Wendestellen

Definition

Sei die Funktion $f$ im Intervall $I=]a;b[$ differenzierbar. Geht der Graph der Funktion an einer Stelle $x_0\in I$ von einer Linkskurve in eine Rechtskurve über oder umgekehrt, so liegt eine Wendestelle von $f$ vor.

Der zugehörige Punkt $W(x_0\mid f(x_0))$ heißt Wendepunkt und die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ heißt Wendetangente.

Nachweis von Wendestellen

Nachweis mit dritter Ableitung
Wenn für die zweite Ableitung $\(f$ und für die dritte $\(f$ gilt, dann liegt an der Stelle $x_0$ eine Wendestelle vor.

Nachweis mit Vorzeichenwechsel
An der Stelle $x_0$ liegt genau dann eine Wendestelle vor, wenn für die zweite Ableitung $\(f$ gilt und die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.

Beispiel mit dritter Ableitung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2.$ Bestimme den Wendepunkt des Graphen von $f$ und begründe mit Hilfe der dritten Ableitung.

$\(f$

$\(f$

$\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 6x-6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 6x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$

$x=1$ in $\(f$ einsetzen:

$\(f$

$x=1$ in $f(x)$ einsetzen:

$f(1)=1-3+2=0$

$W(1\mid 0)$

Beispiel mit Vorzeichenwechsel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2.$ Bestimme den Wendepunkt des Graphen von $f$ und begründe mit Hilfe des Vorzeichenwechsels.

$\(f$

$\(f$

$\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 6x-6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 6x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$

$\(f$ für $x\lt 1$ (Rechtskurve) und $\(f$ für $x\gt 1$ (Linkskurve), also liegt ein Vorzeichenwechsel von $\(f$ an der Stelle $1$ vor.

$x=1$ in $f(x)$ einsetzen:

$f(1)=1-3+2=0$

$W(1\mid 0)$