Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Arithmetik/Algebra

10.1

Vereinfache diesen Term so weit wie möglich.

$7x-2(x-3)$

1 BE

10.2

Gegeben ist eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems.

$y= 3x-1$

Ermittle eine zweite Gleichung so, dass das Gleichungssystem die Lösung $(1\mid 2)$ hat.

2 BE

10.3

Drei Freunde kaufen gemeinsam ein Jahreslos für eine Lotterie.
Alex bezahlt 48 €. Ben beteiligt sich mit einem Drittel und Chris mit einem Sechstel am Lospreis.
Mit diesem Los gewinnen die drei Freunde $6\,000\,€.$

Begründe, dass Alex bei gerechter Verteilung des Gewinnes $3\,000\,€$ erhält.

2 BE

10.4

Gegeben ist ein Zylinder mit dem Durchmesser $d$ und ein zweiter Zylinder mit dem doppelten Durchmesser.
In beide Zylinder wird die gleiche Menge Flüssigkeit eingefüllt.

Ermittle durch logische Überlegungen oder anhand eines selbstgewählten Beispiels das Verhältnis der beiden Höhen zueinander.

1 BE

Wahlaufgabe Funktionen

11.1

Gegeben ist die Funktion $y = 2x^2 - 3$ mit $x \in \mathbb{R}.$

Gib den Wertebereich dieser Funktion an.

1 BE

11.2

Der Querschnitt eines $3,8\,\text{m}$ hohen Tunnels hat annähernd die Form einer Parabel mit der Gleichung $y=f(x)=-0,3x^2+3,8.$

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Tunnelbreite.

2 BE

Die Durchfahrt durch den Tunnel wird durch eine Ampel geregelt. Für einen Lkw ist die Durchfahrt nur erlaubt, wenn ein Mindestabstand von $30\,\text{cm}$ zwischen Fahrzeug und Tunnelwand eingehalten werden kann.

Ein Lkw ist $2,30\,\text{m}$ breit und $3,00\,\text{m}$ hoch.

Überprüfe, ob der Abstand zur Tunnelwand senkrecht nach oben für die gesamte Breite des Lkw eingehalten werden kann.

3 BE

Wahlaufgabe Geometrie

Hochbeete können aus witterungsbeständigen rechteckigen Kunststoffplatten als Seitenflächen aufgebaut werden.

Ein Set besteht aus acht Platten gleicher Länge $a.$
Aus diesen Seitenflächen kann man unter anderem ein Beet mit einem regelmäßigen Achteck als Grundfläche bauen.

Berechne für eine selbstgewählte Plattenlänge $a$ den Flächeninhalt dieser Grundfläche.
Überprüfe, ob die gegebene Gleichung für die gewählte Plattenlänge auch zur Berechnung genutzt werden kann.

$A=\dfrac{2a^2}{\tan 22,5°}$

3 BE

Herr Meier hat in seinem Garten ein dreieckiges Hochbeet aus 9 Platten aufgebaut.

Skizze nicht maßstäblich

Das Beet soll vollständig mit Erde befüllt werden.

Berechne das Volumen der benötigten Erde.

3 BE

Wahlaufgabe Stochastik

13.1

In der Tabelle ist die Notenverteilung einer Leistungskontrolle erfasst.

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl der Schüler	3	3	2	5	2	0

Berechne den Notendurchschnitt dieser Leistungskontrolle.

1 BE

Peter muss die Leistungskontrolle nachschreiben. Durch seine Note ändert sich der Notendurchschnitt. Der Median bleibt gleich.

Gib die Note an, die Peter erhalten haben könnte.

1 BE

13.2

Tom und Anne haben sich unterschiedliche Spielwürfel gebastelt.

Tom

Anne

Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt Tom keine „6“?

1 BE

Sie vereinbaren folgende Spielregel: Jeder würfelt einmal mit seinem Würfel. Es gewinnt derjenige, der die höhere Augenzahl hat.

Zeichne ein dazugehöriges Baumdiagramm.
Zeige, dass Tom und Anne mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewinnen können.

3 BE

10.1

$\begin{array}[t]{rll} & 7x-2(x-3) \\[5pt] =& 7x-2x+6 \\[5pt] =& 5x+6 \\[5pt] \end{array}$

10.2

Einsetzen der Lösung $(1\mid 2)$ in die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x+n:$

$\begin{array}[t]{rll} 2&=& m\cdot 1+n &\quad \scriptsize \mid\; -n \\[5pt] 2-n&=& m \end{array}$

Durch Festlegen eines Wertes von $n$ kann der zugehörige Wert $m$ berechnet werden.

Mögliche Werte sind zum Beispiel $n=1$ und $m=1.$ Eine zweite Gleichung, mit der das Gleichungssystem die Lösung $(1\mid 2)$ hat, ist also die folgende:

$y=x+1$

10.3

Zunächst wird Alex' Anteil am Lospreis berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} 1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6} &=& \dfrac{6}{6}-\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{6}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Da Alex die Hälfte des Lospreises gezahlt hat, bekommt er bei gerechter Verteilung auch die Hälfte des Gewinns.

$\dfrac{1}{2}\cdot 6\,000\,€=3\,000\,€$

Bei gerechter Verteilung erhält Alex $3\,000\,€.$

10.4

Maße des schmalen Zylinders:
Radius: $r_1\quad$ Volumen: $V_1\quad$ Höhe: $h_1$

Maße des breiten Zylinders:
Radius: $r_2=2r_1\quad$ Volumen: $V_2=V_1\quad$ Höhe: $h_2$

Für die Volumina der beiden Zylinder gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& V_2 \\[5pt] \pi\cdot r_1^2\cdot h_1&=& \pi\cdot r_2^2\cdot h_2 \quad \scriptsize \mid\; r_2=2\cdot r_1\\[5pt] \pi\cdot r_1^2\cdot h_1&=& \pi\cdot (2\cdot r_1)^2\cdot h_2 \\[5pt] \pi\cdot r_1^2\cdot h_1&=& \pi\cdot 4\cdot r_1^2 \cdot h_2 \quad \scriptsize \mid\; :(\pi\cdot r_1^2) \\[5pt] h_1&=& 4\cdot h_2 \quad \scriptsize \mid\; :h_2 \\[5pt] \dfrac{h_1}{h_2}&=& \dfrac{4}{1} \end{array}$

Die Höhe $h_1$ steht zur Höhe $h_2$ im Verhältnis $4:1.$

11.1

Da der Faktor vor dem $x^2$ positiv ist, gilt folgende Abschätzung:

$y=\underbrace{2\underbrace{x^2}_{\geq 0}}_{\geq 0}-3\geq 0-3=-3$

Damit ist der Wertebereich gegeben durch $y\geq -3$ mit $y\in \mathbb R.$

11.2

Um die Breite des Tunnels zu berechnen, werden zunächst die Nullstellen der Parabel berechnet.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,3x^2+3,8 \\[5pt] 0&=& -0,3x^2+3,8 \quad \scriptsize \mid\; -3,8 \\[5pt] -3,8&=& -0,3x^2 \quad \scriptsize \mid\; :(-0,3) \\[5pt] 12,67&=& x^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm3,6&\approx& x \\[5pt] \end{array}$

Die Parabel hat die Nullstellen $x_1\approx 3,6$ und $x_2\approx -3,6.$ Die Breite des Tunnels ist nun durch den Abstand der beiden Nullstellen voneinander gegeben.

$3,6-(-3,6)=3,6+3,6=7,2$

Der Tunnel ist ungefähr $7,2\,\text{m}$ breit.

Der geringste Abstand zwischen Lkw und Tunneldecke wird an den Rändern des LKWs, also bei $x=\pm 1,15$ sein. Aus Symmetriegründen muss nur eine Seite überprüft werden.

Höhe des Tunnels am Rand des Lkws:

$\begin{array}[t]{rll} f(1,15)&=& -0,3\cdot (1,15)^2+3,8 \\[5pt] f(1,15)&=& 3,40 \\[5pt] \end{array}$

Abstand des Lkws zu Tunneldecke:

$3,40\,\text{m}-3,00\,\text{m}=0,40\,\text{m}$

Der Abstand zwischen LKW und Tunneldecke beträgt $0,40\,\text{m}=40\,\text{cm}.$ Der nötige Mindestabstand von $30\,\text{cm}$ ist damit eingehalten.

Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

Hier wird beispielhaft die Kantenlänge $a=1\,\text{m}$ gewählt.

Berechnung des Winkels $\alpha:$

$\alpha=\dfrac{360°}{8}=45°$

Da die Dreiecke in der Skizze gleichschenklig sind, folgt mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks:

$\beta=\dfrac{180°-45°}{2}=67,5°$

Mit dem Sinussatz gilt für die Länge der Seite $b:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin \beta}&=& \dfrac{a}{\sin \alpha} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \beta\\[5pt] b&=& \dfrac{a}{\sin \alpha}\cdot \sin \beta \\[5pt] b&=& \dfrac{1\,\text{m}}{\sin 45°}\cdot \sin 67,5° \\[5pt] b&\approx& 1,3\,\text{m} \end{array}$

Damit kann nun der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \beta \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 1\,\text{m}\cdot 1,3\,\text{m}\cdot \sin 67,5° \\[5pt] &\approx& 0,6\,\text{m}^2 \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Achtecks folgt:

$A=8\cdot A_D\approx 8\cdot 0,6\,\text{m}^2=4,8\,\text{m}^2$

Überprüfen, ob Gleichung genutzt werden kann

Mit der Formel ergibt sich der folgende Flächeninhalt für $a=1\,\text{m}:$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{2a^2}{\tan(22,5°)} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot(1\,\text{m})^2}{\tan(22,5°)}\\[5pt] &\approx& 4,8\,\text{m}^2 \end{array}$

Die Ergebnisse sind gleich. Die angegebene Formel kann dazu verwendet werden, den Flächeninhalt eines Achtecks zu berechnen.

Bei dem Beet handelt es sich um ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Um das Volumen zu berechnen, wird zunächst der Flächeninhalt der Grundfläche benötigt.

Seite $a$ besteht aus $3$ Platten, Seite $b$ aus $2$ Platten und Seite $c$ aus $4$ Platten. Jede Platte ist $0,65\,\text{m}$ lang.

$a=3\cdot 0,65\,\text{m}=1,95\,\text{m}$

$b=2\cdot 0,65\,\text{m}=1,30\,\text{m}$

$c=4\cdot 0,65\,\text{m}=2,60\,\text{m}$

Berechne den Winkel $\alpha$ mit dem Kosinussatz.

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 46,6°$

Damit lässt sich der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche des Prismas berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin \alpha \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 1,30\,\text{m} \cdot 2,60\,\text{m} \cdot \sin 46,6° \\[5pt] &\approx& 1,2\,\text{m}^2 \end{array}$

Für das Volumen des Prismas mit der Höhe $h=0,25\,\text{m}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_D\cdot h \\[5pt] &=& 1,2\,\text{m}^2 \cdot 0,25\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,3\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 300\,\text{dm}^3 \end{array}$

Herr Meier benötigt $300\,\text{dm}^3$ Erde, um das Beet zu befüllen.

13.1

$\begin{array}[t]{rll} & \text{Durchschnitt} \\[5pt] =& \dfrac{\text{Summe der Noten}}{\text{Anzahl der Noten}} \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot1+3\cdot2+2\cdot3+5\cdot4+2\cdot5}{3+3+2+5+2} \\[5pt] =& \dfrac{45}{15} \\[5pt] =& 3 \end{array}$

Der Notendurchschnitt der Leistungskontrolle beträgt $3$ .

Zunächst muss der Median bestimmt werden:

1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5

Der Median beträgt 3. Wenn die Anzahl an Messwerten eine gerade Zahl ist, dann ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Hätte Peter eine Note schlechter als 3 geschrieben, würde der Median aus dem Mittelwert von 3 und 4 gebildet werden und sich damit verändern.

Eine 3 kann Peter nicht geschrieben haben, weil seine Note den Durchschnitt verändert hat.

Peter muss also eine 1 oder 2 geschrieben haben.

13.2

6 mögliche Ergebnisse: $\{2;2;4;4;4;6\}$
5 günstige Ergebnisse: $\{2;2;4;4;4\}$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{keine „6“}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{5}{6} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom keine 6 Würfelt, beträgt $\dfrac{5}{6}.$

Baumdiagramm zeichnen

Gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit zeigen

Wahrscheinlichkeit für die Pfade, bei denen Anne das Spiel gewinnt:

$P(2;3)=\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

$P(2;5)=\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$

$P(4;5)=\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$

In der Summe ergibt das für Annes Sieg die folgende Wahrscheinlichkeit:

$P(\text{Anne gewinnt})=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$

Wenn Anne mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ gewinnt, dann gewinnt auch Tom mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}.$ Die Wahrscheinlichkeiten für einen Sieg sind daher für beide gleich.