Proportionale Zuordnungen

Einführung

Eine proportionale Zuordnung erkennst du daran, wenn das Endergebnis proportional (um den gleichen Faktor) wächst.

Anzahl der Brötchen	Preis in €
$1$	$0,5$
$2$	$1$
$3$	$1,5$
$4$	$2$
$5$	$2,5$

An diesem Beispiel siehst du das der Preis pro Stück proportional um $0,50\;ct$ wächst.

Diesen Sachverhalt kannst du genauso gut in einer Gleichung darstellen, im Kapitel Zuordnungen findest du nochmal genauere Erläuterungen dazu.

$y= x \cdot a$

$y=3 \cdot 0,5 = 1,5$ wenn man das Ergebnis mit dem in der Tabelle vergleicht sieht man, dass sie übereinstimmen.

Proportionaler Dreisatz

Merke: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr, desto mehr.

$1$ Apfel kostet $1\;€$
$2$ Äpfel kosten $2\;€$
$3$ Äpfel kosten $3\;€$

Du hast es wahrscheinlich schon erkannt. Verdoppelt man die Anzahl, verdoppelt sich der Preis. Verdreifacht man die Anzahl, dann verdreifacht sich der Preis. Und so weiter.

Beispiel

Doch was ist wenn du nur die Information hast, dass $5$ Äpfel $15\;€$ kosten und du ausrechnen musst was $2$ Äpfel kosten?
Bei einem solchen Fall wendest du am einfachsten den proportionalen Dreisatz an.
Er wird, wie der Name schon sagt, in drei Schritten berechnet.

1. Schritt: Gegebener Zusammenhang eintragen

$\begin{array}{rrcll} &[ 5]&\mathrel{\widehat{=}}&[15 ]\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Preis für 1 Stück berechnen

$:[5]$

$\begin{array}{rrcll} &[5 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[15 ]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 3]\\[5pt] \end{array}$

$:[5]$

3. Schritt: Gefragte Stückzahl berechnen

$:[5]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 5]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 15]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 3]\\[5pt] &[ 2]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 6]& \end{array}$	$:[5]$
$\cdot [2]$		$\cdot [2]$

Somit weißt du, dass $2$ Äpfel $6\;€$ kosten.

Aufgabe 1

Zeichne die Tabellen in dein Heft und vervollständige.

Stunden	Kilometer
$1$	$100$
$2$
$3$	$300$
$4$
$5$

Äpfel	Euro
$2$	$1,50$
$4$
$6$
$8$	$6$
$10$

Aufgabe 2

Tim fährt mit seinem Fahrrad in $30$ Minuten $1\; km$ . Erstelle eine Gleichung wie viele Kilometer er in einer Stunde, 1,5 Stunden und 2 Stunden bei gleichbleibender Geschwindigkeit fahren würde. Stelle deine Ergebnisse in einer Tabelle dar.

Aufgabe 3

Überlege dir eine Aufgabe zu folgenden Gleichungen.

$y=0,5x$
$y=0,5\cdot 6 = 3$

$y=500x$
$y=500 \cdot 3 = 1500$

Aufgabe 4

Entscheide ob es sich bei folgenden Sachverhalten um eine proportionale Zuordnung handelt oder nicht.

	proportional	nicht proportional
Anzahl der Äpfel und Gewicht.
Alter eines Menschen und sein Gewicht.
Geldwert in Euro und Geldwert in Dollar.

Aufgabe 5

Nutze zum vervollständigen der Tabelle gegebene Gleichungen.

$y=0,5x$

$x$	$y$
$3$	$\;$
$12$	$\;$
$18$	$\;$

$y=3x$

$x$	$y$
$6$	$\;$
$24$	$\;$
$48$	$\;$

Aufgabe 6

Leon bekommt ein Angebot für $750\;g$ Erdbeeren für $13,50\;€$ . Berechne mithilfe des Dreisatzes wie viel Euro Leon für $250\;g$ bezahlen würde.

Ein Flugzeug fliegt in $8$ Stunden $6120\;km$ . Berechne mithilfe des Dreisatzes wie viele $km$ das Flugzeug in $3$ Stunde fliegen würden.

Marta sieht ein Angebot für $15$ Tafeln Schokolade für $8\;€$ , sie hat aber nur $5\;€$ Taschengeld bekommen. Berechne mithilfe des Dreisatzes wie viele Tafeln sie für $5\;€$ kaufen könnte.

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Lösung 1

Stunde	Kilometer
$1$	$100$
$2$	$200$
$3$	$300$
$4$	$400$
$5$	$500$

Äpfel	Euro
$2$	$1,50$
$4$	$3$
$6$	$4,50$
$8$	$6$
$10$	$7,50$

Lösung 2

Allgemeine Formel:
$y = a \cdot x$

Jetzt stellt sich die Frage welche Werte für $a$ und welche für $x$ eingesetzt werden.

1. Schritt: Multiplikator bestimmen

$a$ = der Faktor mit dem multipliziert wird. In unserer Aufgabe ist das $1\;km$ .
$x$ = die Ausgangsgröße mit der $a$ multipliziert wird. Mit Blick in die Aufgabe sehen wir, dass sich die Stunden zum Ursprungswert erst verdoppeln, dann verdreifachen und dann vervierfachen.
Somit musst du diese Multiplikatoren benutzen:

für $1$ Stunde $x=2$
für $1,5$ Stunden $x=3$
für $2$ Stunden $x=4$

2. Schritt: In der Formel berechnen

$y_{1}=1 \cdot 2 = 2\;km$

$y_{1,5}=1 \cdot 3 = 3\;km$

$y_{2}=1 \cdot 4= 4\;km$

3. Schritt: Tabelle erstellen

Stunden	Kilometer
$0,5$	$1$
$1$	$2$
$1,5$	$3$
$2$	$4$

Lösung 3

Anna möchte Äpfel kaufen, $1$ Apfel kostet $0,50\;ct$ . Sie möchte wissen was $6$ Äpfel kosten.

Eine Schale Erdbeeren umfasst $500\;g$ . Anton möchte wissen wie viel Gramm $3$ Schalen umfassen.

Lösung 4

	proportional	nicht proportional
Anzahl der Äpfel und Gewicht.
Alter eines Menschen und sein Gewicht.
Geldwert in Euro und Geldwert in Dollar.

Lösung 5

$y_3=0,5\cdot 3 = 1,5$
$y_{12} = 0,5 \cdot 12 = 6$
$y_{18} = 0,5 \cdot 18 = 9$

$x$	$y$
$3$	$1,5$
$12$	$6$
$18$	$9$

$y=3\cdot 6 = 18$
$y=3 \cdot 24 = 72$
$y=3 \cdot 48 = 144$

$x$	$y$
$6$	$18$
$24$	$72$
$48$	$144$

Lösung 6

$:[750]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 750]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 13,50]\\[5pt] &[1 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 0,018]\\[5pt] &[ 250]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 4,50]& \end{array}$	$:[750]$
$\cdot [250]$		$\cdot [250]$

Leon würde für $250\;g$ $4,50\;€$ bezahlen.

$:[8]$	$\begin{array}{rrcll} &[8 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 6120]\\[5pt] &[ 1]&\mathrel{\widehat{=}}&[765 ]\\[5pt] &[3]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 2295]& \end{array}$	$:[8]$
$\cdot [3]$		$\cdot [3]$

Das Flugzeug würde in $3$ Stunden $2295\;km$ fliegen.

$:[8]$	$\begin{array}{rrcll} &[ 8]&\mathrel{\widehat{=}}&[15 ]\\[5pt] &[1 ]&\mathrel{\widehat{=}}&[ 1,88]\\[5pt] &[ 5]&\mathrel{\widehat{\approx}}&[ 9,4]& \end{array}$	$:[8]$
$\cdot [5]$		$\cdot [5]$

Marta könnte sich für $5\;€$ $9$ Tafeln Schokolade kaufen.

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