Verhalten an Polstellen

Definition

Eine Polstelle $x_0$ einer gebrochen-rationalen Funktion $f$ ist eine Definitionslücke, für die

$\lim\limits_{x\to x_0\\x\lt x_0} f(x)=-\infty\quad$ oder $\quad\lim\limits_{x\to x_0\\x\lt x_0} f(x)=\infty$

und

$\lim\limits_{x\to x_0\\x\gt x_0} f(x)=-\infty\quad$ oder $\quad \lim\limits_{x\to x_0\\x\gt x_0} f(x)=\infty$

gilt.

Die Gerade mit der Gleichung $x=x_0$ ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von $f.$

Liegt im Nenner des Funktionsterms eine Nullstelle gerader Ordnung vor, so handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Funktion divergiert dann links und rechts von der Definitionslücke jeweils gegen $+\infty$ oder $-\infty.$

Liegt im Nenner des Funktionsterms eine Nullstelle ungerader Ordnung vor, so handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Funktion divergiert dann links und rechts von der Definitionslücke entgegengesetzt.