Pflichtaufgaben 2-8

In der sehr umweltbewussten Stadt Münster wurden 1850 Personen zum genutzten Verkehrsmittel befragt.

Von den Befragten benutzen 38 % das Fahrrad, lediglich 36 % benutzen das Kfz, 10 % benutzen den öffentlichen Nahverkehr und der Rest sind Fußgänger.

Berechne die Anzahl der Befragten, die Fußgänger sind.

2 BE

Stelle den Anteil der Fahrradfahrer an der Anzahl der befragten Personen in einem Kreisdiagramm dar.

3 BE

Gegeben sind die Funktionen $y=f(x)= x-5$ und $y=g(x)= x^2-6x+5$ mit $x\in\mathbb{R}$ .

Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen von $g(x)$ an.
Stelle die Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ in einem Koordinatensystem dar.

3 BE

Berechne die Nullstellen der Funktion $g(x)$ .

2 BE

Ein Trapez wird durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt.

Zeige, dass gilt:

$A_1$ : $A_2 =c : a$

Skizze nicht maßstäblich

3 BE

In einer Kiste befinden sich 30 geladene und 20 entladene Akkus. Diese sind durcheinander geraten. Mit einem Batterietester werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Akkus geprüft.

Zeige, dass folgende Aussage wahr ist:
„Es wird mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80 Prozent mindestens ein Akku geprüft, der geladen ist.“

3 BE

Ein Dreieck $ABC$ ist mit $a=\overline{BC}=70\,\text{m} ;$ $b=\overline{AC} = 93\,\text{m}$ und $\sphericalangle CBA=\beta=57^{\circ}$ gegeben.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC.$
Gib das Ergebnis in Hektar an.

6 BE

Gewürze werden oft in Streudosen angeboten.
Eine Dose mit einem Durchmesser von $4,4\,\text{cm}$ ist $10,5\,\text{cm}$ hoch.

Zwei Gewürzgläser in einem Metallträger, eines transparent und das andere braun.

Berechne das Volumen der Dose.

2 BE

Stelle diese Dose im Maßstab 1:1 auf unliniertem Papier dar. Wähle eine Darstellungsform.

3 BE

Unser Planet Erde hat einen Durchmesser von rund $12\,700 \,\text{km}.$ Auf dem Schulhof soll ein Modell der Erde im Maßstab $1: 10\,000\,000$ gebaut werden.

Berechne das Volumen des Modells in Kubikmeter.

3 BE

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Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=1\,850\,\text{Personen}$

$\text{Prozentsatz } p\,\%$ $=100\,\%-38\,\%-36\,\%-10\,\%=16\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& \dfrac{1\,850\,\text{Personen}\cdot 16\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 296\,\text{Personen} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Prozentualer Anteil der Fußgänger: $100\,\%-38\,\%-36\,\%-10\,\%=16\,\%$

$:100$

$\cdot 16$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,850\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,5\\[5pt] 16\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 296 \end{array}$

$:100$

$\cdot 16$

296 Personen der Befragten sind Fußgänger.

Der prozentuale Anteil an Fahrradfahrern beträgt $38\,\%.$

Innenwinkel im Kreisdiagramm:
$0,38\cdot 360°\approx137°$

Scheitelpunkt des Graphen von $\boldsymbol{g(x)}$ angeben

$y=g(x)=x^2-6x+5$

Es gilt $p=-6$ und $q=5.$

$S\left(-\dfrac{p}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{p^2}{4}+q\right)$
$S\left(-\dfrac{-6}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{(-6)^2}{4}+5\right)$

$S(3\mid -4)$

Graphen in Koordinatensystem darstellen

Der Graph der Funktion $g(x)$ ist eine verschobene Normalparabell mit Scheitelpunkt $S(3\mid -4).$ Für die Funktion $f(x)$ kann eine Wertetabelle angelegt werden.

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
-1	-6
0	-5
1	-4
2	-3
3	-2
4	-1
5	0

Die Nullstellen können mit der Lösungsformel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x^2 -6x +5 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Es gilt $p=-6$ und $q=5.$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& -\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2} \right)^2 -q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2} \right)^2 -5} \\[5pt] &=& 3 \pm 2 \\[5pt] x_1 &=& 5 \\[5pt] x_2 &=& 1 \end{array}$

Die Nullstellen von $f(x)$ sind $x_1 = 5$ und $x_2 = 1.$

Es gilt:

$\,\text{A}_1=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h$
$\,\text{A}_2= \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h$

Daraus folgt:

$\dfrac{\,\text{A}_1}{\,\text{A}_2}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot c\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot a\cdot h}$ = $\dfrac{c}{a}$

Damit ist gezeigt, dass $A_1: A_2=c: a$ gilt.

g: geladen
e: entladen

Die Wahrscheinlichkeit kann über das Gegenereignis berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{mind. einmal geladen}) \\[5pt] &= 1-P(\text{keinmal geladen})\\[5pt] &=1-\dfrac{20}{50} \cdot \dfrac{19}{49} \\[5pt] &= 1-\dfrac{38}{245} \\[5pt] &=\dfrac{207}{245} \\[5pt] &\approx 0,845 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $84,5 \,\% \gt 80\,\%.$ Somit ist gezeigt, dass die Aussage richtig ist.

Die Größe des Winkels $\alpha$ kann mit dem Sinussatz berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin(\beta)} &=& \dfrac{a}{\sin(\alpha)} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin\alpha\\[5pt] \dfrac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin\alpha &=& a \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{b}{\sin(\beta)}\\[5pt] \sin(\alpha) &=& \dfrac{\sin(\beta)}{b} \cdot a \\[5pt] \sin(\alpha) &=& \dfrac{\sin(57^{\circ})}{93\,\text{m}} \cdot 70\,\text{m} \\[5pt] \sin(\alpha) &\approx& 0,63 \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 39^{\circ} \end{array}$

Mit dem Innenwinkelsummensatz folgt für die Größe des Winkels $\gamma:$

$\gamma=180^{\circ}-57^{\circ}-39^{\circ}=84^{\circ}$

Damit lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 70 \,\text{m} \cdot 93 \,\text{m} \cdot \sin(84^{\circ})&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 3\,237\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 0,32\,\text{ha} \end{array}$

Das Dreieck hat ungefähr einen Flächeninhalt von 0,32 Hektar.

Radius der Grundfläche: $r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{4,4\,\text{cm}}{2}=2,2\,\text{cm}$

Mit der Formel für das Volumen eines Zylinders folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot (2,2\,\text{cm})^2\cdot 10,5\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 160\,\text{cm}^3 \end{array}$

Es gibt verschiedene Darstellungsformen. Gefordert ist jedoch nur eine.

Körpernetz

Die Länge der Seiten der Mantelfläche, die von den Kreisen berührt werden, entspricht dem Kreisumpfang $u.$

$u=d \cdot \pi=4,40 \,\text{cm} \cdot \pi \approx 13,8 \,\text{cm}$

Zweitafelbild

Schrägbild

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

$12\,700\,\text{km}= 12\,700\,000\,\text{m}$

Durchmesser im Modell:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{d}{12\,700\,000\,\text{m}}&=& \dfrac{1}{10\,000\,000} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 12\,700\,000\,\text{m} \\[5pt] d&=& \dfrac{12\,700\,000\,\text{m}}{10\,000\,000} \\[5pt] d&=& 1,27\,\text{m} \end{array}$

Radius im Modell:

$r= \dfrac{1,27\,\text{m}}{2}= 0,635\,\text{m}$

Volumen des Modells:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (0,635\,\text{m})^3 \\[5pt] &\approx& 1,07\,\text{m}^3 \end{array}$

Das Modell der Erde hat ein Volumen von etwa 1 Kubikmeter.

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