Antiproportionale Zuordnungen

Einführung

Bevor wir die antiproportionalen Zuordnungen angehen ist es wichtig, dass du die Spickzettel Zuordnungen und proportionale Zuordnungen gelesen und verstanden hast.

Merke: Bei den antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto weniger oder je weniger desto mehr.

Je mehr Schüler aufräumen desto weniger Zeit benötigen sie.

Schüler	Minuten
$2$	$15$
$4$	$10$
$6$	$5$

Wenn du dir unsicher sein solltest, ob es sich um eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung handelt, musst du dich immer fragen: Wenn ich die Menge der einen Zahl erhöhe, erhöht sich die zugeordnete Zahl oder verringert sie sich.

Antiproportionaler Dreisatz

$4$ Erdbeerpflücker brauchen $5$ Stunden um ein Feld mit $6000\;km^2$ zu ernten. Wie lange brauchen $7$ Erdbeerpflücker?

Das Schema des antiproportialen Dreisatzes ist gleich dem des proportionalen, doch in der Berechnung unterscheiden sie sich, vielleicht ist es dir schon aufgefallen.

1. Schritt: Gegebener Zusammenhang eintragen

$\begin{array}{rrcll} &[ 4]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 5]\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Dauer für einen Erdbeerpflücker berechnen

$:[4]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 4]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 5]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 20]\\[5pt] \end{array}$	$\cdot[4]$

Wenn du ausrechnen möchtest wie lange ein einzelner Erdbeerpflücker braucht, musst du wie in unserem Beispiel, auf der linken Seite des Dreisatzes die Zahl durch sich selbst teilen. Auf der rechten Seite muss mit der gleichen Zahl erweitert (malgenommen) werden.
Denn: ein einzelner Pflücker braucht viermal so lange wie vier Stück zusammen.

3. Schritt: Dauer für 7 Erdbeerpflücker berechnen

$:[4]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 4]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 5]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[20 ]\\[5pt] &[ 7]&\mathrel{\widehat{\approx}}&[ 3]& \end{array}$	$\cdot [4]$
$\cdot [7]$		$: [7]$

Im letzten Schritt unseres Dreisatzes siehst du, dass wieder gegensätzlich gerechnet werden muss. Auf der linken Seite wird mit $7$ erweitert, da berechnet werden soll wie lange $7$ Erdbeerpflücker brauchen. Auf der rechten Seite muss durch $7$ geteilt werden, da $7$ Pflücker $7$ -mal kürzer brauchen als ein einzelner Erdbeerpflücker.

$7$ Erdbeerpflücker brauchen somit für ein $6000\;km^2$ großes Feld ca. $3$ Stunden.

Aufgabe 1

Sind diese Behauptungen über antiproportionale Zuordnungen wahr oder falsch?

Kreuze an.	wahr	falsch
$2$ Pumpen befüllen ein Schwimmbecken in $1$ Stunde. $4$ Pumpen brauchen $2$ Stunden.
$1$ Schüler braucht länger das Klassenzimmer aufzuräumen als $4$ .
Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto weniger.
$1$ Gärtner mäht den Rasen in $2$ Stunden, $2$ Gärtner brauchen nur halb so lange.
Ein weiches Ei dauert im Topf $4$ Minuten, $4$ weiche Eier brauchen $16$ Minuten.

Aufgabe 2

Berechne mithilfe des Dreisatzes.

Nick und Lisa kochen gemeinsam ihr Mittagessen in $1,5$ Stunden. Martha kommt dazu und hilft zusätzlich mit. Wie lange brauchen die drei jetzt um das Mittagessen vorzubereiten?

$7$ Spargelstecher brauchen für eine bestimmte Fläche $8$ Stunden. Wie lange brauchen $13$ Spargelstecher?

Die Schüler der $6a$ werden für eine Gruppenarbeit in zweier Gruppen eingeteilt, um eine Aufgabe in 45 Minuten zu bearbeiten. Da die Klassengröße ungerade ist gibt es eine Gruppe mit drei Schülern. Lisa behauptet, dass das unfair sei, da diese Gruppe die Arbeit schneller erledigen kann. Hat sie Recht? Überprüfe rechnerisch.

Aufgabe 3

Gegeben ist folgende Tabelle. Diese beschreibt in welcher Zeit mit welcher Menge an Pumpen ein Schwimmbecken befüllt werden kann.

Liter	Minuten
$3$	$145$
$4$	$108,75$
$7$	$62,14$
$9$

Handelt es sich bei obiger Tabelle um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung? Begründe.

Berechne wie viele Minuten $9$ Pumpen brauchen um das Schwimmbecken zu befüllen und ergänze die Tabelle.

Aufgabe 4

Die in der Tabelle dargestellte Zuordnung ist antiproportional.
Vervollständige die Tabelle.

$x$	$y$
$3$
$27$
$140$	$350$
$136$
$155$

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Lösung 1

Sind diese Behauptungen über antiproportionale Zuordnungen wahr oder falsch?

Kreuze an.	wahr	falsch
$2$ Pumpen befüllen ein Schwimmbecken in $1$ Stunde. $4$ Pumpen brauchen $2$ Stunden.
$1$ Schüler braucht länger das Klassenzimmer aufzuräumen als $4$ .
Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto weniger.
$1$ Gärtner mäht den Rasen in $2$ Stunden, $2$ Gärtner brauchen nur halb so lange.
Ein weiches Ei dauert im Topf $4$ Minuten, $4$ weiche Eier brauchen $16$ Minuten.

Lösung 2

$:[2]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 2]&\mathrel{\widehat{=}}&[1,5 ]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 3]\\[5pt] &[ 3]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 1]& \end{array}$	$\cdot[2]$
$\cdot [3]$		$: [3]$

Zu dritt brauchen Nick, Lisa und Martha $1$ Stunde um das Mittagessen vorzubereiten.

$:[7]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 7]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 8]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[56 ]\\[5pt] &[ 13]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 4,30]& \end{array}$	$\cdot[7]$
$\cdot [13]$		$: [13]$

$13$ Spagelstecher brauchen ca. $4$ Stunden für die selbe Fläche.

$:[2]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 2]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 45]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[90 ]\\[5pt] &[ 3]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 30]& \end{array}$	$\cdot[2]$
$\cdot [3]$		$: [3]$

Lisa hat Recht, die Gruppe mit drei Schülern braucht nur $30$ Minuten.

Lösung 3

Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Je mehr Pumpen benutzt werden um das Schwimmbecken zu befüllen, desto schneller geht es.

$:[3]$	$\begin{array}{rrcll} &[3 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[145 ]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[435 ]\\[5pt] &[ 9]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 48,33]& \end{array}$	$\cdot[3]$
$\cdot [9]$		$:[9]$

$x$	$y$
$3$	$145$
$4$	$108,75$
$7$	$62,14$
$9$	$\color{#87c800}{48,33}$

Lösung 4

$:[140]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 140]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 350]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[49000 ]\\[5pt] &[ 3]&\mathrel{\widehat{=}}&[16333,33 ]& \end{array}$	$\cdot[140]$
$\cdot [3]$		$: [3]$

$:[140]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 140]&\mathrel{\widehat{=}}&[350 ]\\[5pt] &[1 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 49000]\\[5pt] &[ 27]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 1814,81]& \end{array}$	$\cdot[140]$
$\cdot [27]$		$: [27]$

$:[140]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 140]&\mathrel{\widehat{=}}&[350 ]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[49000 ]\\[5pt] &[ 136]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 360,29]& \end{array}$	$\cdot[140]$
$\cdot [136]$		$: [136]$

$:[140]$	$\begin{array}{rrcll} &[140 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 350]\\[5pt] &[1 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[49000 ]\\[5pt] &[ 350]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 140]& \end{array}$	$\cdot[140]$
$\cdot [350]$		$: [350]$

$x$	$y$
$3$	$16333,33$
$27$	$1814,81$
$140$	$350$
$136$	$360,29$
$155$	$140$

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