen Gewinn von $850\,€$ erwirtschaften.

Ermittle den dafür notwendigen Verkaufspreis für einen Krug.

2 BE

In einer Zeitung stand: „ $160\,000$ Bällchen müssen aus dem See gefischt werden.“
Diese Bällchen dienen der Franken-Therme im Winter als Wärmeisolation des beheizten Sees. Damit werden etwa $90\,\%$ der Fläche des Sees abgedeckt. Jedes Bällchen hat einen Durchmesser von $6\,\text{cm}.$
Auf dem See schwimmen $100\,000$ blaue und $60\,000$ grüne Bällchen.

Berechne den Flächeninhalt der Wasseroberfläche des Sees. Gib diesen in Quadratmeter an.

3 BE

Zum Einsammeln der Bällchen im Frühjahr holen sich die Mitarbeiter der Franken-Therme Hilfe. Es werden zehn Teams mit jeweils vier Personen gebildet, die innerhalb von 15 Minuten alle Bällchen einsammeln.

Wie viel Zeit würden nur zwei Mitarbeiter für diese Tätigkeit benötigen?

1 BE

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste zufällig herausgefischte Bällchen grün ist.

1 BE

Eine Winkelmessung mit dem Geodreieck oder Winkelmesser liefert für die schwarzen Johannisbeeren einen Innenwinkel von $150°.$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=360°$

$\text{Prozentwert } W=150°$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{150°}{360°}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 42\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:360$

$\cdot 150$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 360° & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1° & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{360}\,\%\\[5pt] 150° & \mathrel{\widehat{\approx}}& 42\,\% \end{array}$

$:360$

$\cdot 150$

Die schwarzen Johannisbeeren nehmen $42\,\%$ der Gesamtmenge der Strauchbeeren ein.

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=396\,\text{t}$

$\text{Prozentsatz } p\,\% =48,5\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& \dfrac{396\,\text{t}\cdot 48,5\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&\approx& 192 \,\text{t} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:100$

$\cdot 48,5$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} &100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&396\,\text{t}\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&3,96\,\text{t}\\[5pt] &48,5\,\%&\mathrel{\widehat{\approx}}&192\,\text{t}& \end{array}$

$:100$

$\cdot 48,5$

Es wurden ca. 192 Tonnen schwarzer Holunder geerntet.

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentsatz } p\,\%=113\,\%$

$\text{Prozentwert } W=162\,\text{ha}$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{162\,\text{ha}\cdot 100\,\%}{113\,\%} \\[5pt] G&\approx& 143 \,\text{ha} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:113$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} &113\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&162\,\text{ha}\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{162}{113}\,\text{ha}\\[5pt] &100\,\%&\mathrel{\widehat{\approx}}& 143\,\text{ha}& \end{array}$

$:113$

$\cdot 100$

2014 war die Anbaufläche ca. $143$ Hektar groß.

Für den Kegel gilt $h=r.$ Mit der Formel für das Volumen eines Kegels gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h \quad \scriptsize \mid\; h=r \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot r \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \end{array}$

Anzahl möglicher Ergebnisse: $20$
Anzahl günstiger Ergebnisse: $20-7=13$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Zahl größer 7}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{13}{20} \\[5pt] =& 65\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $65\,\%.$

Anzahl möglicher Ergebnisse (7 wurde bereits aufgedeckt): $20-1=19$
Anzahl günstiger Ergebnisse (Zahlen größer 5 außer 7): $19-5=14$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Zahl größer 5}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{14}{19} \\[5pt] \approx& 74\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $74\,\%.$

Die eingezeichnete Diagonale teilt den viereckigen Grundriss in zwei kongruente Dreiecke. Wenn diese rechtwinklig sind, müssen die zugehörigen Maße den Satz des Pythagoras erfüllen. Es muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} (3,80\,\text{m})^2+(4,70\,\text{m})^2&=& (6,19\,\text{m})^2 \\[5pt] 36,5\,\text{m}^2&=& 38,3\,\text{m}^2 \end{array}$

Die Aussage ist falsch, daher ist der Satz des Pythagoras nicht erfüllt. Die Dreiecke und damit auch das Zimmer sind also nicht rechtwinklig.

Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

Mithilfe des Kosinussatzes im Dreieck $ACD$ ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\overline{AC} \approx 6,8\,\text{cm}$

Winkelgröße berechnen

Mithilfe des Sinussatzes kann die Größe des Winkels $\sphericalangle CAB$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\sin\sphericalangle CAB}&=& \dfrac{\overline{AC}}{\sin\beta} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin\sphericalangle CAB \\[5pt] \overline{BC}&=& \dfrac{\overline{AC}}{\sin\beta}\cdot \sin\sphericalangle CAB \quad \scriptsize \mid\; : \overline{AC} \\[5pt] \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}&=& \dfrac{\sin\sphericalangle CAB}{\sin\beta} \\[5pt] \dfrac{5,0\,\text{cm}}{6,8\,\text{cm}}&=& \dfrac{\sin\sphericalangle CAB}{\sin 40^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\sin 40^{\circ} \\[5pt] \dfrac{5,0\,\text{cm}}{6,8\,\text{cm}}\cdot \sin 40^{\circ}&=& \sin\sphericalangle CAB \\[5pt] 0,47264 &\approx& \sin\sphericalangle CAB \quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] 28^{\circ}&\approx& \sphericalangle CAB \\[5pt] \end{array}$

Mithilfe der Winkelsumme ergibt sich die Größe des Winkels $\sphericalangle BCA:$

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle BCA &=& 180^{\circ} - 40^{\circ} - 28^{\circ} \\[5pt] &=& 112^{\circ} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

Mithilfe des Sinus kann nun der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AC}\cdot \sin \sphericalangle BCA\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 5,0\,\text{cm} \cdot 6,8\,\text{cm} \cdot \sin 112^{\circ} \\[5pt] &\approx& 16\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt ungefähr $16\,\text{cm}^2.$

Eine Wertetabelle für $f(x)$ ist bereits angegeben. Bei der Funktion $h(x)$ handelt es sich um eine verschobene Normalparabel. Um diese grafisch darstellen zu können, wird der Scheitelpunkt berechnet:

$y=f(x)=x^2-5x+1,25$

Es gilt $p=-5$ und $q=1,25.$

$S\left(-\dfrac{p}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{p^2}{4}+q\right)$
$S\left(-\dfrac{-5}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{(-5)^2}{4}+1,25\right)$

$S(2,5\mid -5)$

Damit können die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem dargestellt werden.

Der Graph der Funktion $f(x)$ ist eine Hyperbel, die nur positive Wert annimmt. Der Exponent muss also gerade sein.

Vermutete Gleichung: $y=f(x)=\dfrac{1}{x^2}$

Einsetzen von Werten zur Überprüfung:

$f(0,5)=\dfrac{1}{0,5^2}=\dfrac{1}{0,25}=4$

$f(1)=\dfrac{1}{1^2}=1$

Die Ergebnisse stimmen mit den Werten aus der Wertetabelle überein. Die Gleichung der Funktion lautet also $y=f(x)=\dfrac{1}{x^2}.$

Die Nullstellen können mit der Lösungsformel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& x^2-5x+1,25 \\[5pt] 0&=& x^2-5x+1,25 \\[5pt] \end{array}$

Es gilt $p=-5$ und $q=1,25.$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2} \right)^2 -1,25} \\[5pt] &=& 2,5\pm \sqrt{5} \\[5pt] x_1&=& 2,5 - \sqrt{5} \\[5pt] x_2&=& 2,5 + \sqrt{5} \end{array}$

Die Nullstellen von $h(x)$ sind $x_1 =2,5 - \sqrt{5} \approx 0,3$ und $x_2 = 2,5+\sqrt{5}\approx 4,7.$

Der Graph von $h(x)$ verläuft durch den Punkt $(-0,5\mid 4),$ wenn $h(-0,5)=4$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} h(-0,5)&=& (-0,5)^2 -5\cdot (-0,5)+1,25 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Der Graph der Funktion $h(x)$ verläuft also durch den Punkt $(-0,5\mid 4).$

Monatliche Kosten für 350 Krüge:

$1\,250\,€ +350\cdot 2,50\,€= 2\,125\,€$

Notwendige Einnahmen, um $850\,€$ Gewinnn zu erwirtschaften:

$2\,125\,€+850\,€=2\,975\,€$

Frau Pohl muss also die $350$ Krüge so verkaufen, dass sie damit $2\,975\,€$ einnimmt.

$2\,975\,€ : 350 = 8,50\,€$

Ein Krug muss für $8,50\,€$ verkauft werden.

Die $160\, 000$ Bällchen decken gemeinsam $90\,\%$ des Sees ab. Jedes Bällchen deckt einen kreisförmigen Teil des Sees ab, der einen Durchmesser von $6\,\text{cm},$ also einen Radius von $3\,\text{cm}$ hat.

Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lässt sich die Fläche berechnen, die von einem Bällchen abgedeckt wird:

$\begin{array}[t]{rll} A_{B_1}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 28\,\text{cm}^2 \end{array}$

Insgesamt befinden sich $160\,000$ Bällchen auf dem See. Die Fläche, die von allen Bällchen abgedeckt wird, ist daher gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A_B&=& 160\,000 \cdot A_{B_1} \\[5pt] &\approx& 160\,000 \cdot 28\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 4\,480\,000\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 448\,\text{m}^2 \end{array}$

Fläche des Sees mit der Lösungsformel berechnen

$\text{Prozentsatz } p\,\%=90\,\%$

$\text{Prozentwert } W\approx448\,\text{m}^2$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&\approx& \dfrac{448\,\text{m}^2\cdot 100\,\%}{90\,\%} \\[5pt] G&\approx& 498\,\text{m}^2 \end{array}$

Fläche des Sees mit dem Dreisatz berechnen

Die Fläche, die von den Bällchen bedeckt ist, entspricht $90\,\%$ der Seeoberfläche.

$:90$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} &90\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 448\,\text{m}^2\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{448}{90}\,\text{m}^2\\[5pt] &100\,\%&\mathrel{\widehat{\approx}}& 498\,\text{m}^2& \end{array}$

$:90$

$\cdot 100$

Die Oberfläche des Sees ist ungefähr $498\,\text{m}^2$ groß.

Lösung mit Dreisatz

$:40$

$\cdot 2$

$\begin{array}{rrcll} &40\,\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}& 15\,\text{min}\\[5pt] &1\,\text{Person}&\mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{15}{40}\,\text{min}\\[5pt] &2\,\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}&300\,\text{min} \end{array}$

$:40$

$\cdot 2$

Lösung mit Gleichung

Die Zeit $x,$ die nur zwei Mitarbeiter benötigen würden, lässt sich durch Lösen der folgenden Gleichung ermitteln.

$\begin{array}[t]{rll} 40\cdot 15\,\text{min}&=& 2\cdot x \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \dfrac{40\cdot 15\,\text{min}}{2}&=& x \\[5pt] 300\,\text{min}&=& x \end{array}$

Zwei Mitarbeiter würden für diese Tätigkeit $300\,\text{Minuten} = 5 \,\text{Stunden}$ benötigen.

Anzahl möglicher Ergebnisse: $160\,000$
Anzahl günstiger Ergebnisse: $60\,000$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{grün}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{60\,000}{160\,000} \\[5pt] =& 37,5\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ ist das erste zufällig herausgefischte Bällchen grün.