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Inhaltsverzeichnis

Grenzwerte von Funktionen

Definition

Eine Zahl \(g\) heißt Grenzwert einer Funktion \(f\) für \(x\rightarrow \infty,\) wenn sich die Funktionswerte \(f(x)\) für wachsende Werte von \(x\) der Zahl \(g\) beliebig weit annähern. Man schreibt:
\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=g\)
Der Grenzwert für \(x\rightarrow -\infty\) ist analog definiert.
Besitzt eine Funktion für \(x\rightarrow \infty\) bzw. \(x\rightarrow -\infty\) einen Grenzwert, so heißt die Funktion konvergent. Funktionen, die keinen solchen Grenzwert besitzen, nennt man divergent.
grenzwerte von funktionen

Beispiel

Die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\dfrac{\sin x}{2x}\) konvergiert. Es gilt sowohl \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\) als auch \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0.\)
grenzwerte von funktionen, konvergenz
Die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\dfrac{1}{5}x^3\) divergiert. Es gilt \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.\)
grenzwerte von funktionen, divergenz
Die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\cos x\) divergiert. Die Funktionswerte werden jedoch nicht beliebig groß, sondern schwanken immer zwischen \(1\) und \(-1.\)
grenzwerte von funktionen, divergenz