Pflichtaufgaben

In dem Diagramm ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Käse in Deutschland aus dem Jahr 2012 dargestellt.

Berechne den prozentualen Anteil von Hartkäse am gesamten Pro-Kopf-Verbrauch von Käse im Jahr 2012.

1 BE

Der Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse ist vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2012 um $28,8\,\%$ angestiegen.

Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse für das Jahr 2000.

2 BE

Der Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse steigt jährlich etwa um $3,5\,\%.$

Berechne den voraussichtlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse im Jahr 2015.

1 BE

Die Pilatusbahn in der Schweiz ist die steilste Zahnradbahn der Welt. Sie beginnt an der Station Alpnachstad ( $440\,\text{m}$ ü. NN) und endet nach $4,8\,\text{km}$ an der Station Pilatus Kulm ( $2\,073\,\text{m}$ ü. NN).

Berechne den durchschnittlichen Anstiegswinkel der Pilatusbahn von Alpnachstad nach Pilatus Kulm.

2 BE

Ein Kegel hat einen Radius von $4,5\,\text{cm}$ und ist $6,0\,\text{cm}$ hoch.

Berechne den Oberflächeninhalt dieses Kegels.

2 BE

Ein Zylinder ist $10\,\text{cm}$ hoch und hat den Radius $r$ . Sein Volumen ist sechsmal so groß wie das Volumen eines Kegels mit dem gleichen Radius.

Ermittle die Höhe des Kegels.

1 BE

Gegeben ist die Funktion $y=f(x)=x^2+6x+5$ mit $x\in \mathbb{R}$ .

Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem grafisch dar und berechne die Nullstellen von $f(x)$ .

2 BE

Der Graph einer linearen Funktion $g(x)$ verläuft durch den Scheitelpunkt $S$ der Funktion $f(x)$ und durch den Punkt $P(0\mid 5)$ .

Gib die Funktionsgleichung von $g(x)$ an.

1 BE

In einem Dreieck ist die längste Seite $8,4\,\text{cm}$ lang.
Eine weitere Seite hat eine Länge von $4,3\,\text{cm}$ .
Ein Innenwinkel ist $102°$ groß.

Berechne die Länge der dritten Seite.

2 BE

Löse die Gleichung.

$4(2x-5)=\dfrac{1}{2}x+10$

2 BE

In einem Behälter sind insgesamt 18 Kugeln.
Es sind rote und blaue Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel beträgt $\dfrac{2}{3}$ .

Gib die Anzahl der roten Kugeln an.

1 BE

In einem anderen Behälter (siehe Abbildung) befinden sich weiße und schwarze Kugeln.

Gib die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel an.

1 BE

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen, zwei schwarze Kugeln zu ziehen.

1 BE

Die Länge einer unzugänglichen Strecke $\overline{AB}$ im Gelände soll bestimmt werden.
Dazu wurden die in der Skizze angegebenen Werte ermittelt.

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}.$

2 BE

Vier Schüler einer 10. Klasse haben durch Konstruktion für die Länge der Strecke $\overline{AB}$ folgende Werte bestimmt:

$190\,\text{m},$ $186\,\text{m},$ $192\,\text{m}$ und $188\,\text{m}.$

Um wie viele Meter weicht die berechnete Länge der Strecke $\overline{AB}$ vom Mittelwert der Schülerergebnisse ab?

1 BE

Zeichne das Dreieck $ABC$ im Maßstab $1:2\,000$ .

2 BE

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentwert } W=1,9\,\text{kg}$

Rechenweg anzeigen

$G=23,1 \,\text{kg}$

Der Prozentsatz $p\,\%$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{1,9\,\text{kg}}{23,1\,\text{kg}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 8,2\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:23,1$

$\cdot 1,9$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 23,1\,\text{kg} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,\text{kg} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{23,1}\,\%\\[5pt] 1,9\,\text{kg} & \mathrel{\widehat{\approx}}& 8,2\,\% \end{array}$

$:23,1$

$\cdot 1,9$

Der prozentuale Anteil von Hartkäse beträgt ungefähr 8,2 %.

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentsatz } p\,\%=128,8\,\%$

$\text{Prozentwert } W=6,7\,\text{kg}$

Der Grundwert $G$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{6,7\,\text{kg}\cdot 100\,\%}{128,8\,\%} \\[5pt] G&\approx& 5,2\,\text{kg} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:128,8$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 128,8\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 6,7\,\text{kg}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{6,7}{128,8}\,\text{kg}\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{\approx}}& 5,2\,\text{kg} \end{array}$

$:128,8$

$\cdot 100$

Der Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse lag im Jahr 2000 bei etwa $5,2\,\text{kg}.$

$\text{Anfangswert } K_0=6,6\,\text{kg}$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=3,5\,\%$

$\text{Zeit } n=3 \,\text{Jahre}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} K_3&=& 6,6\,\text{kg} \cdot \left(1+\dfrac{3,5\,\%}{100\,\%}\right)^3\\[5pt] &=& 6,6\,\text{kg}\cdot \left(1,035\right)^3\\[5pt] &\approx& 6,6\,\text{kg} \cdot 1,109\\[5pt] &\approx& 7,3\,\text{kg} \\[5pt] \end{array}$

Der Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse wird im Jahr 2015 voraussichtlich bei ca. 7,3 kg liegen.

Skizze des Sachverhalts:

Um den Winkel $\alpha$ zu berechnen muss zunächst der Höhenunterschied $h$ berechnet werden:

$h=2\,073\,\text{m}-44\,\text{m}=1\,633\,\text{m}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{1\,633\,\text{m}}{4\,800\,\text{m}}\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 20^{\circ}\\[5pt] \end{array}$

Die Größe des durchschnittlichen Steigungswinkels beträgt etwa $20^{\circ}.$

Der Oberflächeninhalt eines Kegels lässt sich mit der Formel $A_{\text{Kegel}}= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$ berechnen.

Die Länge der Seite $s$ kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& r^2+h^2\quad \mid\;\scriptsize \sqrt{\;}\\[5pt] s&=& \sqrt{r^2+h^2}\\[5pt] s&=& \sqrt{(4,5\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2}\\[5pt] s&=& 7,5\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

Die Seite $s$ ist 7,5 cm lang. Jetzt kann der Oberflächeninhalt bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kegel}}&=& \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\\[5pt] &=& \pi \cdot (4,5\,\text{cm})^2 + \pi \cdot 4,5\,\text{cm} \cdot 7,5\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 63,6\,\text{cm}^2+106\,\text{cm}^2\\[5pt] &\approx& 170\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Oberflächeninhalt beträgt ungefähr $170\,\text{cm}^2$ .

Das Zylindervolumen ist gegeben durch:

$V_Z=\pi\cdot r^2\cdot h_Z=\pi\cdot r^2\cdot 10\,\text{cm}$

Für das Kegelvolumen gilt:

$V_K=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h_K$

Da der Zylinder das sechsfache Volumen des Kegels mit dem gleichen Radius hat, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_Z&=& 6\cdot V_K \\[5pt] \pi\cdot r^2\cdot 10\,\text{cm}&=& 6\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h_K \quad \scriptsize \mid\; :\pi \cdot r^2\\[5pt] 10\,\text{cm}&=& 2\cdot h_K \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 5\,\text{cm}&=& h_K \end{array}$

Der Kegel ist 5 cm hoch.

Graphen von $\boldsymbol{f(x)}$ grafisch darstellen

Beim Graphen der Funktion $f$ handelt es sich um eine verschobene Normalparabel. Um diese grafisch darstellen zu können, wird der Scheitelpunkt berechnet:

$y=f(x)=x^2+6x+5$

Es gilt $p=6$ und $q=5.$

$S\left(-\dfrac{p}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{p^2}{4}+q\right)$
$S\left(-\dfrac{6}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{6^2}{4}+5\right)$

$S(-3\mid -4)$

Nullstellen von $\boldsymbol{f(x)}$ berechnen

Funktion gleich 0 setzen:

$\begin{array}[t]{rll} y=f(x)&=& x^2+6x+5 \\[5pt] 0&=& x^2+6x+5 \end{array}$

Es gilt $p=6$ und $q=5.$ Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{6}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] x_{1/2}&=& -3\pm \sqrt{4} \\[5pt] x_{1/2}&=& -3\pm 2 \\[5pt] x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& -5 \end{array}$

Die Funktion $f(x)$ hat die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=-5.$

Grafische Lösung

Aus der grafischen Darstellung lassen sich die folgenden Werte ablesen:

$y$ -Achsenabschnitt: $n=5$

Steigung: $m=\dfrac{3}{1}=3$

Damit ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

$y=g(x)=3x+5$

Rechnerische Lösung

Die Steigung der Funktion lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_P-y_S}{x_P-x_S}\\[5pt] &=&\dfrac{5-(-4)}{0-(-3)}\\[5pt] &=&3\\[5pt] \end{array}$

Die Funktion ist also von der Form $y=g(x)=3\cdot x+n.$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 3\cdot 0+n \\[5pt] 5&=& n \end{array}$

Die Funktionsgleichung lautet:

$y=g(x)=3x+5$

Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^{\circ}$ , daher kann es keinen weiteren Winkel größer als $102^{\circ}$ geben. Die Seite $c$ ist die längste Seite des Dreiecks und muss daher gegenüber des größten Winkels liegen.

Skizze

Der Winkel $\beta$ lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin \beta}&=& \dfrac{c}{\sin \gamma} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \beta\\[5pt] b&=& \dfrac{c}{\sin \gamma}\cdot \sin \beta \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{c}{\sin \gamma}\\[5pt] \dfrac{b\cdot \sin \gamma}{c}&=& \sin\beta \\[5pt] \dfrac{4,3\,\text{cm}\cdot \sin 102°}{8,4\,\text{cm}}&=& \sin\beta \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 30°&\approx& \beta \end{array}$

Mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks lässt sich nun der Winkel $\alpha$ berechnen:

$\alpha=180°-102°-30°=48°$

Die Länge der dritten Seite $a$ lässt sich mit dem Sinussatz wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin \alpha}&=& \dfrac{c}{\sin \gamma} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \alpha \\[5pt] a&=& \dfrac{\sin \alpha\cdot c}{\sin \gamma} \\[5pt] a&=& \dfrac{\sin 48°\cdot 8,4\,\text{cm}}{\sin 102°} \\[5pt] a&\approx& 6,4\,\text{cm} \end{array}$

Die dritte Seite ist ungefähr 6,4 cm lang.

$\begin{array}[t]{rll} 4(2x-5)&=&\dfrac{1}{2}x+10\\[5pt] 8x-20&=&\dfrac{1}{2}x+10 \quad \scriptsize\mid\; -\dfrac{1}{2}x\\[5pt] 7,5x-20&=& 10 \quad\scriptsize\mid\; +20\\[5pt] 7,5x&=& 30 \quad\scriptsize\mid\; :7,5\\[5pt] x&=& 4 \\[5pt] \end{array}$

Die Lösung der Gleichung ist $x=4$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{rote Kugel})&=& \dfrac{\text{Anzahl rote Kugeln}}{\text{Anzahl alle Kugeln}} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=& \dfrac{n}{18} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 18 \\[5pt] \dfrac{2}{3}\cdot 18&=& n \\[5pt] 12&=& n \end{array}$

Im Behälter sind 12 rote Kugeln.

Rechenweg anzeigen

$P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{5}{8}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt $\dfrac{5}{8}.$

Da es sich um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, gilt mit der Pfadmultiplikationsregel:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{zweimal schwarz})&=& \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{7} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{28} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Kugeln beträgt $\dfrac{3}{28}.$

Die Größe des Winkels $\beta$ kann mit der Innenwinkelsumme berechnet werden:

$\beta=180°-77°-35°=68°$

Mit dem Sinussatz folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin\;\gamma}&=&\dfrac{b}{\sin\;\beta} \quad\scriptsize\mid\; \cdot \sin\;\gamma\\[5pt] c&=&\dfrac{b}{\sin\;\beta}\cdot \sin\;\gamma\\[5pt] c&=&\dfrac{182\,\text{m}}{\sin 68°}\cdot \sin 77°\\[5pt] c&\approx& 191\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

Die Länge der Seite $\overline{AB}$ beträgt ungefähr $191\,\text{m}$ .

Zunächst muss der Mittelwert berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} M&=& \dfrac{190\,\text{m}+186\,\text{m}+192\,\text{m}+188\,\text{m}}{4}\\[5pt] &=& 189 \,\text{m} \end{array}$

Die Abweichung ist dann:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 191\,\text{m}-189\,\text{m}\\[5pt] &=& 2\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Die Abweichung beträgt $2\,\text{m}$ .

Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ beträgt $182\,\text{m}=18\,200\,\text{cm}.$ Im Maßstab $1:2\,000$ gilt:

$18\,200\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}9,1\,\text{cm}$

Da die anliegenden Winkel der Strecke $\overline{AC}$ bekannt sind, lässt sich das Dreieck nach dem Kongruenzsatz WSW eindeutig konstruieren.

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.