Pflichtaufgaben 2-8

In Thüringen teilte sich der Kraftfahrzeugbestand im Jahr 2020 wie folgt auf:

Krafträder und dreirädrige Kraftfahrzeuge	$102\,004$
Personenkraftwagen	$1\,189\,416$
Lastkraftwagen	$112\,604$
Zugmaschinen	$61\,915$
Sonstige	$12\,387$

Nach: statistik.thueringen.de (27.09.2021)

Berechne den prozentualen Anteil der Personenkraftwagen am gesamten Kraftfahrzeugbestand. Stelle diesen Anteil in einem Kreisdiagramm dar.

5 BE

Berechne die Größe des Winkels $\alpha.$

Skizze nicht maßstäblich

2 BE

Die zehn gleich großen Segmente eines Glücksrades sind mit den Zahlen 1 bis 10 beschriftet.

Das Glücksrad wird einmal gedreht.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine durch drei teilbare Zahl erdreht wird.

2 BE

Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erdrehten Zahlen 18 ist.

3 BE

Gegeben ist ein Dreieck mit folgenden Seitenlängen:

$a = 6,6 \,\text{cm} \quad b = 5,8\,\text{cm} \quad c = 5,0 \,\text{cm}$

Zeichne das Dreieck auf unliniertem Papier.

2 BE

Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

4 BE

Ein Auto verbraucht je 100 Kilometer auf der Landstraße 6,5 Liter und auf der Autobahn 5,0 Liter Benzin.
Eine gefahrene Strecke beträgt insgesamt 320 Kilometer.
Davon werden 25 % auf der Autobahn zurückgelegt.

Berechne die Kosten für die Autobahnstrecke, wenn 1 Liter Benzin 1,65 € kostet.

3 BE

In eine würfelförmige Kiste wird ein möglichst großer Kegel gestellt (siehe Skizze).

Skizze nicht maßstäblich

Weise allgemein nach, dass das Volumen des Kegels ungefähr ein Viertel des Volumen des Würfels einnimmt.

4 BE

Eine zylinderförmige Regentonne ist nicht ganz voll.
Ein Kind nimmt seinen Ball (d = 24 cm) und drückt diesen vollständig ins Wasser.

Skizze nicht maßstäblich

Entscheide, ob das Wasser überfließt. Begründe rechnerisch.

5 BE

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Prozentualen Anteil der Personenkraftwagen berechnen

Lösung mit der Lösungsformel

Rechenweg anzeigen

$\text{Grundwert }G=1\,478\,326$

$\text{Prozentwert } W=1\,189\,416$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{1\,189\,416}{1\,478\,326}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 80,5\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen

Gesamtanzahl Kraftfahrzeuge: $1\,478\,326$

Rechenweg anzeigen

$1\,189\,416 \mathrel{\widehat{\approx}} 80,5\,\%$

Der prozentuale Anteil der Personenkraftwagen liegt bei 80,5 %.

Anteil in einem Kreisdiagramm darstellen

Zugehörigen Winkel berechnen: $0,805\cdot 360^{\circ}\approx290^{\circ}$

Sinussatz anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin(\gamma)}&=& \dfrac{a}{\sin(\alpha)} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\alpha) \\[5pt] \dfrac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\alpha)&=& a \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{c}{\sin(\gamma)} \\[5pt] \sin(\alpha)&=& a\cdot \dfrac{\sin(\gamma)}{c} \\[5pt] \sin(\alpha)&=& 7,8\,\text{cm} \cdot \dfrac{\sin(75^{\circ})}{8,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 64^{\circ} \end{array}$

10 mögliche Ergebnisse
3 günstige Ergebnisse: $3,6,9$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{durch 3 teilbare Zahl}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{3}{10} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine durch 3 teilbare Zahl zu drehen, beträgt $\dfrac{3}{10}=30\,\%.$

10 mögliche Ergebnisse
3 günstige Ergebnisse: $8+10,$ $9+9,$ $10+8$

Mit der Produktregel folgt für die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse:

$P=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{100}$

Folglich gilt:

$\begin{array}[t]{rll} & P(\,\text{Summe ist 18}) \\[5pt] =& \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}+ \dfrac{1}{100} \\[5pt] =& \dfrac{3}{100} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erdrehten Zahlen 18 ist, beträgt $\dfrac{3}{100}=3\,\%.$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Größe des Winkels $\alpha$ mit dem Kosinussatz berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\alpha\approx 74,9^{\circ}$

Damit lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin \alpha&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 5,8\,\text{cm} \cdot 5,0 \cdot \sin 74,9^\circ\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&\approx& 14 \,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von ungefähr $14 \,\text{cm}^2.$

$25\,\%$ entspricht $\dfrac{1}{4}.$ Die Länge der Autobahnstrecke beträgt also:

$320\,\text{km}\cdot \dfrac{1}{4} = 80\,\text{km}$

Der Benzinverbrauch für die Autobahnstrecke lässt sich mit dem Dreisatz berechnen:

$:100$

$\cdot 80$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100 \,\text{km} & \mathrel{\widehat{=}}& 5\,\ell\\[5pt] 1\,\text{km} & \mathrel{\widehat{=}}& 0,05 \,\ell\\[5pt] 80 \,\text{km} & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,\ell \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

Benzinkosten berechnen:

$4\,\ell\cdot 1,65\,\frac{€}{\ell} = 6,60\,€$

Die Kosten für die Autobahnstrecke betragen $6,60 \,€.$

Es gilt:

$V_{\,\text{Würfel}}=a\cdot a\cdot a$
$V_{\,\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

Zudem gilt hier:

$h=a$
$r=\dfrac{1}{2}\cdot a$

Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Kegel}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot a\right)^2\cdot a \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot \dfrac{1}{4}\cdot a^2\cdot a \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12}\cdot \pi\cdot a^3\\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{4}\cdot a^3\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot V_{\,\text{Würfel}}\\[5pt] \end{array}$

Damit ist die Aussage nachgewiesen.

Volumen des Balls berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Kugel}}&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (12\,\text{cm} )^3&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 7\;238\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des unbefüllten Teils der Regentonne berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Zylinder}}&=& \pi \cdot r^2\cdot h&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot (30\,\text{cm})^2\cdot 3\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 8\;482\,\text{cm}^3 \end{array}$

Da das Volumen des Balls kleiner ist als das Volumen des unbefüllten Teils der Regentonne, wird das Wasser nicht überlaufen.

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