Kreise

Der Kreis

Der Kreis ist eine geometrische Figur ohne Ecken und Kanten. Bei regelmäßigen Kreisfiguren werden die 360° gleichmäßig aufgeteilt. Der Umfang wird mit U abgekürzt. Die Formel zur Berechnung des Umfang ist

$U =\pi d = 2\pi r$

Die Fläche wird mit A abgekürzt. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalt ist

$A= \pi r^2 = {\pi d^2 \over 4}$

Kreisdiagramm mit Segmenten, die jeweils 45 Grad markieren.

Abb. 1

Alle Punkte haben genau den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius r.

Der Durchmesser d eines Kreises entspricht dem Radius r multipliziert mit $2$ .

$d = 2r$

Grafik eines Kreises mit Radius und Durchmesser, beschriftet mit r, d und M.

Abb. 2

Bildnachweise [nach oben]

[1], [2]

Aufgabe 1

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 80cm.

Wie viele Umdrehungen macht das Rad auf $1$ km? Runde auf ganze Umdrehungen.

Da die Räder nicht genügend aufgepumt sind, verringert sich der Durchmesser um $2$ cm. Wie viele Umdrehungen braucht das Rad jetzt pro km?

Der Kilometerzähler des Rads ist auf die Radgröße von $80$ cm gestellt. Du bist nach dem Kilometerzähler $40$ km gefahren. Welche Strecke hast du wirklich zurückgelegt, wenn am Durchmesser der Räder durch schlechtes Aufpumpen $2$ cm fehlen?

Wie viel km müsstest du nach dem Kilometerzähler fahren, um mit dem schlecht aufgepumten Fahrrad tatsächlich 40km zurückzulegen?

Aufgabe 2

Der große Zeiger einer Uhr ist $3$ cm lang, der kleine $2$ cm lang. Berechne die Wege der beide Zeiger nach $12$ Stunden.

Aufgabe 3

Der Umfang eines kreisrunden Teiches beträgt $150$ m.

Wie groß ist seine Fläche?

Um den Teich führt ein $2$ m breiter Weg. Bestimme seine Fläche.

Aufgabe 4

An einem Webstuhl sind zwei Räder mit dem Durchmesser d1 = $26$ cm und d2 = $91$ cm über einen Lederriemen mieinander verbunden. Wie oft muss sich Rad 1 drehen, damit Rad 2 eine volle Umdrehung macht?

Aufgabe 5

Die Erde hat einen Radius von etwa $6370$ km.

Wie lang ist der Äquator?

Nimm an, der Äquator sei $40.000$ km lang. Es wird ein Seil um den Äquator gespannt. Wir verlängern das Seil um $1$ m. Wie breit ist jetzt der Abstand zwischen Erde und Seil?

Aufgabe 6

Beim Ausstechen von runden Weihnachtsplätzchen mit einem Durchmesser von $6cm$ kommt Nina auf die Idee, aus dem Teig von $4$ solchen Plätzchen einen großen runden Keks zu formen. Welchen Durchmesser wird er haben, wenn man davon ausgeht, dass der Teig gleich bleibend dick ausgerollt wird.

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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Der Radius $r$ ist die Hälfte vom Durchmesser $80\,\text{cm}$ .

Umfang des Rades = $2\cdot\pi\cdot r = 80\pi = 251,33 \,\text{cm} = 2,5133$

Anzahl Umdrehungen = $\dfrac{1000\,\text{m}}{2,5133\,\text{m}} = 398$ Umdrehungen

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Umfang des Rades = $2\cdot\pi\cdot r = 78\pi = 245,04 \,\text{cm} = 2,4504 \,\text{m}$

Anzahl der Umdrehungen = $\dfrac{1.000\,\text{m}}{2,4504\,\text{m}} = 408$ Umdrehungen

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Wenn der Kilometerzähler $40 \,\text{km}$ anzeigt, hat das Rad bei einem Umfang von $80 \,\text{cm}$ dann $\dfrac{40.000\,\text{m}}{2,5133\,\text{m}} = 159.15,33$ Umdrehungen zurückgelegt.

Bei einem Durchmesser von $78 \,\text{cm}$ ist die tatsächliche Strecke $159.15,33\cdot2,4504 = 38.999\,\text{m}$ also nur knapp $39 \,\text{km}$ lang.

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Um tatsächlich $40 \,\text{km}$ zu fahren, müsste das Rad $\dfrac{40.000\,\text{m}}{2,4504} = 16.323,9$ Umdrehungen zurücklegen,

laut Kilometerzähler würde damit eine Strecke von $16.323,9\cdot2,5133 = 41.026,9\,\text{m} = 41\,\text{km}$ zurücklegen.

Aufgabe 2

Weg kleiner Zeiger = $1$ Umdrehung = $2\pi\cdot2 = 12,57\,\text{cm}$

Weg der große Zeiger = $12$ Umdrehungen = $2\pi\cdot3\cdot12 = 226,2\,\text{cm}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} U&=& 150\,\text{m}&=&2\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:2\pi \\[5pt] r&=&\dfrac{150}{2\pi} &\quad \scriptsize \\[5pt] r&=& 23,87\,\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Fläche = $\pi\cdot23,87^2 = 1790\,\text{m}^2$

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Die Wegfläche entspricht der Fläche eines Kreisringes:

$A = \pi\cdot(r_{\text{außen}}^2 - r_{\text{innen}}^2) = \pi\cdot(25,87^2-23,87^2) = 312,5\,\text{m^2}$

Aufgabe 4

Für den Umfang der Räder gilt $U1 = 2\pi\cdot13 = 26\pi \,\text{cm}$ und $U2 = 2\pi\cdot45,5 = 91\pi \,\text{cm}$ .

Es gilt $\dfrac{U2}{U1} = 3,5$ . somit muss Rad 1 $3,5$ Umdrehungen machen, damit sich Rad 2 einmal dreht.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Der Äquator ist $U = 2\cdot\pi\cdot 6.370 \,\text{km} = 40.023,9\,\text{km}$ lang.

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen

Bei einer Länge des Äquators von $40.000\,\text{km}$ gilt für den Erdradius $40.000 = 2\pi\cdot rE \rightarrow rE = 6.366,197724\,\text{km}$ .

Die Verlängerung des Seils um $1\,\text{m}$ bewirkt, dass der Umfang des Seils $U = 40.000,001\,\text{km}$ beträgt.

Der zugehörige Radius des Seilkreises beträgt $rS = \dfrac{40.000,001}{2\pi} = 6.366,197883\,\text{km}$ .

Der Abstand beträgt $rS - rE = 6.366,197883 - 6.366,197724 = 0,000159\,\text{km} = 15,9\,\text{cm}$ .

Hinweis: Der Abstand würde auch $15,9 \,\text{cm}$ betragen, wenn das Seil anstatt um die Erde z.B. um einen Tischtennisball gelegt würde. Die Lösung ist erstaunlicherweise unabhängig vom gegebenen Radius der Kugel.

Aufgabe 6

Die Fläche von $4$ solchen Plätzchen beträgt $A = 4\cdot\pi\cdot 3^2 = 36\pi \,\text{cm^2}$ .

Der runde Keks hat somit genau diese Fläche: $36\pi = \pi\cdot r^2\rightarrow r = 6\,\text{cm}$

Der Keks hätte einen Radius von $r = 6\,\text{cm}$ bzw. einen Durchmesser von $d = 12\,\text{cm}$ .

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