Differenzierbarkeit
Definition
Wenn für eine Funktion 
an der Stelle 
der Differentialquotient 
existiert, dann heißt an der Stelle 
differenzierbar.
Hat der Graph einer Funktion einen „Knick“ wie in der Abbildung, so existiert an dieser Stelle keine Tangente und somit auch keine Ableitung.
Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Ist eine Funktion an der Stelle- differenzierbar, so ist sie an der Stelle
- nicht stetig, so ist sie an der Stelle
- stetig, so folgt daraus nicht, dass sie an der Stelle
Beispiel
Die Betragsfunktion
1
a)
Dargestellt ist der Graph einer Funktion 
Gib die Stellen an, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist und begründe.
b)
Skizziere den Graphen einer Funktion, die an der Stelle
nicht stetig ist,
stetig, aber nicht differenzierbar ist,
stetig und differenzierbar ist.
2
Gegeben ist der Graph einer Funktion mit 
a)
Schreibe den Funktionsterm ohne Betrag als abschnittsweise definierte Funktion.
b)
Untersuche die Funktion rechnerisch auf Differenzierbarkeit an den Stellen und 
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1
a)
An den Stellen und 
hat der Graph der Funktion einen Knick und ist daher dort nicht differenzierbar.
An der Stelle 
macht der Graph einen Sprung. An dieser Stelle ist die Funktion daher nicht stetig und somit auch nicht differenzierbar.
b)
2
a)
b)
Untersuchung auf Differenzierbarkeit an der Stelle 
an der Stelle nicht differenzierbar.
Untersuchung auf Differenzierbarkeit an der Stelle 
an der Stelle nicht differenzierbar.
Linksseitiger Grenzwert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&\lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}(-2+h)^2-2-0}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}(4-4h+h^2)-2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{2-2h+\dfrac{h^2}{2}-2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{h\left(-2+\dfrac{h}{2}\right)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0} -2+\dfrac{h}{2} \\[5pt]
=& -2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/996d553df8cfdf8c71a8ab76e5ec3bdd15638adf1f556add7657900639751043?color=5a5a5a)
Rechtsseitiger Grenzwert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&\lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(-2+h)^2+2-0}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(4-4h+h^2)+2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{-2+2h-\dfrac{h^2}{2}+2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{h\left(2-\dfrac{h}{2}\right)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0} 2-\dfrac{h}{2} \\[5pt]
=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b511048497dbe91fb3118c88f3fc06b53d52a9d44ea0ffcaeeae3097218a0a25?color=5a5a5a)
Der rechts- und der linksseitige Grenzwert stimmen nicht überein. Daher ist die Funktion
Linksseitiger Grenzwert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&\lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(2+h)^2+2-0}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(4+4h+h^2)+2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{-2-2h-\dfrac{h^2}{2}+2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0}\dfrac{h\left(-2-\dfrac{h}{2}\right)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\lt 0} -2-\dfrac{h}{2} \\[5pt]
=& -2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ffe0b06618e17ef02995eacb7377eb842b9ad24dfd43ff4c15309749908c33e2?color=5a5a5a)
Rechtsseitiger Grenzwert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&\lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}(2+h)^2-2-0}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}(4+4h+h^2)-2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{2+2h+\dfrac{h^2}{2}-2}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0}\dfrac{h\left(2+\dfrac{h}{2}\right)}{h} \\[5pt]
=& \lim\limits_{h\to 0\\h\gt 0} 2+\dfrac{h}{2} \\[5pt]
=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b28cc71be674f0c280ea467bffc81ac302e95f886c9bd60b043e3a2b5376a6f8?color=5a5a5a)
Der rechts- und der linksseitige Grenzwert stimmen nicht überein. Daher ist die Funktion