Extremstellen, Extremwerte und Extrempunkte

Definition

Der Funktionswert $f(x_0)$ einer Funktion $f$ mit maximaler Definitionsmenge $D$ und $x_0\in D$ heißt lokales Maximum von $f,$ wenn eine Umgebung $U(x_0)$ existiert, sodass gilt:

$\boldsymbol{f(x)\leq f(x_0)}$ für alle $x\in D$ mit $x\in U(x_0)$

extremstellen, extremwerte, extrempunkte

Der Punkt $H(x_0\mid f(x_0))$ heißt Hochpunkt des Graphen von $f.$

Der Funktionswert $f(x_0)$ einer Funktion $f$ mit maximaler Definitionsmenge $D$ und $x_0\in D$ heißt lokales Minimum von $f,$ wenn eine Umgebung $U(x_0)$ existiert, sodass gilt:

$\boldsymbol{f(x)\geq f(x_0)}$ für alle $x\in D$ mit $x\in U(x_0)$

Der Punkt $T(x_0\mid f(x_0))$ heißt Tiefpunkt des Graphen von $f.$

Hoch- und Tiefpunkte werden auch Extrempunkte genannt. Eine Stelle $x_0,$ an der eine Funktion ein Maximum oder Minimum aufweist, wird als Extremstelle bezeichnet. Der Funktionswert $f(x_0)$ wird als Extremwert oder Extremum bezeichnet.

Gilt für alle Werte $x\in D$ die Bedingung $f(x)\leq f(x_0)$ bzw. $f(x)\geq f(x_0),$ dann wird $f(x_0)$ als globales Maximum bzw. Minimum bezeichnet.

Satz

In einem Intervall $I=]a;b[$ mit innerer Stelle $x_0$ sei die Funktion $f$ differenzierbar.

Hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Extremum, so gilt $\(\boldsymbol{f$

In einem abgeschlossenen Intervall können die Extrema auch an den Randstellen der Definitionsmenge auftreten. Solche Extrema heißen Randextrema. Hier muss die Bedingung $\(f$ nicht gelten.

Extremstellen, Extremwerte und Extrempunkte

Definition

Satz

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